等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)及例題解析

1、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和·例題解析一、等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式推導(dǎo)：（ 1） Sn=a1+a2+an-1+an 也可寫成Sn=an+an-1+a2+a1兩式相加得 2Sn=（ a1+an）+（a2+an-1）+（an+a1）=n（a1+an）所以 Sn=n（ a1+an）/2（公式一）（ 2）如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，項(xiàng)數(shù)為 n，則 an=a1+（n-1）d 代入公式公式一得Sn=na1+ n（n+1）d/2 （公式二）二、對(duì)于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用【例 1】 等差數(shù)列前 10 項(xiàng)的和為 140，其中，項(xiàng)數(shù)為 奇數(shù)的各項(xiàng)的和為 125，求其第 6 項(xiàng)解 依題意

2、，得解得 a1=113，d= 22 其通項(xiàng)公式為 an=113（n1）·（ 22）=22n135 a6= 22× 6 135 3說明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素 a1、d，再求其他的這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法在本課中如果注意到 a6=a15d，也可以不必求出 an 而即 a63可見，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性 當(dāng) 然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知識(shí)的熟練掌握為前提【例 2】在兩個(gè)等差數(shù)列 2，5，8，197與 2，7，12， 197中，求它們相同項(xiàng)的和解 由已知，第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為 an3n 1；第二個(gè) 數(shù)列的通項(xiàng)為 bN

3、=5N 3若 ambN，則有 3n 15N3若滿足 n 為正整數(shù)，必須有 N3k1（k 為非負(fù)整數(shù) ） 又 25N 3197，即 1N40，所以 N1，4，7， 40 n=1 ，6，11， 66 兩數(shù)列相同項(xiàng)的和為21732 197=1393【例 3】 選擇題：實(shí)數(shù) a， b，5a，7， 3b， c 組 成等差數(shù)列， 且 ab5a73b c 2500，則 a，b， c 的值分別為A1，3，5B1，3，7C 1，3，99 D1，3，9又 14 5a3b， a 1， b3首項(xiàng)為 1，公差為 2 a50=c=1 （50 1） ·2=99 a 1，b3，c 99【例 4】 在 1和 2之間插

4、入 2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為 1、 末項(xiàng)為 2 的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半 部分的和之比為 9 13，求插入的數(shù)的個(gè)數(shù)解 依題意 21（2n 21）d由，有 （2n 1）d=1 共插入 10 個(gè)數(shù)【例 5】 在等差數(shù)列 a n中，設(shè)前 m項(xiàng)和為 Sm，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sm Sn， m n，求 Sm+n且 SmSn， mn Sm+n0【例 6】 已知等差數(shù)列 an 中，S3=21，S6=64，求數(shù) 列 |a n| 的前 n項(xiàng)和 Tnd，已知 S3 和 S6 的值，解方程組可得 a1 與 d，再對(duì)數(shù) 列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出 Tn 來解方程組得： d 2，a19

5、an9（n 1）（n 2） 2n11其余各項(xiàng)為負(fù)數(shù)列 a n的前 n 項(xiàng)和為：當(dāng) n5 時(shí)， Tn n2 10n當(dāng) n>6 時(shí)， TnS5|SnS5| S5（SnS5） 2S5 SnTn2（2550） （ n210n）n210n50說明 根據(jù)數(shù)列 a n中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類討論思想可 求|an| 的前 n項(xiàng)和【例 7】 在等差數(shù)列 an 中，已知 a6 a9 a12 a15 34，求前 20 項(xiàng)之和解法一 由 a6a9a12a1534得 4a1 38d 3420a1190d5（4a138d）=5×34=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6a15=a9a12a1a20 a1 a20=

6、17S20170【例 8】 已知等差數(shù)列 an 的公差是正數(shù)， 且 a3·a7= 12，a4a6=4，求它的前 20項(xiàng)的和 S20 的值解法一 設(shè)等差數(shù)列 a n的公差為 d，則 d>0，由已知 可得由，有 a1 24d，代入，有 d2=4 再由 d> 0，得 d2 a1=10 最后由等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式，可求得 S20180 解法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7 即 a3a7 4又 a3· a7= 12，由韋達(dá)定理可知： a3，a7是方程 x24x120 的二根 解方程可得 x1=6，x2 2 d >0 a n是遞增數(shù)列a3 6，a7=2

7、【例 9】 等差數(shù)列 a n 、b n的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn 和 Tn，若2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件： Sn an2bn可設(shè) Sn2n2k，Tnn（3n 1）k說明 該解法涉及數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2bn，由k 是常數(shù)，就不對(duì)了【例 10】 解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列 a n中a23，a617，求 a9；(2) 在 19 與 89 中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組 成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為 1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列 a n 中， a4a6 a15 a17 50， 求

8、S20；(4) 已知：等差數(shù)列 a n中， an=333n，求 Sn 的最大 值分析與解答a9=a6（96）d=173×（ 5）=32（2）a 1=19， an+2=89， Sn+21350(3) a4a6a15 a17=50 又因它們的下標(biāo)有 4176 15=21a4a17=a6a15=25（4）an=333n a130nN，當(dāng) n=10或 n=11時(shí)， Sn 取最大值 165【例 11】 求證：前 n 項(xiàng)和為 4n23n 的數(shù)列是等差 數(shù)列證 設(shè)這個(gè)數(shù)列的第 n 項(xiàng)為 an ，前 n 項(xiàng)和為 Sn當(dāng) n2 時(shí)， anSnSn-1 an（4n 23n） 4（n 1）23（n1）=8

9、n1當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=4 3=7由以上兩種情況可知，對(duì)所有的自然數(shù) n，都有 an=8n 1又 an+1an8（n 1）1 （8n1）8 這個(gè)數(shù)列是首項(xiàng)為 7，公差為 8 的等差數(shù)列說明 這里使用了“ an=SnSn-1 ”這一關(guān)系使用這 一關(guān)系時(shí)，要注意，它只在 n2 時(shí)成立因?yàn)楫?dāng) n1時(shí)， Sn-1 =S0，而 S0 是沒有定義的所以，解題時(shí)，要像上邊 解答一樣，補(bǔ)上 n1 時(shí)的情況【例 12】 證明：數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)之和 Snan2bn（a 、b 為常數(shù)）是這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件由 Sn an2 bn，得當(dāng) n2 時(shí)， anSn Sn-1an2bna（n1

10、） 2b（n 1）=2nabaa1S1ab對(duì)于任何 nN，an2na ba且 anan-1 =2na （b a） 2（n1）a ba 2a（常數(shù)）a n是等差數(shù)列若a n是等差數(shù)列，則Sn=an2bn綜上所述， Sn=an2bn 是a n成等差數(shù)列的充要條件說明 由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：前 n 項(xiàng)和為 Sn=an2bnc 的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件 是 c0事實(shí)上，設(shè)數(shù)列為 u n，則：例 13】 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn m，前 m項(xiàng)和Sm n（m>n） ，求前 mn 項(xiàng)和 Sm+n 解法一 設(shè)an 的公差 d 按題意，則有=（mn）解法二 設(shè) SxAx2

11、Bx（x N），得 A（m2 n2） B（mn）nmmn A（mn） B=1故 A（mn）2B（mn）（mn）即 Sm+n （m n）說明 a 1，d 是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒 解 法二中，由于是等差數(shù)列， 由例 22，故可設(shè) Sx=Ax2Bx（x N）【例 14】 在項(xiàng)數(shù)為 2n 的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和 為 75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為 90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為 27，則 n 之 值是多少？解 S 偶項(xiàng)S奇項(xiàng) =ndnd=9075=15又由 a2n a1 27，即（2n 1）d=27【例 15】 在等差數(shù)列 an 中，已知 a125，S9S17， 問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值解法一 建立 Sn關(guān)于 n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最 大值a1=25，S17S9 解得 d 2當(dāng) n=13時(shí)， Sn 最大，最大值 S13169解法二 因?yàn)?a1=25>0，d2<0，所以數(shù)列 an 是 遞減等a125，S9S17 an=25（n 1）（ 2）= 2n 27即前 13項(xiàng)和最大，由等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式可求得S13=169解法三 利用 S9=S17 尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系由題意 S9=S17得 a1