平面向量的基本定理及坐標表示

1、2.3 平面向量的基本定理及坐標表示第 1 課時教學目標一、知識與技能1通過探究活動，理解平面向量基本定理2掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，理解這是應(yīng)用向量 解決實際問題的重要思想方法 能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底， 使其他向量都能夠用基 底來表達3了解向量的夾角與垂直的概念，并能應(yīng)用于平面向量的正交分解中，會把向量的正 交分解用于坐標表示，會用坐標表示向量二、過程與方法1首先通過“思考”，讓學生思考對于平面內(nèi)給定的任意兩個向量進行加減的線性運 算時所表示的新向量有什么特點，反過來，對平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如辰計的向量表示2 通過教師提出問題， 多讓學生自己動

2、手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 通過解題來總結(jié)方法，引 導學生理解“化歸”思想對解題的幫助， 也要讓學生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這部 分的題3如果條件允許，借助多媒體進行教學會有意想不到的效果整節(jié)課的教學主線應(yīng)以 學生練習為主，教師給予引導和提示充分讓學生經(jīng)歷分析、探究并解決實際問題的過程， 這也是學習數(shù)學， 領(lǐng)悟思想方法的最好載體 學生經(jīng)歷的這種實踐活動越多， 解決實際問題 的方法就越恰當而簡捷三、情感、態(tài)度與價值觀1在探究過程中，讓學生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過解題來總結(jié)方法，培養(yǎng)學生 對“化歸”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學思想的應(yīng)用2在讓學生經(jīng)歷分析、探究并解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學生堅忍不拔的意

3、志，實 事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神 .教學重點、難點 教學重點：平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、 平面向量的正交分解、平面向 量的坐標表示教學難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用教學關(guān)鍵：平面向量基本定理的理解 .教學突破方法： 通過問題設(shè)置， 讓學生充分練習， 發(fā)現(xiàn)規(guī)律方法， 體現(xiàn)學生的主體地位 教法與學法導航教學方法：啟發(fā)誘導 . 學習方法：在老師問題的引導下，學生要充分作圖，與小組成員合作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 教學準備 .教師準備：多媒體、尺規(guī) .學生準備：練習本、尺規(guī) . 教學過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導入新課在物理學中我們知道， 力是一個向量， 力的合成就是向量的加法運算 而且力

4、是可以分解的，任何一個大小不為零的力， 都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？二、主題探究，合作交流提出問題 給定平面內(nèi)任意兩個不共線的非零向量&、勺，請你作出向量3ei+2e2、ei- 2e2.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如入ei+沁 的向量表示呢？ 如上左圖，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖研究 a與e2之間的關(guān)系.師生互動：如上右圖，在平面內(nèi)任取一點0,作0A=ei, OB =e2, OC =a.過點C作平行于直線 0B的直線，與直線 0A交于點M;過點C作平行于直線 0A的直線，

5、與直線0B交于點N.由向量的線性運算性質(zhì)可知,存在實數(shù) 乃、d使得0M =入ei, ON = he2.由于0C = 0M ON ,所以a=治+ he.也就是說，任一向量a都可以表示成 入亀+加2的形 式.由上述過程可以發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)任一向量都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量ei、e2表示出來當ei、e2確定后，任意一個向量都可以由這兩個向量量化，這為我們研究問題帶 來極大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e1> e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù) 入、h,使a = he什he2.定理說明：(1) 我們把不共線的向量 e1> e2叫

6、做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不唯一，關(guān)鍵是不共線 ；(3) 由定理可將任一向量 a在給出基底ei、e2的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式唯一.提出問題： 平面內(nèi)的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？ 對平面內(nèi)的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？師生互動：引導學生結(jié)合向量的定義和性質(zhì)，思考平面內(nèi)的任意兩個向量之間的關(guān)系是什么樣的，結(jié)合圖形來總結(jié)規(guī)律.教師通過提問來了解學生總結(jié)的情況，對回答正確的學生進行表揚，對回答不全面的學生給予提示和鼓勵.然后教師給出總結(jié)性的結(jié)論：不共線向量存在夾角，關(guān)于向量的夾角，我們規(guī)定：已知兩個非零

7、向量 a和b (如圖)，作OA=a, OB = b,則/ AOB=0 (0°<0< )叫做8#向量a與b的夾角.顯然，當0 =0時，a與b同向；當0 =180時，a與b反向.因此，兩非零向量的夾角在區(qū)間0 ° 180°內(nèi).如果a與b的夾角是90°我們說a與b垂直，記作a丄b.由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個向量ai和ba2, 使 a=入ai+ ?2a2.在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解，正交

8、分解是向量分解中常見的一種情形.在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便.提出問題 我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序?qū)崝?shù) (即它的坐標)表示.對直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？ 在平面直角坐標系中，一個向量和坐標是否是對應(yīng)的？師生互動：如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)X、y,使得a=xi+yj 這樣，平面內(nèi)的任一向量 a都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x, y)叫做向量a的 坐標，記作a = (x, y)其中x叫做a在x

9、軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示. 顯 然，i= (1, 0), j = (0, 1), 0= (0, 0).教師應(yīng)引導學生特別注意以下幾點：(1) 向量a與有序?qū)崝?shù)對(x, y) 一對應(yīng).(2) 向量a的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關(guān)系，只與 其相對位置有關(guān)系.如圖所示，A1 B是表示a的有向線段，A1、B1的坐標分別為(X1, y1)、(X2, y2),則向量 a 的坐標為 x=x2-x1, y=y2-y1, 即卩 a 的坐標為(X2-X1, y2-y1).(3) 為簡化處理問題的過程，把坐標原點作為表示向量a的有向線段的起點，這時向量a的坐

10、標就由表示向量 a的有向線段的終點唯一確定了，即點A的坐標就是向量a的坐標，流程表示如下：fl :ri對a的坐標為(-八$)三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例1已知向量&、62 (如右圖)，求作向量-2. 5e計3 e2.作法：(1)如圖，任取一點 O,作 OA=-2.5e1, OB =3e2.(2)作 OACB .故OC就是求作的向量.例2如下圖，分別用基底 i、j表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標._4_3j l 2 3 4 A鍵是把aa用向量本例軸對活動：本例要求用基底 i、j表示a、b、c、d,其關(guān) 把a、b、c、d表示為基底i、j的線性組合.一種方法是 正交分解，看a在x軸、y軸

11、上的分向量的大小.把向量i、j表示出來，進而得到向量a的坐標.另一種方法是把 a移到坐標原點，則向量 a終點的坐標就是向量 a的坐 標.同樣的方法，可以得到向量b、c、d的坐標.另外，還可以通過四個向量之間位置的幾何關(guān)系：a與b關(guān)于y稱，a與c關(guān)于坐標原點中心對稱， a與d關(guān)于x軸對稱 等.由一個向量的坐標推導出其他三個向量的坐標.解：由圖可知，a= AAi + AA2 =2 i+3 j,二 a= (2, 3).同理，b=-2i +3j = (-2, 3);c=-2i-3j = (-2, -3); d=2 i-3j = (2, -3).點評：本例還可以得到啟示，要充分運用圖形之間的幾何關(guān)系，求

12、向量的坐標.四、小結(jié)1. 先由學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：平面向量的基本定理，向量的夾角與垂直的定 義，平面向量的正交分解，平面向量的坐標表示.2. 教師與學生一起總結(jié)本節(jié)學習的數(shù)學方法，如待定系數(shù)法、定義法、歸納與類比、 數(shù)形結(jié)合.五、課堂作業(yè)1.如圖所示，已知 AP=- AB , AQ = - AB，用OA、OB表示 OP，則OP等 33于( )1 h 4 -1 4 A. - OA+OBb. OA+OB33331 4 1 4 C.OA- OB D. OA- OB33332. 已知e1, 02是兩非零向量，且|e1|=m, 大值為()|e2|=n,若 c= Xie什 2202 (入，入 R)

13、,則 |c|的最A . Xm+ XnB. Xn + XmC. |X|m+|X|nD . |X|n+| X|m.1I則G G2等于3. 已知 G1、G2 分別為 AA1B1C1 與AA2B2C2 的重心，且 A A = e1, B B2 =e2,1 / 、1 / 、A .(e什e2+e3)B .(e1+e?+e3)232C.(e1 + e2+ e3)D .1 、(ei+e2+e3)33)4 . O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 AB ACOP=OA+入（+）,入 0, +，則P的軌跡一定通過 ABC的（）|AB| |AC|A .外心B .內(nèi)心C.重心D .垂心5.

14、已知向量a、b且AB= a+2b, BC =-5a+6b, CD = 7a-2b,則一定共線的三點是 （）A. A、B、DB . A、B、CC. C、B、DD . A、C、D6. 如右圖，平面內(nèi)有三個向量 0A、OB、OC ,其中與0A與0B的夾角為120 °0A與 OC 的夾角為 30° 且|OA|=|OB |=1, |OC |=2 . 3，若OC =入OA+（1OB （入讓R），則A+卩的值為.參考答案：1. B 2. C 3. B 4. B 5. A6. 6第2課時教學目標一、知識與技能1. 理解平面向量的坐標的概念；2. 掌握平面向量的坐標運算；3. 會根據(jù)向量的坐

15、標，判斷向量是否共線.二、過程與方法教師在引導學生探究時，始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與 形緊密結(jié)合的特點.讓學生在了解向量知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進一步熟悉向量的坐標表示以及運算法則、運算律，能熟練向量代數(shù)化的重要作用和實際生活中的應(yīng)用，并加強數(shù)學應(yīng)用意識，提高分析問題、解決問題的能力.三、情感、態(tài)度與價值觀在解決問題過程中使學生形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習慣，以加深理解知識要點，增強應(yīng)用意識.教學重點、難點教學重點：平面向量的坐標運算.教學難點：對平面向量共線的坐標表示的理解.教學關(guān)鍵：平面向量坐標運算的探究教學突破方法：結(jié)合向量坐標表示的定義及運算律，引導學生探

16、究發(fā)現(xiàn)，最終得到結(jié)論.教法與學法導航教學方法：問題式教學，啟發(fā)誘導學習方法：在熟悉向量的坐標表示以及運算法則、運算律的基礎(chǔ)上，在老師的引導下， 通過與同學合作探究，得到結(jié)論.教學準備教師準備：多媒體、尺規(guī).學生準備：練習本、尺規(guī).教學過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導入新課前一節(jié)課我們學習了向量的坐標表示，引入向量的坐標表示后， 可使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學生熟知的數(shù)量運算.引進向量的坐標表示后，向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn)，那么向量的平行、垂直， 是否也能通過坐標來研究呢？二、主題探究，合作交流提出問題： 我們研究了平面向量的坐標表示，現(xiàn)在已知

17、a= (xi, yi), b= (X2, y2),你能得出a+ b,a- b,掃的坐標表示嗎？ 如圖，已知 A (Xi, yi), B (X2, y2),怎樣表示 AB的坐標？你能在圖中標出坐標為(X2- Xi, y2-yi)的P點嗎？標出點P后，你能總結(jié)出什么結(jié)論？師生互動：教師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算，教師可以讓學生到黑板去板書步驟可得：a+ b= (xii+yij) + (X2i+y2j) = (x什X2) i+ (y什y2)j,即a + b= (Xi+X2, yi+y2)同理a- b= (Xi-X2, yi-y2).又?a = X (Xii+yij)=刈+ y

18、ij X = ( Xci, ?yi) 教師和學生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字敘述分別為：兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差)；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.教師再引導學生找出點與向量的關(guān)系：將向量AB平移，使得點A與坐標原點0重合，則平移后的B點位置就是P點向量AB的坐標 與以原點為始點，點 P為終點的向量坐標是相同的，這樣就建立了向量的坐標與點的坐標 之間的聯(lián)系.學生通過平移也可以發(fā)現(xiàn)：向量 AB的模與向量0P的模是相等的.由此，我們可以得出平面內(nèi)兩點間的距離公式：|AB|=|OP|= .(Xi -X2)2 (yi - y2)2 教師對總結(jié)完全的

19、同學進行表揚，并鼓勵學生，只要善于開動腦筋，勇于創(chuàng)新，展開 思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果：能. AB = OB- 0A= (X2, y2)- (xi, yi) = (X2-Xi, y2-yi) 結(jié)論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標. 提出問題如何用坐標表示兩個共線向量？若a= (xi, yi), b= (X2, y»,那么 里=里是向量a、b共線的什么條件？x1x2師生互動：教師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關(guān)系.此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥：設(shè)a= (xi, yi), b= (X2, y2),其中bm

20、我們知道，a、b共線，當且僅當存在實數(shù) 人使a =血.如果用坐標表示，可寫為(x1, y1)=入(x2, y2),fnX<| = /.x2,即消去入后得Xiy2-X2yi=0 .yi =細2.這就是說，當且僅當 Xiy2- X2yi=0時向量a、b (bM0共線.我們知道 xiy2- X2yi=0與Xiy2=X2yi疋等價的，但這與 ：Xiy2是不等價的.因為當Xi = X2=0X2時，Xiy2-X2yi=0成立，但 里二 江均無意義.因此 吐二 生是向量a、b共線的充分不必 xix2xix2要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性，更簡捷、實用，讓學生仔細體會這點.討論結(jié)果： xiy2-

21、 x2yi=0時，向量a、b ( b老)共線. 充分不必要條件.提出問題：a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)入使得a=b，那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？師生互動：教師引導推證：設(shè)a= (xi, yi), b= (x2, y2),其中ba,Xi =入X2 ,由 a = ?b, (xi, yi)=入(X2, y?)=、 消去 入 得 Xiy2-X2yi=0.y =®2.討論結(jié)果：a / b ( b0)的充要條件是Xiy2-X2yi=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟：i.消去入時不能兩式相除，/ yi、y2有可能為o,而b曲， X2、y2中至少有一個不為 0.2.充要條

22、件不能寫成（. xi、X2有可能為o）.XiX23. 從而向量共線的充要條件有兩種形式：a / b( b-0 -仁2農(nóng)力.三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例 1 已知 a= (2, i), b= (-3, 4),求 a+ b , a- b , 3a+4b 的坐標.活動：本例是向量代數(shù)運算的簡單應(yīng)用，讓學生根據(jù)向量的線性運算進行向量的和、差及數(shù)乘的坐標運算，再根據(jù)向量的線性運算律和向量的坐標概念得出結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標， 那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標，從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉(zhuǎn)化.可由學生自己完成.解：a+ b= (2, 1) + (-3 , 4) =

23、 (-1, 5); a- b= (2, 1) - (-3 , 4) = (5 , -3);3a+4b=3 (2, 1) +4 (-3 , 4) = (6 , 3) + (-12 , 16) = (-6 , 19).點評：本例是平面向量坐標運算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標運算公式.例2如圖.已知口ABCD的三個頂點 A、B、C的坐標分別是(-2 , 1)、(-1, 3)、( 3, 4),試求頂點D的坐標.活動：本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.這里給出了兩種解法：解法一利用“兩個向量相等，貝陀們的坐標相等”， 解題過程中應(yīng)用了方程思想； 解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向

24、量OD的坐標，進而得到點D的坐標解題過程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系) 示為已知點的坐標.解：方法一：如上圖，設(shè)頂點D的坐標為(，數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點 D的坐標表X, y).AB= (-1- (-2), 3-1) = (1, 2), DC=(3- x, 4- y).由 AB = DC ,得(1, 2) = (3-x, 4-y).1 =3x,2 = 4 X.頂點D的坐標為(2, 2).方法二：如上圖，由向量加法的平行四邊形法則，可知BD = BA AD = BA BC=(-2- (-1), 1-3) + (3- (-1), 4-3) = (3, -1),而 OD =

25、 OB + BD= (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2),頂點D的坐標為(2, 2).點評：本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.例 3 已知 a= (4, 2), b= (6, y),且 a/ b,求 y.解：a / b,.°. 4y-20=O . y=3.例4 已知A (-1 , -1), B (1 , 3) , C ( 2 , 5)，試判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系. 活動：教師引導學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量，兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線. 學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標

26、形式來判斷向量之間的關(guān)系. 圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解：在平面直角坐標系中作出A、B、C三點，觀察圖形，我們猜想 A、B、C三點共線.下面給出證明.然后根據(jù)教師引導讓學生通過觀察/廣1 AB= (1- (-1), 3- (-1) = (2, 4),AC = (2- (-1), 5- (-1) = ( 3, 6),又 20-3 >4=0, AB / Ac，且直線AB、直線AC有公共點A, A、B、C三點共線.點評：本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法，其實質(zhì)是從同一點出發(fā)的兩個向量共線，則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的.例5設(shè)點P是線段P1

27、P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(X1, yj、(X2, y2).(1) 當點P是線段P1P2的中點時，求點 P的坐標；(2) 當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點 P的坐標.P P活動：教師充分讓學生思考，并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當=入時，點P的坐PB標是什么？師生共同討論，一起探究，可按照求中點坐標的解題思路類比推廣，有學生可能提出如下推理方法：由 P P =入PR，知(x-X1, y-yj = (X2-X, y2- y),X _ % = h(x2 - x)% +hx2X =j1 +九| % +®2這就是線段的定比分點公式，教師要給予充分肯定， 鼓勵學生的這種積極探索，這是學 習數(shù)學的重要品質(zhì)時間允許的話，可以探索 點位置的影響，也可鼓勵學生課后探索.解：(1 )如圖，由向量的線性運算可知OP= 1( OP 1+0P2)= ( ' X2所以點P的坐標是X1 +X2 y1 +y2 )2 ， 2 *2 2(2)如圖(1 )、(2),當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，即Plf=1 或空=2.PF22 PF2P p i如果_= _，如圖(1),那么PP221 一1一一2 1-OP = OR+RP = OR + PiF2=0R +-( OP2 - OR ) = OR + -OP23 33