初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料初三匯總（45-70）

1、初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料（45）一元二次方程的根甲內(nèi)容提要1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的實數(shù)根，是由它的系數(shù)a,b,c的值確定的.根公式是：x=.(b24ac0)2. 根的判別式 實系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)有實數(shù)根的充分必要條件是：b24ac0. 有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根的判定是：b24ac是完全平方式方程有有理數(shù)根.整系數(shù)方程x2+px+q=0有兩個整數(shù)根p24q是整數(shù)的平方數(shù).3. 設(shè)x1,x2 是ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，那么 ax12+bx1+c=0(a0，b24ac0)， ax22+bx2+c=0(a0， b24ac0)；

2、x1=，x2=(a0,b24ac0)； 韋達定理：x1+x2= , x1x2= (a0,b24ac0).4. 方程整數(shù)根的其他條件整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)有一個整數(shù)根x1的必要條件是：x1是c的因數(shù).特殊的例子有：C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， ab+c=0x1=1.乙例題例1. 已知：a,b,c是實數(shù)，且a=b+c+1.求證：兩個方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.（1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）證明（用反證法）設(shè)兩個方程都沒有兩個不相等的實數(shù)根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5

3、 ：a24a+50，即（a2）2+10，這是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一個是大于0.方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.本題也可用直接證法：當120時，則1和2中至少有一個是正數(shù).例2. 已知首項系數(shù)不相等的兩個方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b為正整數(shù))有一個公共根.求a,b的值.（1989年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）解：用因式分解法求得：方程的兩個根是a和；方程兩根是b和.由已知a>1,b>1且ab.公共根是a= 或b=.兩個等式去分母后的

4、結(jié)果是一樣的.即aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b都是正整數(shù)，；或.解得；或.又解：設(shè)公共根為x0那么先消去二次項：×（b1）×（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.當x01時，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.當(abab2)0時，得(a1)(b1)=3解法同上.例3.已知：m,n 是不相等的實數(shù)，方程x2+mx+n=0的兩根差與方程y2+ny+m=0的兩根差相等.求：

5、m+n的值.（1986年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）解：方程兩根差是同理方程兩根差是依題意，得.兩邊平方得：m24n=n24m. （mn）(m+n+4)=0mn，m+n+40，m+n4.例4.若a,b,c都是奇數(shù)，則二次方程ax2+bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根.證明：設(shè)方程有一個有理數(shù)根（m,n 是互質(zhì)的整數(shù)）.那么a()2+b()+c=0,即an2+bmn+cm2=0.把m,n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，m,n互質(zhì)，不可能同為偶數(shù).當m,n同為奇數(shù)時，則an2+bmn+cm2是奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0；當m為奇數(shù),n為偶數(shù)時，an2+bmn+cm2是偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0； 當m為偶數(shù),n為奇數(shù)時，an2+

6、bmn+cm2是奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)0.綜上所述不論m,n取什么整數(shù)，方程a()2+b()+c=0都不成立. 即假設(shè)方程有一個有理數(shù)根是不成立的.當a,b,c都是奇數(shù)時，方程ax2+bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根.例5.求證：對于任意一個矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(k1).（1983年福建省初中數(shù)學競賽題）證明：設(shè)矩形A的長為a,寬為b，矩形B的長為c,寬為d. 根據(jù)題意，得.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韋達定理的逆定理，得c,d 是方程z2(a+b)kz+abk=0的兩個根. （a+b）k24abk（a2+2ab+b2）k24abk=k(

7、a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab, a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab. 0.一定有c,d值滿足題設(shè)的條件.即總存在一個矩形B，使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(k1).例6.k取什么整數(shù)值時，下列方程有兩個整數(shù)解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得兩個根是：x1=，x2=. 由x1是整數(shù)，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. 由x2是整數(shù)，得k1=±1, ±2, ±3,

8、 ±6.它們的公共解是：得k=0,2,2,3,5.答：當k=0,2,2,3,5時，方程有兩個整數(shù)解.根據(jù)韋達定理x1,x2,k都是整數(shù)，k=±1，±2.（這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進行檢驗.）把k=1,1,2,2，分別代入原方程檢驗，只有當k=2和k=2 時適合.答：當k取2和2時，方程有兩個整數(shù)解.丙練習451. 寫出下列方程的整數(shù)解： 5x2x=0的一個整數(shù)根是. 3x2+(3)x =0的一個整數(shù)根是. x2+(+1)x+=0的一個整數(shù)根是.2. 方程（1m）x2x1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么整數(shù)m的最大值是.3. 已知方程x2(2m1)

9、x4m+2=0的兩個實數(shù)根的平方和等于5，則m=.4. 若x y ，且滿足等式x2+2x5=0和y2+2y5=0.那么.（提示：x,y是方程z2+5z5=0的兩個根.）5. 如果方程x2+px+q=0的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么p,q應(yīng)滿足的關(guān)系是：. （1986年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）6. 若方程ax2+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么兩實數(shù)根的符號必是. （1987年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）7. 如果方程mx22(m+2)x+m+5=0 沒有實數(shù)根，那么方程（m5）x22mx+m=0實數(shù)根的個數(shù)是（）.(A)2 （B）1 （C）0 （D）不能確定（198

10、9年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）8. 當a,b為何值時，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有實數(shù)根？（1987年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）9.兩個方程x2+kx1=0和x2xk=0有一個相同的實數(shù)根，則這個根是（）(A)2（B）2（C）1（D）1（1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）10. 已知：方程x2+ax+b=0與x2+bx+a=0僅有一個公共根，那么a,b應(yīng)滿足的關(guān)系是：.11.已知：方程x2+bx+1=0與x2xb=0有一個公共根為m，求：m，b的值.12.已知：方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根各加上1，就是方程x2a2x+ab=0的兩個實數(shù)根.試求a,b的值或取值范圍

11、.（1997年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）13.已知：方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根和等于s1，兩根的平方和等于s2, 兩根的立方和等于s3.求證：as3+bs2+cs1=0.14.求證：方程x22(m+1)x+2(m1)=0 的兩個實數(shù)根，不能同時為負.（可用反證法）15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的兩個實數(shù)根；c,d是方程x2+nx+q=0的兩個實數(shù)根. 求證：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq)2.16.如果一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和等于5，兩實數(shù)根的積是2，那么這個方程是：. （1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）17.如果方程（x1）(x22x+m)=0的三個

12、根，可作為一個三角形的三邊長，那么實數(shù)m的取值范圍是（）（A）0m1（B）m（C）<m1（D）m1 （1995年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）18. 方程7x2(k+13)x+k2k2=0 (k是整數(shù))的兩個實數(shù)根為，且01，12，那么k的取值范圍是( )（A）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1（D）無解（1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料為（46）完全平方數(shù)和完全平方式甲內(nèi)容提要一定義1. 如果一個數(shù)恰好是某個有理數(shù)的平方，那么這個數(shù)叫做完全平方數(shù).例如0，1，0.36，121都是完全平方數(shù).在整

13、數(shù)集合里，完全平方數(shù)，都是整數(shù)的平方.2. 如果一個整式是另一個整式的平方，那么這個整式叫做完全平方式. 如果沒有特別說明，完全平方式是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的.例如：在有理數(shù)范圍m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144都是完全平方式.在實數(shù)范圍（a+）2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式.二. 整數(shù)集合里，完全平方數(shù)的性質(zhì)和判定1. 整數(shù)的平方的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數(shù)字為2，3，7，8的整數(shù)必不是平方數(shù).2. 若n是完全平方數(shù)，且能被質(zhì)數(shù)p整除, 則它也能被p2整除.若整數(shù)m能被q整除，但不能被q2整除, 則m不是完全平方數(shù).例如：3402能被2整除

14、，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數(shù).又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數(shù).三. 完全平方式的性質(zhì)和判定 在實數(shù)范圍內(nèi)如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，則b24ac=0且a>0；如果 b24ac=0且a>0；則ax2+bx+c (a0)是完全平方式. 在有理數(shù)范圍內(nèi)當b24ac=0且a是有理數(shù)的平方時，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方數(shù)的關(guān)系1. 完全平方式（ax+b）2 中當a, b都是有理數(shù)時, x取任何有理數(shù)，其值都是完全平方數(shù)；當a, b中有一個無理數(shù)時，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數(shù).2. 某些

15、代數(shù)式雖不是完全平方式，但當字母取特殊值時，其值可能是完全平方數(shù). 例如： n2+9, 當n=4時，其值是完全平方數(shù).所以，完全平方式和完全平方數(shù)，既有聯(lián)系又有區(qū)別.五. 完全平方數(shù)與一元二次方程的有理數(shù)根的關(guān)系1. 在整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)中 若b24ac是完全平方數(shù)，則方程有有理數(shù)根； 若方程有有理數(shù)根，則b24ac是完全平方數(shù).2. 在整系數(shù)方程x2+px+q=0中 若p24q是整數(shù)的平方，則方程有兩個整數(shù)根； 若方程有兩個整數(shù)根，則p24q是整數(shù)的平方.乙例題例1. 求證：五個連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).證明：設(shè)五個連續(xù)整數(shù)為m2, m1, m, m+1, m+2.

16、 其平方和為S.那么S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）25（m2+2）.m2的個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9m2+2的個位數(shù)只能是2，3，6，7，8，1m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.五個連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù). 例2 m取什么實數(shù)時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式？解：根據(jù)在實數(shù)范圍內(nèi)完全平方式的判定，得 當且僅當時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式=0，即（2m）24(m1)(3m2)=0.解這個方程， 得 m1=0.5, m2=2.解不等式m1>0 ， 得m>1.即 它們的公共

17、解是m=2.答：當m=2時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證： a=b=c.證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必須且只需： 解這個方程組，得a=b=c.例4. 已知方程x25x+k=0有兩個整數(shù)解，求k的非負整數(shù)解.解：根據(jù)整系數(shù)簡化的一元二次方程有兩個

18、整數(shù)根時，是完全平方數(shù).可設(shè)= m2 (m為整數(shù))，即（5）24k=m2 (m為整數(shù))，解得，k=.k是非負整數(shù)， 由25m20，得，即5m5；由25m2是4的倍數(shù)，得m=±1, ±3, ±5.以 m的公共解±1, ±3, ±5，分別代入k=.求得k= 6, 4, 0.答：當k=6, 4, 0時，方程x25x+k=0有兩個整數(shù)解例5. 求證：當k為整數(shù)時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根. 證明：（用反證法）設(shè)方程有有理數(shù)根，那么是整數(shù)的平方.（8k）216(k2+1)16（3k21）.設(shè)3k21m2 (m是整數(shù)).由

19、3k2m21，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2m21能否成立.當k為偶數(shù)，m為奇數(shù)時，左邊k2是4的倍數(shù)，3k2也是4的倍數(shù)；右邊m2除以4余1，m21除以4余2.等式不能成立.； 當k為奇數(shù)，m為偶數(shù)時，左邊k2除以4余1，3k2除以4余3右邊m2是4的倍數(shù)，m21除以4余1等式也不能成立.綜上所述，不論k, m取何整數(shù)，3k2m21都不能成立.3k21不是整數(shù)的平方，16（3k21）也不是整數(shù)的平方.當k為整數(shù)時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根丙練習461. 如果m是整數(shù)，那么m2+1的個位數(shù)只能是.2. 如果n是奇數(shù)，那么n21除以4余數(shù)是，n2+2除以8余

20、數(shù)是，3n2除以4的余數(shù)是.3. 如果k不是3的倍數(shù)，那么k21 除以3余數(shù)是.4. 一個整數(shù)其中三個數(shù)字是1，其余的都是0，問這個數(shù)是平方數(shù)嗎？為什么？5. 一串連續(xù)正整數(shù)的平方12，22，32，1234567892的和的個位數(shù)是.（1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）6. m取什么值時，代數(shù)式x22m(x4)15是完全平方式？7. m取什么正整數(shù)時，方程x27x+m=0的兩個根都是整數(shù)？8. a, b, c滿足什么條件時,代數(shù)式(cb)x2+2(ba)x+ab是一個完全平方式？9. 判斷下列計算的結(jié)果，是不是一個完全平方數(shù)： 四個連續(xù)整數(shù)的積； 兩個奇數(shù)的平方和.10. 一個四位數(shù)加上38或減去

21、138都是平方數(shù)，試求這個四位數(shù).11. 已知四位數(shù)是平方數(shù)，試求a, b.12. 已知：n是自然數(shù)且n>1. 求證：2n1不是完全平方數(shù).13. 已知：整系數(shù)的多項式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方數(shù)，求整數(shù)a和b的值.14. 已知：a, b是自然數(shù)且互質(zhì)，試求方程x2abx+(a+b)=0的自然數(shù)解.(1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽題)15.恰有35個連續(xù)自然數(shù)的算術(shù)平方根的整數(shù)部分相同，那么這個整數(shù)是( ) (A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36 (1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料（47）配方法甲內(nèi)容提要1. 配方：這里指的是在代數(shù)式

22、恒等變形中，把二次三項式a2±2ab+b2寫成完全平方式（a±b）2. 有時需要在代數(shù)式中添項、折項、分組才能寫成完全平方式.常用的有以下三種：由a2+b2配上2ab， 由2 ab配上a2+b2， 由a2±2ab配上b2.2. 運用配方法解題，初中階段主要有： 用完全平方式來因式分解例如：把x4+4 因式分解.原式x4+44x24x2=(x2+2)24x2這是由a2+b2配上2ab. 二次根式化簡常用公式：，這就需要把被開方數(shù)寫成完全平方式.例如：化簡.我們把52寫成 2232（）2.這是由2 ab配上a2+b2. 求代數(shù)式的最大或最小值，方法之一是運用實數(shù)的平方

23、是非負數(shù)，零就是最小值.即a20， 當a=0時，a2的值為0是最小值.例如：求代數(shù)式a2+2a2 的最值.a2+2a2= a2+2a+13=(a+1)23當a=1時, a2+2a2有最小值3.這是由a2±2ab配上b2 有一類方程的解是運用幾個非負數(shù)的和等于零，則每一個非負數(shù)都是零，有時就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+140.配方的可化為（x+1）2+(y2)2=0. 要使等式成立，必須且只需.解得此外在解二次方程中應(yīng)用根的判別式，或在證明等式、不等式時，也常要有配方的知識和技巧.乙例題例1. 因式分解：a2b

24、2a2+4abb2+1.解：a2b2a2+4abb2+1a2b2+2ab+1+(a2+2abb2)（折項，分組）（ab+1）2(ab)2（配方）（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本題的關(guān)鍵是用折項，分組，樹立配方的思想.例2. 化簡下列二次根式：； ；.解：化簡的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配方2.=2.例3. 求下列代數(shù)式的最大或最小值：x2+5x+1； 2x26x+1 . 解：x2+5x+1x2+2×x+1（x+）2.（x+）20，其中0是最小值.即當x=時，x2+5x+1有最小值.2x26x+1 2（x2+3x-）=2(x2+2×x+) 2（x+）2+2

25、（x+）20，其中0是最大值，當x=時，2x26x+1有最大值.例4. 解下列方程：x4x2+2xy+y2+1=0 ； x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：（x42x21）（x2+2xy+y2）=0 . （折項，分組） (x21)2+(x+y)2=0.（配方）根據(jù)“幾個非負數(shù)的和等于零，則每一個非負數(shù)都應(yīng)等于零”.得 或 x2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折項，分組)(x+y)2+6（x+y）+9+y22y+1=0.(x+y+3)2+(y1)20.（配方）例5. 已知：a,b,c,d 都是整數(shù)且m=a2+b2, n=c2+d2,則mn也可以表示為兩個整數(shù)的

26、平方和，試寫出其形式.（1986年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd (分組，添項)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整數(shù)解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添項)（x4）2+(y+5)225（配方）25折成兩個整數(shù)的平方和，只能是0和25；9和16.由得同理，共有12個解丙練習471. 因式分解：x4+x2y2+y4 ； x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x4+x2

27、-2ax-a2+1.2. 化簡下列二次根式：（x<）；(1<x<2)；（146）÷（3）；（）2.3求下列代數(shù)式的最大或最小值：2x2+10x+1 ； x2+x-1.4.已知：a2+b24a2b+5 . 求：的值.5.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.6.已知：實數(shù)a, b, c 滿足等式a+b+c=0, abc=8 . 試判斷代數(shù)式值的正負.（1987年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）7.已知：x= . 求：. （1986年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求證：a=b=c.9. 解方程：

28、x2-4xy+5y2-6y+9 ； x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； 5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整數(shù)解：（2x-y2）2(x+y+2)2=5； x2-6xy+y2+10y+25=0.初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料(48)非負數(shù)甲內(nèi)容提要1. 非負數(shù)的意義：在實數(shù)集合里，正數(shù)和零稱為非負數(shù).a是非負數(shù)，可記作a0,讀作a大于或等于零，即a不小于零.2. 初中學過的幾種非負數(shù)：實數(shù)的絕對值是非負數(shù).若a是實數(shù)，則0.實數(shù)的偶數(shù)次冪是非負數(shù).若a是實數(shù)，則a2n0（n是正整數(shù)）.算術(shù)平方根是非負數(shù)，且被開方數(shù)也是非負數(shù).若是二次根式，則0，a0.一元二次方程有實

29、數(shù)根時，根的判別式是非負數(shù)，反過來也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a0) 有兩個實數(shù)根， 則b24ac0.若b24ac0(a0)， 則二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根.數(shù)軸上，原點和它的右邊所表示的數(shù)是非負數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數(shù)也都是非負數(shù).3. 非負數(shù)的性質(zhì)：非負數(shù)集合里，有一個最小值，它就是零.例如：a2有最小值0（當a=0時）， 也有最小值0（當x=1時）.如果一個數(shù)和它的相反數(shù)都是非負數(shù)，則這個數(shù)就是零.若a0且a 0，則a=0； 如果ab0且ba0，那么ab=0.有限個非負數(shù)的和或積仍是非負數(shù).例如：若a，b，x都是實數(shù)數(shù)，則a2+b20,&

30、#215;0,a20.若幾個非負數(shù)的和等于零，則每一個非負數(shù)也都只能是零.例如若（b3）2+=0 那么即.乙例題例1. 求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根證明：把方程左邊分組配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0 即（x2+1）2+(x+1)2=4（x2+1）20，(x+1)20，（x2+1）2+(x+1)20. 但右邊是4.不論x取什么實數(shù)值，等式都不能成立.方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根.例2. a取什么值時，根式有意義？解：二次根式的被開方數(shù)（a2）(與(a2)(1都是非負數(shù)，且（a2）(與(a2)(1是互為相反數(shù)，（a2）(0.（非負數(shù)性質(zhì)2）a

31、2=0；或 =0.a1=2, a2=1, a3=1.答：當 a=2或a=1或a=1時，原二次根式有意義.例3. 要使等式（2x）2+0成立，x的值是.（1991年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）解：要使原等式成立（2x）20，0.1，(x40)（2x）21，且x4<0.即解得x=3 . 答：x的值是3.例4. 當a,b取什么實數(shù)時，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實數(shù)根？（1987年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）解：當0時，方程有實數(shù)根.解如下不等式：2（1a）24(3a2+4ab+4b2+2)08a216ab16b2+8a40，2a2+4ab+4b22a+10，（a+2b）

32、2+(a1)20（a+2b）20且(a1)20，得（a+2b）2+(a1)20只有當（a+2b）20且(a1)20不等式和才能同時成立.答：當a=1且b=時，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實數(shù)根.丙練習481. 已知在實數(shù)集合里有意義，則x=_.2. 要使不等式（a+1）20成立，實數(shù)a=_.3. 已知0，則a=,b=,a100b101=_.4. 把根號外因式移到根號里：a=， b=， c=.5.如果a<b,那么等于（）（A）（x+a）. (B) （x+a）.(C) （x+a）. (D) （x+a）.（1986年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）6. 已知a是實數(shù)且使a

33、=,則x=.(1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽題)7.已知a,b 是實數(shù)且a. 化簡后的值是.(1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽題)8.當x=時，（x）有最大值.（1986年泉州市初二數(shù)學雙基賽題）9.已知：且,都是整數(shù).求a,c的值.（1989年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）10.求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的實數(shù)解.11.求適合不等式2x2+4xy+4y24x+40的未知數(shù)x的值.12.求證：不論k取什么實數(shù)值，方程x2+(2k+1)xk2+k=0都有不相等的實數(shù)解.13.比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小.14.已知方程組的解x,y,z 都是非負數(shù).求a的值.初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資

34、料（49）對稱式甲內(nèi)容提要一.定義1. 在含有多個變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量x,y,z任意交換兩個后，代數(shù)式的值不變，則稱這個代數(shù)式為絕對對稱式，簡稱對稱式.例如：代數(shù)式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, ，.都是對稱式.其中x+y和xy叫做含兩個變量的基本對稱式.2. 在含有多個變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量x,y,z循環(huán)變換后代數(shù)式的值不變，則稱這個代數(shù)式為輪換對稱式，簡稱輪換式.例如：代數(shù)式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x,，（xy+yz+zx）(， .都是輪換式.顯然，對稱式一定是輪換式,而輪

35、換式不一定是對稱式.二.性質(zhì)1. 含兩個變量x和y的對稱式，一定可用相同變量的基本對稱式來表示.這將在下一講介紹.2. 對稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有，該式由兩個變量交換后的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：在含x,y,z的齊二次對稱多項式中，如果含有x2項，則必同時有y2,z2兩項；如含有xy項，則必同時有yz,zx兩項，且它們的系數(shù)，都分別相等.故可以表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,n是常數(shù).3. 輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有，該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：輪換式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中

36、，有因式ab一項,必有同型式bc和ca兩項.4. 兩個對稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對稱式（輪換式）.例如：x+y, xy都是對稱式，x+yxy，（x+y）xy，等也都是對稱式.xy+yz+zx和都是輪換式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是輪換式.乙例題例1.計算：（xy+yz+zx）(xyz(.分析：（xy+yz+zx）(是關(guān)于x,y,z的輪換式，由性質(zhì)2，在乘法展開時，只要用xy分別乘以，連同它的同型式一齊寫下.解：原式（）（z+xy）+(y+z+x)()2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc0.求代數(shù)式的值 （1989年泉州市初二

37、數(shù)學雙基賽題）分析：這是含a, b, c 的輪換式，化簡第一個分式后，其余的兩個分式，可直接寫出它的同型式.解：，0.例3. 計算：（a+b+c）3分析：展開式是含字母a,b,c的三次齊次的對稱式，其同型式的系數(shù)相等，可用待定系數(shù)法.例4. 解：設(shè)（a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p是待定系數(shù)） 令a=1,b=0,c=0 . 比較左右兩邊系數(shù)得m=1；令a=1,b=1,c=0 比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1 比較左右兩邊系數(shù)得 3m+6n+p=27.解方程組得（a+b+c）3a3+b3+

38、c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5. 因式分解： a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)； （x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5.解：當a=b時，a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)0.有因式ab及其同型式bc,ca.原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式（ab）(bc)(ca)，可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數(shù)法：得a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)m(a+b+c)（ab）(bc)(ca) 比較左右兩邊a3b的系數(shù)，得m=1.a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)(a+b+c)（ab）(bc)(ca

39、). x=0時，（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）50有因式x，以及它的同型式y(tǒng)和z.原式是五次齊次輪換式，除以三次輪換式xyz，其商是二次齊次輪換式.用待定系數(shù)法：可設(shè)（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5xyzm(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令x=1,y=1,z=1 . 比較左右兩邊系數(shù)，得 80=m+n；令x=1,y=1,z=2. 比較左右兩邊系數(shù)，得 480=6m+n.解方程組得.（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）580xyz(x+y+z).丙練習491. 已知含字母x,y,z的輪換式的三項x3+x2y2xy2,

40、試接著寫完全代數(shù)式.2. 已知有含字母a,b,c,d的八項輪換式的前二項是a3b(ab)，試接著寫完全代數(shù)式_.3. 利用對稱式性質(zhì)做乘法，直接寫出結(jié)果：（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）.（x+y+z）（x2+y2+z2xyyzzx）.4. 計算：（x+y）5.5.求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解： ab(ab)+bc(bc)+ca(ca)； (x+y+z)3(x3+y3+z3)； （ab+bc+ca）(a+b+c)abc； a(bc)3+b(ca)3+c(ab)3.7. 已知：.求證：a,b,c三者中，至少有兩個是互為相反

41、數(shù).8.計算：.9. 已知：S（a+b+c）.求證：3S（Sa）(Sb)(Sc).10. 若x,y滿足等式x=1+和y=1+且xy0，那么y 的值是（）（A）x1.（B）1x.（C）x.（D）1+x.初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料（50）基本對稱式甲內(nèi)容提要1. 上一講介紹了對稱式和輪換式的定義和性質(zhì).形如x+y和xy是兩個變量x,y的基本對稱式.2. 含兩個變量的所有對稱式，都可以用相同變量的基本對稱式來表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x5)(2y5), ，都是含兩個變量的對稱式，它們都可以用相同變量x,y的基本對稱式來表示：x2+y2（x+y）22xy， x3+y3（x+y）33xy(x+

42、y)，(2x5)(2y5)4xy10(x+y)+25,=, =.3. 設(shè)x+y=m, xy=n.則x2+y2（x+y）22xym22n；x3+y3（x+y）33xy(x+y)=m33mn；x4+y4（x2+y2）22x2y2m44m2n+2n2；x5+y5（x2+y2）(x3+y3)x2y2(x+y)=m55m3n+5mn2； 一般地，xn+yn(n為正整數(shù))用基本對稱式表示可建立遞推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)xy(xk1+yk1)(k 為正整數(shù)).4. 含x,y的對稱式，x+y, xy這三個代數(shù)式之間，任意知道兩式，可求第三式.乙例題例1. 已知x=(+1), y=

43、 求下列代數(shù)式的值：x3+x2y+xy2+y3 ； x2 (2y+3)+y2(2x+3).解：含兩個變量的對稱式都可以用相同變量的基本對稱式來表示.先求出x+y=, xy=.x3+x2y+xy2+y3 （x+y）32xy(x+y)=()32×=2；x2 (2y+3)+y2(2x+3)2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3（x+y）22xy+2xy(x+y)=3（）2×6.例2. 解方程組分析：可由x3+y3, x+y 求出xy，再由基本對稱式，求兩個變量x和y.解：x3+y3,（x+y）33xy(x+y) 把和代入，得355315xy.x

44、y=6.解方程組得或.例3. 化簡.解：設(shè)x, =y.那么x3+y3=40, xy=2. x3+y3（x+y）33xy(x+y)，40（x+y）36（xy）.設(shè)x+y=u, 得u36u40=0 . (u4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 沒有實數(shù)根，u40, u4 . x+y=4. 即4.例4. a取什么值時，方程x2ax+a2=0的兩根差的絕對值最小？其最小值是什么？解：設(shè)方程兩根為x1,x2 . 根據(jù)韋達定理，得 ，當a=2時，有最小值是2.丙練習501.已知 xy=a, xy=b.則x2+y2=_ ； x3y3=_.2.若x+y=1, x2+y2=2.則x3+y3=_；

45、x5+y5=_.3.如果x+y=2k, xy=4, . 則k=_.4. 已知x+=4, 那么x=_， =.5. 若.a,那么x+=_,=.6. 已知：a=, b=.求：7a2+11ab+7b2 ； a3+b3a2b23ab+1.7. 已知8，則.（1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）8. 已知a2+a1=0 則a3=.(1987年泉州市初二數(shù)學雙基賽)9. 已知一元二次方程的兩個根的平方和等于5，兩根積是2，則這個方程可寫成為：.（1990年泉州市初二數(shù)學雙基賽）10. 化簡：；.11. 已知：，是方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根.求證：2（b+c）+2(b+c)=.初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)資料（5

46、1）待定系數(shù)法甲內(nèi)容提要1. 多項式恒等的定義：設(shè)f(x)和g(x)是含相同變量x的兩個多項式，f(x)g(x)表示這兩個多項式恒等.就是說x在取值范圍內(nèi) ，不論用什么實數(shù)值代入左右的兩邊，等式總是成立的.符號“”讀作“恒等于”，也可以用等號表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9, 5x26x+1=(5x1)(x1), x339x70=(x+2)(x+5)(x7).都是恒等式.根據(jù)恒等式定義，可求恒等式中的待定系數(shù)的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x2).求：a+b+c ； ab+c.解：以x=1， 代入等式的左右兩邊，得a+b+c4.以x=1，代入等式的左右兩邊

47、，得ab+c0.2. 恒等式的性質(zhì)：如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等.即 如果 a0xn+a1xn1+an1x+an=b0xn+b1xn1+bn1x+bn那么 a0=b0 ， a1=b1， ， an1=bn1 ， an=bn.上例中又解： ax2+bx+c=2x22x4. a=2, b=2, c=4. a+b+c4， ab+c0.3. 待定系數(shù)法：就是先假設(shè)結(jié)論為一個含有待定系數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)恒等式定義和性質(zhì)，確定待定系數(shù)的值.乙例題 例1. 已知： 求：A，B，C的值.解：去分母，得x2x+2=A(x3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3).根據(jù)恒等式定義（選擇x的適當

48、值，可直接求出A，B，C的值），當x=0時，26A.A.當x=3時，815B.B.當x=2時，810C.C.本題也可以把等號右邊的代數(shù)式，整理成為關(guān)于x的二次三項式，然后用恒等式性質(zhì)：“左右兩邊同類項的系數(shù)相等”，列出方程組來解.（見下例）.例2. 把多項式x3x2+2x+2表示為關(guān)于x1的降冪排列形式.解：用待定系數(shù)法：設(shè)x3x2+2x+2=a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d 把右邊展開，合并同類項（把同類項對齊），得x3x2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性質(zhì)，比較同類項系數(shù)，得 解這個方程組，得x3x2+2x+2=(x1)3+2(x1)2+3(x1)+4.本題也可用換元法：設(shè)x1=y, 那么x=y+1.把左邊關(guān)于x的多項式化為關(guān)于y 的多項式