高中數(shù)學(xué)解析幾何題型基礎(chǔ)篇

1、第七講 解析幾何新題型【考點(diǎn)透視】一直線和圓的方程1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用5了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法6掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程二圓錐曲線方程1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)2掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡

2、單幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用【例題解析】考點(diǎn)1.求參數(shù)的值求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,構(gòu)造方程解之.例1若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ）A B C D考查意圖: 本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì).解答過程：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D.考點(diǎn)2. 求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,找出點(diǎn)的坐標(biāo),利用距離公式解之.例2已知拋物線y-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.4考查意圖

3、: 本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用.解：設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出故選C例3如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則_.考查意圖: 本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用.解答過程：由橢圓的方程知故填35.考點(diǎn)3. 曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點(diǎn)題型之一,其解法為充分利用:(1)橢圓的離心率e(0,1) (e越大則橢圓越扁);(2) 雙曲線的離心率e(1, ) (e越大則雙曲線開口越大).結(jié)合有關(guān)知識來解題.例4已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是，則雙曲線方程為

4、A B C D考查意圖:本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念.解答過程： 所以故選(A).小結(jié): 對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其對雙曲線的焦點(diǎn)位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會.例5已知雙曲線,則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于（ ） A. B. C. 2 D.4考查意圖: 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率e(1, ) 的有關(guān)知識的應(yīng)用能力.解答過程：依題意可知 考點(diǎn)4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考題中的熱點(diǎn)題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求最大(小)值:特別是

5、,一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答.例6已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 .考查意圖: 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:設(shè)過點(diǎn)P(4,0)的直線為故填32.考點(diǎn)5 圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用；常用的解題技巧要熟記于心.例7 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.（

6、1）求圓C的方程；（2）試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長.若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.考查目的本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力解答過程 (1) 設(shè)圓C 的圓心為 (m, n) 則 解得 所求的圓的方程為 (2) 由已知可得 ， 橢圓的方程為 , 右焦點(diǎn)為 F( 4, 0) ; 假設(shè)存在Q點(diǎn)使,整理得 ， 代入 得: , 因此不存在符合題意的Q點(diǎn).例8 如圖,曲線G的方程為.以原點(diǎn)為圓心，以 為半徑的圓分別與曲線G和y軸的 正半軸相交于 A 與點(diǎn)B. 直線AB

7、與 x 軸相交于點(diǎn)C.（）求點(diǎn) A 的橫坐標(biāo) a 與點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；（）設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為,求證：直線CD的斜率為定值. 考查目的本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)素中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問題的能力. 解答過程（I）由題意知，因?yàn)橛捎?（1）由點(diǎn)B（0，t），C（c，0）的坐標(biāo)知，直線BC的方程為又因點(diǎn)A在直線BC上，故有將（1）代入上式，得解得 .（II）因?yàn)椋灾本€CD的斜率為，所以直線CD的斜率為定值.例9已知橢圓，AB是它的一條弦，是弦AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)為焦點(diǎn)，橢圓E的右

8、準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線C和直線AB交于點(diǎn)，若橢圓離心率e和雙曲線離心率之間滿足，求：（1）橢圓E的離心率；（2）雙曲線C的方程.解答過程：（1）設(shè)A、B坐標(biāo)分別為， 則，二式相減得： ， 所以， 則；（2）橢圓E的右準(zhǔn)線為，雙曲線的離心率， 設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，則： ， 兩端平方且將代入得：或， 當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為：，不合題意，舍去； 當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為：，即為所求.小結(jié)：（1）“點(diǎn)差法”是處理弦的中點(diǎn)與斜率問題的常用方法； （2）求解圓錐曲線時(shí)，若有焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，則通常會用到第二定義.考點(diǎn)6 利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題 利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計(jì)算.典型例

9、題：例10雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng)，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).考查意圖: 本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問題的能力.解答過程：（）設(shè)雙曲線方程為, 由橢圓,求得兩焦點(diǎn)為，對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線 解得 ，雙曲線的方程為（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零.設(shè)的方程：，,則.,.在雙曲線上， .同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.是二次方程的兩根.,，此時(shí).所求的坐標(biāo)

10、為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則.， 分的比為.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.， .， ，又， ,即.將代入得.，否則與漸近線平行.解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，,則,.同理.即.（*）又消去y得.當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，.由韋達(dá)定理有： 代入（*）式得.所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.例11 設(shè)動點(diǎn)P到點(diǎn)A(l，0)和B(1，0)的距離分別為d1和d2，APB2,且存在常數(shù)(01,使得d1d2 sin2（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；（2）過點(diǎn)B作直線交雙曲

11、線C的右支于M、N兩點(diǎn),試確定的范圍,使·0,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)考查目的本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力解答過程解法1：（1）在中，即，即（常數(shù)），點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線方程為：（2）設(shè)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，在雙曲線上即，因?yàn)?，所以?dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為由得：，由題意知：，所以，于是：因?yàn)?，且在雙曲線右支上，所以由知，解法2：（1）同解法1（2）設(shè)，的中點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，又所以；由得，由第二定義得所以于是由得因?yàn)?，所以，又，解得：由知考點(diǎn)7 利用向量處理圓錐曲線中的最值問題 利用向

12、量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關(guān)系容易.例12設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且，求當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大值時(shí)直線和橢圓E的方程.解答過程：因?yàn)闄E圓的離心率為，故可設(shè)橢圓方程為，直線方程為，由得：，設(shè)，則又，故，即由得：，則，當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值，此時(shí)，即，所以，直線方程為，橢圓方程為.小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易.例13已知，且， 求的最大值和最小值.解答過程：設(shè)，因?yàn)?，且，所以，動點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，橢圓方程為，

13、令，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值.小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算化為簡單的三角運(yùn)算.考點(diǎn)8 利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題 解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題.例14（2006年福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.考查意圖:本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.解答過程：（I）圓

14、過點(diǎn)O、F，圓心M在直線上.設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根.記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為例15已知雙曲線C：，B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為P，（1）求證：；（2）若與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D,E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.解答過程：（1）因成等比數(shù)列，故，即，直線：，由，故：，則：，即；（或，即）（2）由，由得：（或由）小結(jié)：向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重，而要運(yùn)用數(shù)量積，

15、必須先恰當(dāng)?shù)厍蟪龈鱾€(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).例16已知， （1）求點(diǎn)的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且， 試求m的取值范圍.解答過程：（1），因，故，即，故P點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由得：，設(shè)，A、B的中點(diǎn)為則，即A、B的中點(diǎn)為，則線段AB的垂直平分線為：，將的坐標(biāo)代入，化簡得：，則由得：，解之得或，又，所以，故m的取值范圍是.小結(jié)：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會產(chǎn)生增根現(xiàn)象.考點(diǎn)9 利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題 存在性問題，其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立.例17已

16、知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點(diǎn)P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實(shí)數(shù)，使得？請說明理由；解答過程：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)橢圓方程為，不妨設(shè)C在x軸上方，由橢圓的對稱性，又，即為等腰直角三角形，由得：，代入橢圓方程得：，即，橢圓方程為；（2）假設(shè)總存在實(shí)數(shù)，使得，即，由得，則，若設(shè)CP：，則CQ：，由，由得是方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理得：，以代k得，故，故，即總存在實(shí)數(shù)，使得.評注：此題考察了坐標(biāo)系的建立、待定系數(shù)法、橢圓的對稱性、向量的垂直、向量的共線及探

17、索性問題的處理方法等，是一道很好的綜合題.考點(diǎn)10 利用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題 直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般情況下，是把直線的方程和曲線的方程組成方程組，進(jìn)一步來判斷方程組的解的情況，但要注意判別式的使用和題設(shè)中變量的范圍.例18設(shè)G、M分別是的重心和外心，且， （1）求點(diǎn)C的軌跡方程； （2）是否存在直線m，使m過點(diǎn)并且與點(diǎn)C的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，且？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由.解答過程：（1）設(shè)，則， 因?yàn)?，所以，則， 由M為的外心，則，即， 整理得：；（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)方程為， 由得：， 設(shè)，則， ， 由得：， 即，解之得， 又點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，直線m

18、過點(diǎn)， 故存在直線m，其方程為.小結(jié)：（1）解答存在性的探索問題，一般思路是先假設(shè)命題存在，再推出合理或不合理的結(jié)果，然后做出正確的判斷； （2）直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般最終都轉(zhuǎn)化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組成的方程組的求解問題.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1如果雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，那么雙曲線方程是（） A B C D2已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的的漸近線方程為（ ） A. B. C. D. 3已知為橢圓的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，垂直于x軸， 且，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D.4二次曲線，當(dāng)時(shí)，該曲線的離心率e的取值范圍是（ ） A.

19、 B. C. D. 5直線m的方程為，雙曲線C的方程為，若直線m與雙曲線C的右支相交于不重合的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ） A. B. C. D.6已知圓的方程為，若拋物線過點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 二、填空題7已知P是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，若 ，則橢圓的離心率為 _ .8已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，點(diǎn)A的坐標(biāo)是_ .9P是橢圓上的點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)，則k的最大值與最小值之差是_ .10給出下列命題： 圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的方程是；雙曲線右支上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距

20、離為18，那么該點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為；頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程只能是；P、Q是橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，O為原點(diǎn)，直線OP,OQ的斜率之積為，則等于定值20 .把你認(rèn)為正確的命題的序號填在橫線上_ .三、解答題11已知兩點(diǎn)，動點(diǎn)P在y軸上的射影為Q， （1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程； （2）設(shè)直線m過點(diǎn)A，斜率為k，當(dāng)時(shí)，曲線E的上支上有且僅有一點(diǎn)C到直線m的距離為，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).12如圖，是雙曲線C的兩焦點(diǎn)，直線是雙曲線C的右準(zhǔn)線， 是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于的一動點(diǎn)，直線、交雙曲線C的右準(zhǔn)線分別于M,N兩點(diǎn)，（1）求雙曲線C的方程；（2）求證：

21、是定值.13已知的面積為S，且，建立如圖所示坐標(biāo)系，（1）若，求直線FQ的方程；（2）設(shè)，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)Q，求當(dāng)取得最小值時(shí)的橢圓方程.14已知點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足，（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；（2）過點(diǎn)作直線m與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形，求的值.15已知橢圓的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)，向量與是共線向量（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)， 、分別是左、右焦點(diǎn)，求 的取值范圍；16已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列，（）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？（）若點(diǎn)P坐標(biāo)為，為的夾角，求tan【參考答案】一. 1C .提示，設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入求出即可.2D .因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓焦點(diǎn)為，雙曲線焦點(diǎn)為，由得，所以，雙曲線的漸近線為 .3C .設(shè)，則， .4.C .曲線為雙曲線，且，故選C；或用，來計(jì)算.5B .將兩方程組成方程組，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式組.6B .數(shù)形結(jié)合，利用梯形