絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)

1、絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)1、定義：( 1)幾何定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做 a 的絕對(duì)值，記作a, 讀作“絕對(duì)值 a”。( 2)代數(shù)定義： 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身； 一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)； 0的絕對(duì)值是 0. 實(shí)數(shù) a 的絕對(duì)值是： |a| a 為正數(shù)時(shí)， |a|=a( 不變 ) a 為 0 時(shí)，|a|=0 a 為負(fù)數(shù)時(shí)，|a|= -a（ 為 a 的絕對(duì)值 ）任何數(shù)的絕對(duì)值都大于或等于 0，因?yàn)榫嚯x沒有負(fù)的。2、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值具有以下性質(zhì)：(1) |a| 大于等于 0(實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)實(shí)數(shù) );(2) |-a|=|a|( 互為相反數(shù)的兩實(shí)數(shù)絕對(duì)值相等 );(3) -|

2、a| 小于等于 a 小于等于 |a|;(4) |a|>b 可以推出 a<-b 或 a>b ， a<-b 或 a>b 可以推出 |a|>b;(5) |a b·|=|a| ·|b|;(6) |a|/|b|=|a/b|(b0);(7) |a+b| 小于等于 |a|+|b| ，當(dāng)且僅當(dāng) a、b 同號(hào)時(shí)，等式成立 ;(8) |a-b| 大于等于 |a|-|b| ，當(dāng)且僅當(dāng) a、 b 同號(hào)時(shí)，等式成立 ;(9) a 屬于 R 時(shí)， |a|的平方等于 |a|的平方。特別提醒：( 1)絕對(duì)值具有非負(fù)性，即 |a| 0；( 2)絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，它們相等

3、或互為相反數(shù)；( 3) 0 是絕對(duì)值最小的有理數(shù)。3、利用絕對(duì)值比較大小(1) 利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小 兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小比較的具體步驟： 先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值； 比較絕對(duì)值的大?。?根據(jù) “兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小 ”作出判斷(2) 幾個(gè)有 理數(shù)的大小比 較 同號(hào)兩數(shù)， 可以根據(jù)它們的絕對(duì)值來比較： a. 兩個(gè)正數(shù)， 絕對(duì)值大的數(shù)較大； b. 兩個(gè)負(fù)數(shù)， 絕對(duì)值大的反而小 多個(gè)有理數(shù)的大小比較，需要先將它們按照正數(shù)、0、負(fù)數(shù)分類比較，然后利用各數(shù)的絕對(duì)值或借助于數(shù)軸來進(jìn)一步比較4、利用絕對(duì)值解決實(shí)際問題絕對(duì)值的產(chǎn)生來源于實(shí)際問題的需要， 反過來又可以運(yùn)用它解決一些實(shí)際

4、問題， 主要有以下 兩類：(1)判斷物體或產(chǎn)品質(zhì)量的好壞 可以用絕對(duì)值判斷物體或產(chǎn)品偏離標(biāo)準(zhǔn)的程度，絕對(duì)值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)量就越好 方法：求每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；比較所求絕對(duì)值的大?。?根據(jù) “絕對(duì)值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn) ”作出判斷(2)利用絕對(duì)值求距離1 / 4路程問題中，當(dāng)出現(xiàn)用 “”、“ ”號(hào)表示的帶方向的路程，求最后的總路程時(shí)，實(shí)際上就是求絕對(duì)值的和方法：求每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；求所有數(shù)的絕對(duì)值的和；寫出答案5、去絕對(duì)值符號(hào)的幾種常用方法：1)利用定義法去掉絕對(duì)值符號(hào)根 據(jù)實(shí)數(shù) 含絕對(duì) 值的意 義，即| x |= x(x 0) ， 有 | x |< c (c 0) ； xc或 x c(c 0

5、)x 0(c 0)|x |>cx R(c 0)(2)利用不等式的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 |x |<c或|x |>c ( c >0)來解，如 |ax b|>c (c >0)可為 ax b>c 或 ax b< c；|ax b |< c可化為 c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集。 對(duì)于含絕對(duì)值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解， 也可利用結(jié)論“ a|x|ba xb或 b x a ”來求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。(3) 利用平方法去掉絕對(duì)值符號(hào)22 對(duì)于兩邊都含有 “單項(xiàng)” 絕對(duì)值的不等

6、式，利用 |x|2= x2可在兩邊脫去絕對(duì)值符號(hào)來解， 這 樣解題要比按絕對(duì)值定義去討論脫去絕對(duì)值符號(hào)解題更為簡捷， 解題時(shí)還要注意不等式兩邊 變量與參變量的取值范圍， 如果沒有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)， 需要進(jìn)行分類討論， 只有 不等式兩邊均為非負(fù)數(shù) (式 )時(shí)，才可以直接用兩邊平方去掉絕對(duì)值，尤其是解含參數(shù)不等式 時(shí)更必須注意這一點(diǎn)。(4) 利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào) 所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù) x1， x2 ， xn分別使含有 |x x1|，|x x2 |， |x xn |的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零，稱x1， x2 ， xn為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn)，零點(diǎn) x1 ，x2 ， xn將數(shù)軸分為 m

7、+1 段，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)， 得到代數(shù)式在各段 上的簡化式， 從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來解， 即令每項(xiàng)等于零， 得到的值作為 討論的分區(qū)點(diǎn)， 然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式， 最后應(yīng)求出解集的并集。 零點(diǎn)分段法是解 含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法， 它可以把求解條理化、思路直觀化。(5) 利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對(duì)值符號(hào) 解絕對(duì)值不等式有時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合， 利用絕對(duì)值的幾何意義畫出數(shù)軸， 將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解。 數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問題簡單化，此解法適用于 |x a| |x b| m 或 |x a|

8、 |x b| m （ m 為 正 常 數(shù) ） 類 型 不 等 式 。 對(duì)|ax b| |cx d | m （或< m ），當(dāng)| a | | c |時(shí)一般不用。1、對(duì)于形如 a的一類問題只要根據(jù)絕對(duì)值的 3 個(gè)性質(zhì)，判斷出 a 的 3 種情況，便能快速去掉絕對(duì)值符號(hào)。當(dāng) a>0時(shí)， a=a （性質(zhì) 1，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身 ） ；當(dāng) a=0 時(shí) a=0 （性質(zhì) 2，0 的絕對(duì)值是 0） ；當(dāng) a<0 時(shí)； a =a （性質(zhì) 3，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù) ） 。2、對(duì)于形如 a+b的一類問題我們只要把 a+b看作是一個(gè)整體， 判斷出 a+b的 3 種情況， 根據(jù)絕對(duì)值的 3個(gè)性質(zhì)

9、，便能快 速去掉絕對(duì)值符號(hào)，正確進(jìn)行化簡。當(dāng) a+b>0 時(shí)， a+b=a +b（性質(zhì) 1，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身 ） ；當(dāng) a+b=0 時(shí)， a+b =0 （性質(zhì) 2，0 的絕對(duì)值是 0） ；當(dāng) a+b<0 時(shí)， a+b=（a+b）= a-b （性質(zhì) 3，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù) ）3、對(duì)于形如 a-b的一類問題同樣，按上面的方法，我們?nèi)匀话補(bǔ)-b看作一個(gè)整體，判斷出 a-b 的 3種情況，根據(jù)絕對(duì)值的 3 個(gè)性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)。但在去括號(hào)時(shí)最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。 如何快速去掉絕對(duì)值符號(hào)， 條件非常簡單， 只要你能判斷出 a與 b的大小即可。因?yàn)榇?-小 =小 -大 =大-小，所以當(dāng)

10、a>b時(shí)， a-b =a-b, b-a =a-b.請(qǐng)記住口訣：無論是大減小，還是小減大，去掉絕對(duì)值，都是大減小。4、對(duì)于數(shù)軸型的一類問題，根據(jù) 3 的口訣來化簡，更快捷有效。如 a-b的一類問題，只要判斷出 a 在 b 的右邊，便 可得到 a-b =a-b, b-a =a-b。5、對(duì)于絕對(duì)值號(hào)里有三個(gè)數(shù)或者三個(gè)以上數(shù)的運(yùn)算萬變不離其宗， 還是把絕對(duì)值號(hào)里的式子看成一個(gè)整體， 把它與 0比較，大于 0 直接去絕 對(duì)值號(hào)，小于 0 的整體前面加負(fù)號(hào)。練習(xí)一、選擇1、絕對(duì)值為 4 的有理數(shù)是（ ）A. ±4 B. 4 C. -4 D. 22、兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么（） A. 這兩個(gè)

11、數(shù)一定是互為相反數(shù)； B.這兩個(gè)數(shù)一定相等；C.這兩個(gè)數(shù)一定是互為相反數(shù)或相等； D.這兩個(gè)數(shù)沒有一定的關(guān)系3、絕對(duì)值小于 4 的整數(shù)有（ ） A.3 個(gè) B.5 個(gè) C.7 個(gè) D.8 個(gè)4、絕對(duì)值與相反數(shù)都是它的本身（）A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D. 不存在5、若 m 為有理數(shù)，且 那么 m 是（ ） A. 非整數(shù) B. 非負(fù)數(shù) C.負(fù)數(shù) D.不為零的數(shù)6、下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A、一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)B、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等C、絕對(duì)值最小的數(shù)是 0D 、絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)7、下列結(jié)論中，正確的有（）符號(hào)相反且絕對(duì)值相等的數(shù)互為相反數(shù)； 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越

12、大， 表示它的點(diǎn)在數(shù)軸上離 原點(diǎn)越遠(yuǎn)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的它本身反而?。徽龜?shù)大于一切負(fù)數(shù)；在數(shù)軸上，右 邊的數(shù)總大于左邊的數(shù) .A、2 個(gè) B、3 個(gè) C、4 個(gè) D、5 個(gè)3 / 48、一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，那么這個(gè)數(shù)是（）（A ）正數(shù) （ B）正數(shù)或零（C ）零（D ）有理數(shù)9、如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是 5.2 ，那么這個(gè)數(shù)是（）（A）5.2（B） 5.2（C）5.2 或 5.2（D）以上都不對(duì)10 、任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是（）（A）正數(shù)（ B ）負(fù)數(shù)（ C ）有理數(shù)（D）正數(shù)或零11、在（ 8），|1|，|0|， 0 .0001 這四個(gè)有理數(shù)中，負(fù)數(shù)共有（ ）（A ） 4 個(gè) （B）3 個(gè)

13、（ C） 2 個(gè)（ D） 1 個(gè)12 、在數(shù)軸上和表示 3 的點(diǎn)的距離等于5 的點(diǎn)所表示的數(shù)是（）（A） 8 （B）2（C） 8 和 2（ D ）113、9 與1 3 的絕對(duì)值的和是（）（A）22（B） 4（C）4（D） 2214、數(shù) |3 |的相反數(shù)是（）（A）3 （B）（C）3（ D）315、設(shè) a是最小的正整數(shù)， b是最大的負(fù)整數(shù)， c是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則a + b + c 等于 （）A 1 B 0 C 1 D 2二、填空（1 ）正數(shù)的絕對(duì)值是 ，負(fù) 數(shù)的絕對(duì)值是 ，零的絕對(duì)值是 ，絕對(duì)值等于 1的有理數(shù)是 （2 ）從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)離開原點(diǎn)的 （3）49 是_

14、 _ 的相反數(shù)，它是 的絕對(duì)值（4） | 5|的相反數(shù)是 （5 ）如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于 那么這個(gè)數(shù)是 （6 ）絕 對(duì)值小于 3.14 的所有整數(shù)是 （7）-3的絕對(duì)值是 ，絕對(duì)值是 3的數(shù)是 _（8）一個(gè)數(shù) a 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，且，則 a =_（9 ）絕對(duì)值最小的數(shù)是 ；最大的負(fù)整數(shù)是 （10 ）絕對(duì)值小于 3 的所有自然數(shù)是 （11）一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)小于原數(shù)，這個(gè)數(shù)是 (12)已知 x y=2，且 y =4，則 x = 。(13)已知 x =2 ， y=3 ，則 x +y = 。（14）已知 x +1 與 y 2互為相反數(shù)，則x + y=（15） 式子 x +1 的最小值是 ，這時(shí)， x 值為三、拓展提高：1如果 a ， b 互為相反數(shù)，