第8章反常積分練習(xí)

1、反常積分第8章§1 反常積分的概念與計(jì)算問(wèn)題的提出 : 針對(duì) Riemann積分的缺陷要求積分區(qū)間有限 ; 被積函數(shù)有界再結(jié)合 1 P264 兩例 . 廣義積分亦稱為 CauchyRiemann 積分, 或 CR積分 .一 .無(wú)窮限廣義積分 :1 概念和幾何意義：f F( ) F(a) . aA定義 F(A)a幾何意義 : 討論積分dx2 0 1 x0 dx1 x2dxdx 2 的斂散性 .1 x2計(jì)算積分dx2x 5例 2 討論以下積分的斂散性dx p 1xpdx2 x(ln x) p例 3 討論積分 cosxdx 的斂散性 .a2. 無(wú)窮積分的性質(zhì) : f(x)在區(qū)間 a, )

2、上可積 , k為常數(shù) , 則函數(shù) k f(x) 在區(qū)間 a, ) 上可積,且 kf(x)dx k f(x)dx.aa f(x)和g(x)在區(qū)間 a, )上可積 f(x) g(x)在區(qū)間 a, )上可積, 且 (f g) fg.§2 反常積分的收斂判別法Af(x)dx .A無(wú)窮積分收斂的 Cauchy 準(zhǔn)則 : ( 翻譯 F(A) B, A.)Th 積分 f(x)dx收斂 0, A, A,A A, a絕對(duì)收斂與條件收斂 : 定義概念 .絕對(duì)收斂 收斂 ,( 證 ) 但反之不確 . 絕對(duì)型積分與非絕對(duì)型積分3. 無(wú)窮積分判斂法非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分判斂法 : 對(duì)非負(fù)函數(shù) , 有 F(A) .

3、非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分?jǐn)可⑿杂浄?比較判斂法 :設(shè)在區(qū)間 a, ) 上函數(shù) f (x) 和 g(x) 非負(fù)且 f (x) g(x) ，又對(duì)任何 A>a, f(x)和g(x)在區(qū)間 a,A上可積 .則例 4 判斷積分sin(1 x2)20 5 x2dx 的斂散性 .比較原則的極限形式 : 設(shè)在區(qū)間 a, ) 上函數(shù) g 0, f 0, lim f c. 則 xg> 0< c < f 與g 共斂散 ;g <f < ；fg . ( 證 )aaaa時(shí), Cauchy 判斂法 :(以 dxp為比較對(duì)象 , 即取g(x)1xxp. 以下 a> 0 )設(shè)對(duì)任何 A>

4、a, f (x)Ca,A, 0 f (x)xp且 p 1,1若 f (x) p 且 p 1, xpCauchy 判斂法的極限形式:設(shè) f (x) 是在任何有限區(qū)間 a, A 上可積的正值函數(shù).且xlim xp f(x). 則例 5 討論以下無(wú)窮積分的斂散性 > x e x dx, ( 0);0x2>dx. 1 P324 E60 x5 1 >p 1,0,f < ； a > p 1,0,f.a( 其他判斂法Abel 判斂法: 若 f(x) 在區(qū)間 a, ) 上可積, g(x) 單調(diào)有界, 則積分a f (x)g(x)dx收斂 .DirichletA判斂法: 設(shè) F(A

5、) f 在區(qū)間 a,) 上有界， g(x) 在 a,) 上cosxdx與 p dx( p 0) 的斂散性 .1 x p單調(diào),且當(dāng) x 時(shí)， g(x) 0. 則積分f (x)g(x)dx收斂 .a例 6 討論無(wú)窮積分 sinxp1 xp例 7 例 7 證明下列無(wú)窮積分收斂 , 且為條件收斂 :sin x2dx,1cosx2dx,1xsinx4dx.1例8 ( 乘積不可積的例) 設(shè) f (x) sin xxx 1,) . 由例 6 的結(jié)果 , 積分 f(x)dx12sin x收斂 . 但積分 f(x)f (x)dx1 1 xdx 卻發(fā)散 .( 參閱例 6 )反常積分 : 先介紹函數(shù)的瑕點(diǎn) .1.

6、瑕積分的定義 : 以點(diǎn) b為瑕點(diǎn)給出定義 . 然后就點(diǎn) a為瑕點(diǎn)、點(diǎn) c (a,b) 為瑕點(diǎn)以及有多個(gè)瑕點(diǎn)的情況給出說(shuō)明例91 dx判斷積分 的斂散性 .201xdx例10 討論瑕積分 1dxq(q 0)的斂散性 ,并討論積分dpx 的斂散性 .0 xq 0 x p2. 瑕積分與無(wú)窮積分的關(guān)系 : 設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù) , b為瑕點(diǎn) . 有bf(x)dx1bxba把瑕積分化成了無(wú)窮積分設(shè) a 0, 有t x1x g(x)dxa0g1a1 dt tt1 dt2g 1t td2t ，把無(wú)窮積分化成了瑕積分可見(jiàn) ,瑕積分與無(wú)窮積分可以互化 因此 ,它們有平行的理論和結(jié)果11例 11 證明瑕積分 si

7、n dx 當(dāng)2 時(shí)收斂 .0 x x11 x t sint證 2 dt , 由例 6 , 該積分當(dāng)2 時(shí)收斂 .2011. 瑕積分判斂法 :Th （ 比較原則 ） 見(jiàn)教材 Th10-23. 推論 1 （ Cauchy 判別法 ） 推論 2 （ Cauchy 判別法的極限形式 ） 例 12 判別下列瑕積分的斂散性 :注意被積函數(shù)非正).2x1 ln xdx.例 13 討論非正常積分x1dx 的斂散性 .三 . C R積分與 R 積分的差異 :1. f(x) Ra,b在a,b上 f(x) 0(1);但 f(x)在區(qū)間 a, )上可積,f（x） 在區(qū)間 a,） 上有界 . 例如函數(shù)n,0,x n,x 1 但 x n.2. f (x) Ra,b,| f (x)| Ra,b ,但反之不確 . R積分是絕對(duì)型積分| f(x)| 在區(qū)間 a, )上可積 f(x) 在區(qū)間 a, )上可積 ,但反之不確 . CR 積分是非絕對(duì)型積分