阻尼振動共振

1、目目 錄錄2 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動 無阻尼的自由振動無阻尼的自由振動 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動3 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動 共振共振 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動 共振共振作業(yè)：作業(yè)：6-7, 6-8,6-9（舊版）（舊版）6-13，6-14，6-15（新版）（新版）22 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動kmT 220 2-2 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動dtdxvfr 2-1 無阻尼的自由振動無阻尼的自由振動振動系統(tǒng)受介質(zhì)的粘滯阻力與速度大小成正比，振動系統(tǒng)受介質(zhì)的粘滯阻力與速度大小成正比，與其方向相反。與其方向相反。彈性力或準(zhǔn)彈性力和上述阻力作用下的動力

2、學(xué)方程：彈性力或準(zhǔn)彈性力和上述阻力作用下的動力學(xué)方程：xkxxm 3022022 xdtdxdtxd 稱稱 為振動系統(tǒng)的固有角頻率為振動系統(tǒng)的固有角頻率, ,稱稱 為阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù) 0m2 ;20mk xkxxm 令：令：（1）阻尼較小時阻尼較小時， 此方程的解此方程的解：202 220 )cos()(0 tAetxt這種情況稱為欠阻尼這種情況稱為欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大4由初始條件決定由初始條件決定A和初相位和初相位 ,設(shè)設(shè)0000,)0(,0Vdtdxxxtt 即有即有： 00000cossincos AAVAx 220020)( xVxA 0000 xxVtg t欠阻尼欠阻

3、尼)(tx5tteCeCtx)(2)(1202202)( 202 （2）阻尼較大時，）阻尼較大時， 方程的解：方程的解：21CC ，其中其中 是積分是積分常數(shù)，由初始條件常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況來決定，這種情況稱為過阻尼。稱為過阻尼。t過阻尼過阻尼)(tx無振動發(fā)生。無振動發(fā)生。6t臨界阻尼臨界阻尼)(tx202 稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統(tǒng)稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統(tǒng)剛剛不能作準(zhǔn)周期振動，而很快回到剛剛不能作準(zhǔn)周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應(yīng)用在天平調(diào)衡中。平衡位置的情況，應(yīng)用在天平調(diào)衡中。21,CC是由初始條件是由初始條件決定的積分常數(shù)決定的積分常數(shù)。tetCCtx

4、)()(21（3）如果如果 方程的解：方程的解：202 220 是從有周期性因子是從有周期性因子 到無周期性的臨界點(diǎn)。到無周期性的臨界點(diǎn)。7mHhmmk 2 ;20；令令 3-1 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動3 3 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動 共振共振設(shè)強(qiáng)迫力設(shè)強(qiáng)迫力ptHfcosxvfr阻尼力：阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022 是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程。是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程。由微分方程理論由微分方程理論：非齊次微分方程的通解非齊次微分方程的通解= =齊次微分方程的解齊次微分方程的解+ +非齊次的一個特解非齊次的一個特解8202

5、 其解為：其解為：)cos()cos()(00220 ptAtAetxpt經(jīng)過足夠長的時間，稱為定態(tài)解：經(jīng)過足夠長的時間，稱為定態(tài)解：)cos()(0 ptAtxp該等幅振動的角頻率就是強(qiáng)迫力的頻率；該等幅振動的角頻率就是強(qiáng)迫力的頻率；穩(wěn)定態(tài)時的振幅及與強(qiáng)迫力的相位差分別為：穩(wěn)定態(tài)時的振幅及與強(qiáng)迫力的相位差分別為：2222204)(pphAp 22002pparctg 9求振幅對頻率的極值，得出求振幅對頻率的極值，得出2222204)(pphAp 2202 rp共振時強(qiáng)迫力的角頻率共振時強(qiáng)迫力的角頻率 2202 hAr共振的振幅共振的振幅振幅有極大值振幅有極大值3-2 共振共振22002ppa

6、rctg 代入代入 2200 arctgr與強(qiáng)迫力的相位差與強(qiáng)迫力的相位差0 dpdAp104 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成4.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成垂直方向、同頻率簡諧振動的合成4.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成本講提綱本講提綱作業(yè)：作業(yè)：6-10， 6-11 , 6-12（舊版）（舊版）6-16，6-17，6-18（新版）（新版）4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成11 代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，

7、同一直線上運(yùn)動，有不同的振幅和初相位同一直線上運(yùn)動，有不同的振幅和初相位4 4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)()()(21txtxtxtAtAsinsincoscos)cos(tA 結(jié)論：仍然是同頻率仍然是同頻率的簡諧振動。的簡諧振動。合振幅合振幅122AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 幾何方法幾何方法)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAarctg 13討論一：討論一：, 2, 1

8、, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A當(dāng)當(dāng) 稱為干涉相長。稱為干涉相長。 21AA 12AA 14討論二：討論二：|21AAA當(dāng)當(dāng) 時，時， 稱為干涉相消。稱為干涉相消。21AA 0A2AA1A討論三：討論三：1A2AA,)(2101212 kk |2121AAAAA k 12一般情況：一般情況：154.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成利用三角函數(shù)關(guān)系式：利用三角函數(shù)關(guān)系式：為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達(dá)式分別為

9、：率振動的合成。其振動表達(dá)式分別為：222 coscoscoscos)cos()( tAtx22)cos()( tAtx111621與當(dāng)當(dāng) 都很大，且相差甚微時，可將都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，視為振幅變化部分，合成振動是以合成振動是以 為角頻率的諧振動。為角頻率的諧振動。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振動這種即振動忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振動這種合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍拍。)cos()cos()( tAtAtx21)(c

10、os(cos 2221212ttA）17單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻顯然，拍頻是振動顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍。的頻率的兩倍。即拍頻為：即拍頻為：)cos(t212 )(txt12122212 )()2(212 184.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成垂直方向、同頻率簡諧振動的合成設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)同時參與了兩個振動方向相互設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即垂直的同頻率簡諧振動，即 );cos(101 tAx)cos(202 tAy10101 sinsincoscos ttAx20202 sinsincoscos ttAy19

11、 2212222122sincos AAxyAyAx)(1020上式是個橢圓方程，具體形狀由上式是個橢圓方程，具體形狀由 相位差決定。相位差決定。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向與 有關(guān)。當(dāng)有關(guān)。當(dāng) 時，時，質(zhì)點(diǎn)沿順時針方向運(yùn)動；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿順時針方向運(yùn)動；當(dāng) 時，時，質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)動。2021AA 當(dāng)當(dāng) 時，正橢圓退化為圓時，正橢圓退化為圓。20討論討論1 01020 )( 0221222212 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的運(yùn)動。直線上的運(yùn)動。yx 2212222122sincos AAxyAyAx21討論討論2 )(10200221222212

12、 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的振動。直線上的振動。討論討論321020 )(1222212 AyAx所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。1A2Ayx22質(zhì)點(diǎn)的軌道是圓。質(zhì)點(diǎn)的軌道是圓。X和和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。21AA 討論討論5討論討論4所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。1A2A1222212 AyAx231020 )(23討論討論6 k21020 則為任一橢圓方程。

13、則為任一橢圓方程。32102121020， kk 綜上所述：兩個頻率相同的互相綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行(直線是退化了的橢圓直線是退化了的橢圓)當(dāng)兩個當(dāng)兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。道就成為圓。244.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成一般是復(fù)雜的運(yùn)動軌道不是封閉曲線，一般是復(fù)雜的運(yùn)動軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動不是周期性的運(yùn)動。即合成運(yùn)動不是周期性的運(yùn)動。下面就兩種情況討論下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成，不視為同頻率的合成，不過兩個振動的相位差在緩慢地變化，過兩個振動的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道將不斷地從下圖所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化。所示圖形依次的循環(huán)變化。012120212當(dāng)當(dāng) 時是順時針轉(zhuǎn)；時是順時針轉(zhuǎn)； 時是逆時針轉(zhuǎn)。時是逆時針轉(zhuǎn)。25012412431245 47 21223262、如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動的軌道是封閉曲線，運(yùn)動也具有合成運(yùn)動的軌道是封閉曲線，運(yùn)動也具有周期。這種運(yùn)動軌