21認(rèn)識(shí)一元二次方程（二）教學(xué)案例

1、第二章 一元二次方程1認(rèn)識(shí)一元二次方程（二）山東省青島市第七中學(xué) 江 華一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)的一元一次方程中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過方程的解的概念，此后又分別在二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程中多次學(xué)習(xí)了關(guān)于方程（或方程組）的求解的過程。因此對(duì)本章中的“使一元二次方程的左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值即為該一元二次方程的解”的概念不難理解；學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)初步感受到了方程的模型作用，并積累了一些利用方程解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，解決了一些實(shí)際問題。同時(shí)通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一元二次方程在生活中也有著廣泛的應(yīng)用，而列方程、

2、解方程和應(yīng)用方程是一體的。在學(xué)生已有的估算能力的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在具體的問題情境中，經(jīng)歷估計(jì)近似解的過程，尋找方程的解。同時(shí)，在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析教科書基于學(xué)生已有的估算意識(shí)和能力以及對(duì)方程的解的理解的基礎(chǔ)之上，提出了本節(jié)課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：經(jīng)歷一元二次方程解的探索過程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)，發(fā)展估算意識(shí)和能力。但這僅僅是這堂課具體的教學(xué)目標(biāo)，或者說是一個(gè)近期目標(biāo)。而數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)，應(yīng)該與具體的課堂教學(xué)任務(wù)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。本課認(rèn)識(shí)一元二次方程內(nèi)容從屬于“方程與不等式”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，因而

3、務(wù)必服務(wù)于方程教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)：“讓學(xué)生經(jīng)歷由具體問題抽象出方程的過程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效模型，并在解一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想”，同時(shí)也應(yīng)力圖在學(xué)習(xí)中逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1、結(jié)合上一節(jié)課的實(shí)際問題中所建立的一元二次方程模型，激發(fā)學(xué)生求解的意識(shí)。2、經(jīng)歷探索滿足一元二次方程解或近似解的過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程解的理解，發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和能力。3、進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生大膽嘗試的精神，在嘗試的過程中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識(shí)，學(xué)會(huì)在合作學(xué)習(xí)中相互交流。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：

4、第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：練習(xí)提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧活動(dòng)內(nèi)容：在上一節(jié)課中，我們得到了如下的兩個(gè)一元二次方程：，即：；，即：。發(fā)現(xiàn)一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中具有同樣廣泛的應(yīng)用。上一節(jié)課的兩個(gè)問題是否已經(jīng)得以完全解決？你能求出各方程中的x嗎？活動(dòng)目的：上述兩個(gè)問題是承上一節(jié)課的現(xiàn)實(shí)問題，通過對(duì)這兩個(gè)問題情境的回顧，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生求解的欲望，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。適當(dāng)?shù)幕仡櫼彩且龑?dǎo)學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而且還應(yīng)該關(guān)注對(duì)該數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。實(shí)際效果：學(xué)生能夠意識(shí)到上一節(jié)課只是找到了解決問題的途徑，即列方

5、程，但并沒有將方程的解求出來，也就是說并沒有最終找到問題的答案，因而產(chǎn)生了徹底解決這些問題的欲望，因而十分自然地引出了本節(jié)課的主要內(nèi)容：探索一元二次方程的解。第二環(huán)節(jié)：情境引入活動(dòng)內(nèi)容：1、有一根外帶有塑料皮長(zhǎng)為100m的電線，不知什么原因中間有一處不通，現(xiàn)給你一只萬用表（能測(cè)量是否通）進(jìn)行檢查，你怎樣快速的找到這一處斷裂處？與同伴進(jìn)行交流。2、在前一節(jié)課的問題中，我們?nèi)粼O(shè)所求的寬度為x(m)，得到方程：，即：；（1）根據(jù)題目的已知條件，你能確定x的大致范圍嗎？?說說你的理由（2）x可能小于0嗎？可能大于4嗎?可能大于25嗎?說說你的理由，并與同伴進(jìn)行交流（3）完成下表：x00.511.522

6、.52x2-13x+11（4）你知道所求的寬度x(m)是多少嗎? 還有其他求解方法嗎?與同伴進(jìn)行交流活動(dòng)目的：設(shè)計(jì)問題1，目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)和理解“夾逼”的思想，為2的解決提供鋪墊；問題2，順應(yīng)第1環(huán)節(jié)，設(shè)法求出花邊的寬度，這里引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)初步估計(jì)范圍、逐步逼近的過程，為后續(xù)其他問題的解決提供了范本、樣例。實(shí)際效果：通過對(duì)問題1提出的方法進(jìn)行討論，學(xué)生能夠比較自然的得到“夾逼”思想解決一元二次方程的方法，并由學(xué)生概括得出用“夾逼”思想解一元二次方程的實(shí)質(zhì)及步驟：在未知數(shù)x的取值范圍內(nèi)排除一部分取值，根據(jù)題意所列的具體情況再次進(jìn)行排除；列出能反映未知數(shù)和方程的值的表格

7、進(jìn)行再次篩選；最終得出未知數(shù)的最小取值范圍或具體數(shù)據(jù)。然后用這種方法解決接下來的問題2。問題2，第（1）問，因?yàn)閤表示的是所求的寬度，學(xué)生能意識(shí)到x不可能小于0；第（2）問，學(xué)生大多數(shù)能夠從實(shí)際情況出發(fā)，意識(shí)到當(dāng)x大于4和當(dāng)x大于2.5時(shí)，將分別使原矩形地面的長(zhǎng)和寬小于0，不符合實(shí)際情況；第（3）問，學(xué)生在利用計(jì)算器對(duì)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式2x2-13x+11的值等于0；所求的寬度為1m。由于方程的解是整數(shù)解，學(xué)生都能通過列表計(jì)算直接找到方程的解，這就使學(xué)生從這種求解的方法中體驗(yàn)到了方便和巧妙，從而增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生善于觀察分析問題、樂于探索研究

8、的學(xué)習(xí)品質(zhì)及與他人合作交流的意識(shí)。當(dāng)然，解決第（4）問時(shí)，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)在方程中，等式的左邊是一個(gè)乘積，右邊等于18，而36=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,湊出x=1，這些學(xué)生的想法很巧妙，要及時(shí)肯定。第三環(huán)節(jié)：做一做活動(dòng)內(nèi)容：上節(jié)課我們通過設(shè)未知數(shù)得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程，把這個(gè)方程化為一般形式為（1）你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎?（2）小明認(rèn)為底端也滑動(dòng)了1 m，他的說法正確嗎?為什么?（3）底端滑動(dòng)的距離可能是2 m嗎?可能是3 m嗎?為什么?（4）x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?活動(dòng)目的：在本環(huán)節(jié)中，使學(xué)生充分體驗(yàn)探求方程解的過程，這既是對(duì)

9、上一環(huán)節(jié)的一個(gè)練習(xí)鞏固，更重要的是在列表求解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生先確定解的范圍，從而讓學(xué)生建立兩邊“夾逼”的思想方法，進(jìn)而體會(huì)無限逼近的思想，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程解的理解，為后面學(xué)習(xí)掌握配方法解一元二次方程做好充分的準(zhǔn)備。同時(shí)，對(duì)于近似解的討論，一方面可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程解的理解，發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和能力，另一方面又為方程精確解的研究做鋪墊。需要指出的是，在這一環(huán)節(jié)的計(jì)算中，應(yīng)提倡學(xué)生使用計(jì)算器。實(shí)際效果：由于在解決上一環(huán)節(jié)問題的過程中，學(xué)生對(duì)用估算的方法求解已經(jīng)有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。本環(huán)節(jié)中，我將課本中的第三問直接提前到第一問，目的是讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)首先從實(shí)際生活中找到x的取值范圍，學(xué)生說理情況非常不錯(cuò)！然

10、后再將找到的0x4的范圍通過以下的幾問繼續(xù)“夾逼”，使x的范圍進(jìn)一步縮小。通過這兩步的“夾逼”，讓學(xué)生充分體會(huì)無限逼近的思想。 附學(xué)生對(duì)第（1）問的說理過程如下：在此題中，我認(rèn)為x的取值范圍是0x4。首先，梯子滑動(dòng)的距離x0是顯而易見的，在下圖中，求得BC=6m,而BD10m,因此CD4m。所以x的取值范圍是0x4。學(xué)生完成下面的表格：x01234x2+12x-15-15-2133049同時(shí)發(fā)現(xiàn)：沒能在這些整數(shù)取值中找到方程的解，但卻通過表格分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x的取值是1和2時(shí)，所對(duì)應(yīng)代數(shù)式的值是-2和13，而且隨著x的取值越大，相應(yīng)代數(shù)式的值也越大。因此若想使代數(shù)式的值為0，那么x的取值應(yīng)在1和2

11、之間。從而確定x的整數(shù)部分是1。教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在1和2之間繼續(xù)找方程的解。以下分了兩種不同的做法：甲同學(xué)的做法：x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以1x1.5進(jìn)一步計(jì)算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1x1.2因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。乙同學(xué)的做法： x1.11.21.31.41.51.61.7x2+12x-15-0.590.842.293.765.256.768.29所以1.1x1.2因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。對(duì)于這幾種做法，教師要及時(shí)地給與肯定和鼓勵(lì)，并可將二者加以比較。通過這一

12、練習(xí)，可要求學(xué)生整理用“夾逼”思想解一元二次方程的做題思路，并可展示課本中小亮的求解過程。第四環(huán)節(jié)：練習(xí)與提高 活動(dòng)內(nèi)容：五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方。您能求出這五個(gè)整數(shù)分別是多少嗎？活動(dòng)目的：為了檢測(cè)學(xué)生對(duì)本課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)到的情況，進(jìn)一步加強(qiáng)知識(shí)的應(yīng)用訓(xùn)練，我給出了課本上的這道題目，這也是上一節(jié)課中的一個(gè)數(shù)學(xué)問題的延續(xù)。引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)獲得途徑、結(jié)論、應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想方法等幾個(gè)方面展開，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納完成，這有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶，提高分析和小結(jié)能力。教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的不同表示方法，讓學(xué)生比較異同，并在比較中找出最好的表示方法。同時(shí)這一題目也是對(duì)本節(jié)

13、知識(shí)進(jìn)行的鞏固練習(xí)。實(shí)際效果：此處留給學(xué)生充分的時(shí)間與空間進(jìn)行獨(dú)立練習(xí)，通過練習(xí)學(xué)生基本都能準(zhǔn)確表示出五個(gè)連續(xù)整數(shù)，但因設(shè)法的不同，所列方程各不相同。在計(jì)算該方程的解時(shí)，很難確定x的取值范圍，而且在列表的過程中，符合條件的解共有兩個(gè)，教師可在學(xué)生練習(xí)中給與適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和提示。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)探索解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵，以及在求解（或近似解）時(shí)應(yīng)注意的問題?；顒?dòng)目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想（學(xué)生暢所欲言，教師給予鼓勵(lì)）實(shí)際效果：學(xué)生暢所欲言談自己的切身感受與實(shí)際收獲，掌握了本節(jié)課的基本思路和過程。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本37頁習(xí)題2.2第1題

14、、第2題、第3題.四、教學(xué)反思1、關(guān)注只是發(fā)生發(fā)展過程、關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)過程由于在舊教材當(dāng)中，解方程的過程大多是根據(jù)方程的特點(diǎn)，運(yùn)用不同的解法直接求精確解，學(xué)生掌握的更多的是解方程的技巧和準(zhǔn)確度。標(biāo)準(zhǔn)中明確要求加強(qiáng)學(xué)生估算意識(shí)和能力的培養(yǎng)，這一方面可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程解的理解，另一方面又為方程精確解得研究作了鋪墊。本節(jié)課通過日常生活中豐富有趣的問題情境：讓學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型；體會(huì)“夾逼”數(shù)學(xué)思想在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，讓學(xué)生真正經(jīng)歷“夾逼”數(shù)學(xué)思想解題的過程，從而更好地理解“夾逼”思想解一元二次方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；由學(xué)生探索交流，分析此種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而概括出

15、這種方法的實(shí)質(zhì)及解題步驟，這既給學(xué)生提供了一個(gè)充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，又體現(xiàn)了學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人的理念。學(xué)生親身經(jīng)歷了知識(shí)的形成過程，不但改變了以往學(xué)生死記硬背的學(xué)習(xí)方式，而且在教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)了學(xué)生自主探索、合作交流等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。當(dāng)然，學(xué)生是不可能滿足于所獲得的近似解的，必然產(chǎn)生精確求解的內(nèi)在要求，在此基礎(chǔ)上自然引入方程的精確求解，從教育心理學(xué)角度講，是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的，是不可或缺的一個(gè)重要過程。2、創(chuàng)造性使用教材在第三環(huán)節(jié)的做一做中，我將問題串的順序稍作改動(dòng)，使得問題的解決更加流暢。3、相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機(jī)會(huì)課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運(yùn)用各種啟發(fā)、激勵(lì)的語言以及小組合作學(xué)習(xí)等方式，幫助學(xué)生形成積極主動(dòng)的求知態(tài)度。本節(jié)課多次組織學(xué)生合作交流，通過小組合作，為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會(huì)，在此過程中，教師發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在分析問題和解決問題時(shí)出現(xiàn)的獨(dú)到見解，以及思維的誤區(qū)，這樣