同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、第第 19 講講同角三角函數(shù)的基本同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式關(guān)系式與誘導(dǎo)公式考試要求1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21，sincostan(B級(jí)要求)；2.2，的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(B 級(jí)要求).診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)sin()sin成立的條件是為銳角.()(2)六組誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角.()(3)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.()(4)若 sin(k)13(kZ)，則 sin13.()解析(1)對(duì)于R，sin()sin都成立.(4)當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)，

2、sin13，當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)，sin13.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 4P23 習(xí)題 11 改編)已知 tan2，則sincossincos 的值為_(kāi).解析原式tan1tan121213.答案33.(2017蘇北四市摸底)已知 sin5215，那么 cos_.解析sin52sin2cos，cos15.答案154.(2018南通調(diào)研)已知 sincos43，0，4 ，則 sincos_.解析sincos43，sincos718.又(sincos)212sincos29，sincos23或23.又0，4 ，sincos23.答案235.(2017泰興中學(xué)檢測(cè))已知 3sin4cos5，

3、則 tan_.解析由 3sin4cos5，兩邊平方得 9sin224sincos16cos225，即 9sin224sincos16cos225(sin2cos2)，從而 16sin224sincos9cos20.故(4sin 3cos)20，所以 4sin3cos，故 tan34.答案34知 識(shí) 梳 理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：sincostan_.2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sinsin_sin_sin_cos_cos_余弦coscos_cos_cos_sin_sin_正切tantan_tan_tan_口訣

4、函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限注：誘導(dǎo)公式記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用【例 1】 (1)(教材改編)已知 cos35，且322，那么 tan的值為_(kāi).(2)(2017鹽城模擬)已知 sincos18，且5432，則 cossin的值為_(kāi).解析(1)因?yàn)闉榈谒南笙藿牵?tan0，sin0，sin 1cos245，所以 tansincos43.(2)5432，cos0，sinsin，cossin0.又(cossin)212sincos121834，cossin32.答案(1)43(2)32規(guī)律方法(1)利用 sin2cos21 可以實(shí)現(xiàn)

5、角的正弦、余弦的互化，利用sincostan可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于 sincos，sincos，sincos這三個(gè)式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二.(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【訓(xùn)練 1】(1)(2017鹽城調(diào)研)若 3sincos0， 則1cos22sincos_.(2)(2018蘇州模擬)已知是第三象限角， 且 sin2cos25， 則 sincos_.解析(1)3sincos0cos0tan13，1cos22sincoscos2sin2cos22sincos1t

6、an212tan1132123103.(2)由 sin2cos25及 sin2cos21 得：(2cos25)2cos215cos285cos21250cos35或 cos725，因?yàn)槭堑谌笙藿?，所?cos725，從而 sin2425，sincos3125.答案(1)103(2)3125考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例 2】 (1)(2018連云港模擬)計(jì)算：sin116cos103_.(2)(2017宿遷模擬)已知 f(x)sin(2x)cos32xcos（3x）sin112x，則 f(214)_.解析(1)sin116sin56sin5612，cos103cos243cos4312，sin11

7、6cos1031.(2)f(x)sin xsin xcos x （cos x）tan2x，f214tan2214tan2341.答案(1)1(2)1規(guī)律方法(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.(2)含 2整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有 2的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如 cos(5)cos()cos.【訓(xùn)練 2】 (1)(2018揚(yáng)州中學(xué)開(kāi)學(xué)考試)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(1，2)，則 cos()的值是_.(2)(2017南通一模)已知

8、 sinx6 13，則 sinx56sin2(3x)的值是_.解析(1)由已知及三角函數(shù)定義可得 cos55，由 cos()cos得 cos()55.(2)因?yàn)?sinx6 13，所以 sinx56sin23xsinx6 sin22x6sinx6 1sin2x6 13113259.答案(1)55(2)59考點(diǎn)三同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例 3】 (1)(2018泰興模擬)設(shè) tan(5)m，則sin（3）cos（）sin（）cos（）的值為_(kāi)；(2)(2017南京、 鹽城模擬)已知 cos51213， 且2， 則 cos12_.解析(1)由 tan(5)m，得 tanm，si

9、n（3）cos（）sin（）cos（）sincossincostan1tan1m1m1.(2)因?yàn)?12122，所以 cos12sin212sin512.因?yàn)?，所以7125120，所以251212，所以 sin5121cos251211322 23.答案(1)m1m1(2)2 23規(guī)律方法(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，注意常見(jiàn)互余與互補(bǔ)的角：常見(jiàn)的互余的角：3與6；3與6；4與4等.常見(jiàn)的互補(bǔ)的角：3與23；4與34等.【訓(xùn)練 3】 (1)(2017南通調(diào)研)已知 cos6a

10、(|a|1)，則 cos56sin23_.(2)(教材改編)化簡(jiǎn)：tan（3）sin（）sin32sin（2）cos72sin32cos（2）_.解析(1)由題意知，cos56cos 6cos6a.sin23sin26cos6a，cos56sin230.(2)因?yàn)?tan(3)tan，sin()sin，sin32cos，sin(2)sin，cos72cos2 sin，sin32cos，cos(2)cos.所以原式tansin（cos）sin（sin）coscos1cos2sin2cos21sin2cos2cos2cos21.答案(1)0(2)1一、必做題1.(2017鎮(zhèn)江期末)已知是第四象限角

11、，sin1213，則 tan_.解析因?yàn)槭堑谒南笙藿?，sin1213，所以 cos 1sin2513，故 tansincos125.答案1252.已知 tan12，且，32，則 sin_.解析tan120，且，32，sin0，sin2sin2sin2cos2tan2tan211414115，sin55.答案553.(必修 4P19 例 1 改編)sin(585)的值為_(kāi).解析sin(585)sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 4522.答案224.(教材改編)已知 tan1，則2sincossincos_.解析原式2tan1tan1211112.答案1

12、25.(2017泰州模擬)已知 tan3，則12sincossin2cos2的值是_.解析原式sin2cos22sincossin2cos2（sincos）2（sincos） （sincos）sincossincostan1tan131312.答案26.(2017如東中學(xué)期中)若 sin2cos，則 sin22cos2的值為_(kāi).解析由 sin2cos得 tan2，因此 sin22cos2sin22cos2sin2cos2tan22tan21424165.答案657.若 f(cos x)cos 3x，那么 f(sin 30)的值為_(kāi).解析因?yàn)?sin 30sin(9060)cos 60，所以 f

13、(sin 30)f(cos 60)cos(360)cos 1801.答案18.(2018揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢)向量 a13，tan， b(cos， 1)， 且 ab， 則 cos2_.解析a13，tan，b(cos，1)，且 ab，131tancos0，sin13，cos2sin13.答案139.(1)化簡(jiǎn)：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)求值：設(shè) f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32sin22(12sin0)，求f236的值.解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360

14、120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30323212121.(2)f()（2sin） （cos）cos1sin2sincos22sincoscos2sin2sincos（12sin）sin（12sin）1tan，f2361tan2361tan461tan6 3.10.(2016淮陰中學(xué)期中)已知 tan是關(guān)于 x 的方程 2x2x10 的一個(gè)實(shí)根， 且是第三象限角.(1)求2sincossincos的值；(2)求 cossin的值.解2x2x10，x112，x21，tan12或 tan1，又是第三象限角，所以 tan1.(1)2sincossincos2tan1tan12111112.(2)tansincos1，sin2cos21且是第三象限角，sin 22，cos22，sincos 2.二、選做題11.已知函數(shù) f(x)asin(x)bcos(x)，且