高中數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積與體積知識(shí)總結(jié)練習(xí)

1、空間幾何體的表面積與體積知識(shí)框架高考要求空間幾何體的表面積與體積要求層次重難點(diǎn)球、棱柱、棱錐的表面積和體積A了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）例題精講板塊一：空間幾何體的表面積（一） 知識(shí)內(nèi)容1直棱柱與圓柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和高（母線）的乘積，其中為底面的周長(zhǎng)，為直棱柱（圓柱）的高，也即側(cè)棱（母線）長(zhǎng)；2正棱錐（圓錐）的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高（母線）乘積的一半，其中為底面邊長(zhǎng)，為斜高；，其中為底面周長(zhǎng)，為圓錐的底面半徑，為母線長(zhǎng)；3正棱臺(tái)（圓臺(tái)）的側(cè)面積等于它的上下底面周長(zhǎng)之和與斜高（母線）乘積的一半，其中分別是正棱臺(tái)上下底面的邊長(zhǎng)，為斜高；，其中分別

2、是圓臺(tái)上下底面的半徑，為母線長(zhǎng)；4球面面積等于它的大圓面積的四倍，為球的半徑1除了球面，這里提到的其它幾何體的表面都可以展開(kāi)，側(cè)面積公式和表面積公式可以直接推導(dǎo)出來(lái)2要提醒學(xué)生注意空間與平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，對(duì)這幾種幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，軸截面的圖等有個(gè)比較清晰的印象，在計(jì)算時(shí)能靈活轉(zhuǎn)化5柱體（棱柱，圓柱）體積公式：，其中為底面積，為高；6棱體（棱錐，圓錐）的體積公式：，其中為底面積，為高；7臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）的體積公式： ，其中分別是臺(tái)體上，下底面的面積，為臺(tái)體的高；8球的體積：，為球的半徑對(duì)柱體與錐體體積公式的推導(dǎo)，課本上是以長(zhǎng)方體的體積公式為基礎(chǔ)的，根據(jù)祖暅原理得到的祖暅原理：冪勢(shì)相同，則積不容

3、異即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體體積相等祖暅提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”，及“體積之比等于對(duì)應(yīng)截面積之比”，在這里是當(dāng)作公理使用提法“冪勢(shì)既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著連續(xù)不可分幾何中提出這一原理，這本書(shū)出版于1635年課本對(duì)柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體積；利用祖暅原理可以說(shuō)明：等底面積等高的長(zhǎng)方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：；利用祖暅原理可以說(shuō)明：等底面積等高的錐體的體積均相等；三棱柱可以分割成三個(gè)體積相等的錐，故錐體的體積為；利用兩個(gè)錐體做差可得臺(tái)

4、體的體積公式（二）典例分析： 【例1】 軸截面是正方形的圓柱叫等邊圓柱已知：等邊圓柱的底面半徑為r，求全面積 【例2】 軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐已知：等邊圓錐底面半徑為r，求全面積【例3】 已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是、，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)【例4】 底面是菱形的直棱柱，它的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，高是5，求這個(gè)棱柱的側(cè)面積【例5】 側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，若底面邊長(zhǎng)為，則三棱錐的全面積是多少？【例6】 側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，若底面邊長(zhǎng)為，則三棱錐的全面積是多少？【例7】 平面截球得到半徑是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是，則該球的表面積是（ ）

5、A B C D【例8】 正方體全面積為，求它的外接球和內(nèi)切球的表面積【例9】 將一個(gè)邊長(zhǎng)為和的矩形紙片卷成一個(gè)圓柱，則圓柱的底面半徑為 【例10】 正四棱臺(tái)的斜高為4，側(cè)棱長(zhǎng)為5，側(cè)面積為64，求棱臺(tái)上、下底的邊長(zhǎng)【例11】 正四棱臺(tái)的斜高為，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面積為，求棱臺(tái)上、下底的邊長(zhǎng)【例12】 正三棱臺(tái)中，已知，棱臺(tái)的側(cè)面積為，分別為上、下底面正三角形的中心，為棱臺(tái)的斜高，求上底面的邊長(zhǎng)【例13】 過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（ ）A B C D【例14】 棱長(zhǎng)為的正方體的個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）A

6、 B C D【例15】 如圖所示，半徑為的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中）【例16】 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為的半圓面，求圓錐的母線與軸的夾角的大小，軸截面的面積【例17】 圓臺(tái)的上下底面半徑分別是、，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)【例18】 圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為，且圓臺(tái)的全面積和球面積之比為，求圓臺(tái)的上，下底面半徑（）【例19】 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，且這個(gè)圓錐的體積為求圓錐的表面積【例20】 有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為、 用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)

7、四棱柱，則的取值范圍是 【例21】 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是【例22】 正四面體棱長(zhǎng)為，求其外接球和內(nèi)切球的表面積【例23】 一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為【例24】 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，則此球的表面積等于 【例25】 若，兩點(diǎn)在半徑為2的球面上，且以線段為直徑的小圓周長(zhǎng)為，則此球的表面積為_(kāi)，兩點(diǎn)間的球面距離為_(kāi)【例26】 已知球的表面積為，球面上有、三點(diǎn)如果，則球心到平面的距離為（ ）A B C D【例27】 球面上有三點(diǎn)，組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，已知球

8、的半徑為，且，兩點(diǎn)的球面距離為，兩點(diǎn)及，兩點(diǎn)的球面距離均為，球心到這個(gè)截面的距離為，求球的表面積【例28】 設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，求：內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)；內(nèi)切球的表面積【例29】 如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（）A B C D【例30】 一間民房的屋頂有如下圖三種不同的蓋法：?jiǎn)蜗騼A斜；雙向傾斜；四向傾斜記三種蓋法屋頂面積分別為、若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（）ABCD【例31】 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ）ABCD【例32】 已知正四面體的表面積為，其四個(gè)面的中心分別為、，設(shè)四面體的表面積為，則

9、等于（ ）ABCD【例33】 已知球的表面積為，球面上有、三點(diǎn)如果，則球心到平面的距離為（ ）A1BCD2【例34】 已知球的表面積為，球面上有、三點(diǎn)如果，則球心到平面的距離為（ ）A1BCD2【例35】 棱長(zhǎng)為1的正方體被以為球心，為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ）A B C D【例36】 棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)【例37】 已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長(zhǎng)為的正三角形，俯視圖是直徑為的圓，如圖，則此幾何體的外接球的表面積為 【例38】 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是_【例39】 若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則

10、這個(gè)正三棱柱的表面積為（）AB CD【例40】 一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為 【例41】 如圖，在四面體中，截面經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別是，則必有（ ）A B C D的大小關(guān)系不能確定【例42】 如圖，在四面體中，截面經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別是，則必有（ ）ABCD，的大小關(guān)系不能確定板塊二：空間幾何體的體積（一） 知識(shí)內(nèi)容1柱體（棱柱，圓

11、柱）體積公式：，其中為底面積，為高；2棱體（棱錐，圓錐）的體積公式：，其中為底面積，為高；3臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）的體積公式： ，其中分別是臺(tái)體上，下底面的面積，為臺(tái)體的高；4球的體積：，為球的半徑對(duì)柱體與錐體體積公式的推導(dǎo)，課本上是以長(zhǎng)方體的體積公式為基礎(chǔ)的，根據(jù)祖暅原理得到的祖暅原理：冪勢(shì)相同，則積不容異即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體體積相等祖暅提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”，及“體積之比等于對(duì)應(yīng)截面積之比”，在這里是當(dāng)作公理使用提法“冪勢(shì)既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著連

12、續(xù)不可分幾何中提出這一原理，這本書(shū)出版于1635年課本對(duì)柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體積；利用祖暅原理可以說(shuō)明：等底面積等高的長(zhǎng)方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：；利用祖暅原理可以說(shuō)明：等底面積等高的錐體的體積均相等；三棱柱可以分割成三個(gè)體積相等的錐，故錐體的體積為；利用兩個(gè)錐體做差可得臺(tái)體的體積公式（二）典例分析： 【例1】 側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐稱(chēng)為正四面體，則棱長(zhǎng)為的正四面體的體積是_；【例2】 已知正六棱臺(tái)的上，下底面邊長(zhǎng)分別為和，高為，則其體積為_(kāi)【例3】 半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，則球的表面積和體積的比為_(kāi)【例4】

13、 直三棱柱各側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，則三棱錐的體積（ ）ABCD【例5】 已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 【例6】 已知三棱臺(tái)中，高求三棱錐的體積求三棱錐的體積求三棱錐的體積【例7】 正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2，且與底邊的夾角為角，則此三棱柱的體積為（ ）AB CD 【例8】 在體積為的斜三棱柱中，是上的一點(diǎn)，的體積為3，則三棱錐的體積為（ ）A1 B C2 D3【例9】 直三棱柱各側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，則三棱錐的體積（ ）ABCD【例10】 正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的

14、體積為 【例11】 在體積為的球的表面上有三點(diǎn)，兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面的距離為 【例12】 若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于（ ）A B C D【例13】 平行六面體中，在從點(diǎn)出發(fā)的三條棱上分別取其中點(diǎn)，則棱錐的體積與平行六面體體積的比值為_(kāi)【例14】 一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)等于一個(gè)球的半徑，該正三棱錐的高等于這個(gè)球的直徑，則球的體積與正三棱錐體積的比值為（ ）A B C D【例15】 如圖，在三棱柱中，若，分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，那么 【例16】 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比（等邊圓錐是

15、指軸截面是等邊三角形的圓錐）【例17】 如圖，在四邊形中，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積【例18】 如圖所示，已知等腰梯形的上底，下底，底角，現(xiàn)繞腰旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)體的體積【例19】 在中，（如圖所示），若將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）A BC D【例20】 在體積為的球的表面上有，三點(diǎn)，兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面的距離為 【例21】 圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱(chēng)為圓柱容球，求證：在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的【例22】 正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)、都在同一球面上，則該

16、球的體積為_(kāi)【例23】 如圖，圓錐形封閉容器，高為h，圓錐內(nèi)水面高為若將圓錐倒置后，圓錐內(nèi)水面高為【例24】 一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？【例25】 如圖，在四面體中，截面經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別是，則必有（ ）A B C D的大小關(guān)系不能確定【例26】 如圖，在長(zhǎng)方體中，分別過(guò)，的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，若，則截面的面積為 【例27】 已知某幾何

17、體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱(chēng)主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱(chēng)左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形求該幾何體的體積；求該幾何體的側(cè)面積【例28】 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為 _【例29】 如圖，將邊長(zhǎng)為的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器（如圖） 當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)，其容積最大 【例30】 設(shè)、是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（ ）A

18、B C D【例31】 如圖所示，正四面體的外接球的體積為，求四面體的體積【例32】 已知正三棱錐，一個(gè)正三棱柱的上底面三頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上，下底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為求正三棱柱的高；求正三棱柱的體積；求棱柱上底面所截棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比【例33】 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為_(kāi)【例34】 將半徑都為的個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ）ABCD【例35】 如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底

19、的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)（圖2）有下列四個(gè)命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)C任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號(hào)是： （寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）【例36】 給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；如

20、果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明【例37】 兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A個(gè)B個(gè)C個(gè)D無(wú)窮多個(gè)【例38】 已知一個(gè)全面積為24的正方體，有一個(gè)與每條棱都相切的球，此球的體積為 【例39】 已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（ ） ABCD【例40】 球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于（ ）A B1 C2 D3【例41】

21、將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了（ ）A B12a2C18a2D24a2【例42】 直徑為10cm的一個(gè)大金屬球，熔化后鑄成若干個(gè)直徑為2cm的小球，如果不計(jì)損耗，可鑄成這樣的小球的個(gè)數(shù)為（ ）A5 B15 C25D125【例43】 一平面截一球得到直徑是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離，求該球的表面積與體積【例44】 已知一個(gè)球的直徑為，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，如果它們的表面積相等，則（ ） A 且 B 且 C 且 D 且【例45】 已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是_【例46】 一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條

22、棱的長(zhǎng)分別為則此球的表面積【例47】 已知正三棱錐的側(cè)面積為18 cm，高為3cm 求它的體積【例48】 如圖，在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將 與分別沿向上折起，使重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積（ ） AB C D【例49】 已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為，高與斜高的夾角為，求正四棱錐的全面積與體積【例50】 將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積【例51】 正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為，且與底面成角，求此三棱柱的體積【例52】 一平面截一球得到直徑是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離，求該球的表面積與體積【例53】 如圖，在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將 與分別沿向上折起，使重合于

23、點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積（ ） AB C D【例54】 正六棱錐中，為的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐體積之比為（ ）AB CD【例55】 如圖，體積為的大球內(nèi)有個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的個(gè)頂點(diǎn)為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（ ）A BC D【例56】 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的體積為_(kāi)【例57】 若正方體的棱長(zhǎng)為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（ ）ABCD 【例58】 養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的