極限思想及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、極限思想及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要：高等數(shù)學(xué)中極限教學(xué)作為重要內(nèi)容，是高等數(shù)學(xué)計(jì)算分析的基礎(chǔ)，也是高等數(shù)學(xué)問(wèn)題分析的難題，極限的基本思考都是圍繞高等數(shù)學(xué)計(jì)算分析開(kāi)展的，高等數(shù)學(xué)中微積分、級(jí)數(shù)等基礎(chǔ)概念和思想都是基于極限思想提出的，以極限作為工具去解決和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種極其重要的方法。許多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列極限時(shí)感覺(jué)很困難，原因在于數(shù)列極限概念很抽象，而且計(jì)算也有一定的難度。本文首先闡述極限的定義；接著從數(shù)列極限和函數(shù)極限兩方面分析極限的求解方法；最后指出極限的應(yīng)用狀況，通過(guò)這些應(yīng)用使我們對(duì)極限有一個(gè)更系統(tǒng)立體的了解。關(guān)鍵詞：極限；求解方法；應(yīng)用狀況Limit thought and its app

2、lication in mathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analy

3、sis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because

4、the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we

5、have a more systematic understanding of the limit.Key words: limit; Solution method; Application status目 錄一、引言1（一） 選題背景1（二）研究目的和意義1二、極限的概念1（一）數(shù)列極限的定義1（二）函數(shù)極限的定義21 一元函數(shù)極限的定義22 多元函數(shù)極限的定義3三、極限的求法3（一） 數(shù)列極限的求法31 極限定義求法32 極限運(yùn)算法則法63 夾逼準(zhǔn)則求法64 單調(diào)有界定理求法75 定積分定義法86 級(jí)數(shù)法8（二）函數(shù)極限的求法91 一元函數(shù)極限的求解方法92 多元函數(shù)極限的求解方法15四

6、、極限的應(yīng)用18（一）在計(jì)算面積中的應(yīng)用18（二）在求方程數(shù)值解中的應(yīng)用18五、結(jié)論20致 謝22IIII一、引言（一） 選題背景隨著對(duì)變量間函數(shù)關(guān)系的不斷深化，微積分由此產(chǎn)生。極限是微積分的基礎(chǔ)也是微積分中最重要的部分，它描述的是一種趨勢(shì)，是從數(shù)量上描述變量在無(wú)限變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)。極限思想是微積分的基本思想，微積分作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，與各類科學(xué)問(wèn)題緊密相關(guān)。如：求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度、求曲線的切線、求函數(shù)最大值、最優(yōu)化問(wèn)題等。這些問(wèn)題在十七世紀(jì)中期，牛頓和萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)不懈努力，創(chuàng)立了微積分。在創(chuàng)立微積分的過(guò)程中也產(chǎn)生了一種重要的數(shù)學(xué)思想極限思想。微積分的基礎(chǔ)和研究工具是極

7、限理論，極限理論的核心是極限概念，因此，搞好極限概念的教學(xué)不僅關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)，而且關(guān)乎學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)生涯的學(xué)習(xí)。（二）研究目的和意義極限是高等數(shù)學(xué)課程中最重要的概念之一極限思想貫穿整個(gè)教材，它是微積分的靈魂,高等數(shù)學(xué)課程中的很多概念都是由極限來(lái)定義的，因此理解極限思想的內(nèi)涵和掌握求極限的方法是學(xué)習(xí)這門課程的基本要求。但是，筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)員往往對(duì)求極限這一問(wèn)題感到束手無(wú)策，這一方面是因?yàn)榍髽O限的題目類型比較多，求解方法也是因題而異，變化多端；另一方面是因?yàn)閹缀跛械母叩葦?shù)學(xué)課程教材沒(méi)有把求極限的方法進(jìn)行歸納總結(jié)。為了幫助學(xué)員掌握求極限的方法并能熟練地求極限，筆者對(duì)高等數(shù)學(xué)

8、課程中常用的求極限的方法進(jìn)行了分析研究，給出了每種方法的注意事項(xiàng)及使用技巧，并對(duì)數(shù)列極限的應(yīng)用進(jìn)行了探討。二、極限的概念在研究極限解法之前，首先我們要清楚極限的定義,這是對(duì)極限做進(jìn)一步深入研究的先決基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)中，極限主要分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。（一）數(shù)列極限的定義數(shù)列極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的,如我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法割圓術(shù)。因一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積An在n無(wú)限增大（n）時(shí)，內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓，同時(shí)An也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)，此時(shí)這一數(shù)值可精確表達(dá)圓的面積.在解決類似的實(shí)際問(wèn)題中逐步的引出了數(shù)列極限。對(duì)于數(shù)列An

9、，若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，An能無(wú)限地接近某一個(gè)常數(shù)a，就稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，a是此數(shù)列的極限.例如，對(duì)于數(shù)列1/n，當(dāng)n時(shí)，1/n能無(wú)限地接近于0，則稱數(shù)列1/n為收斂數(shù)列.就是說(shuō)，當(dāng)n充分大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)An與常數(shù)a之差的絕對(duì)值可以任意小.針對(duì)不同的數(shù)列極限我們對(duì)其定義將會(huì)有細(xì)微的不同，下面主要介紹兩種定義：-N定義，A-N定義.定義1（-N語(yǔ)言）：設(shè)An是個(gè)數(shù)列，若存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，都有|An-N|，則稱是數(shù)列An的極限，或稱An收斂于a，記作，或Ana（n+）。這時(shí)也稱An的極限存在。定義2（A-N語(yǔ)言）：若A0,存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，都

10、有AnN,則稱是數(shù)列An當(dāng)無(wú)限增大時(shí)的非正常極限，或稱An發(fā)散于，記作或，這時(shí)，稱有非正常極限。（二）函數(shù)極限的定義1 一元函數(shù)極限的定義定義1 設(shè)函數(shù)在某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義， 為定數(shù). 若對(duì)任給的, 存在正數(shù), 使得當(dāng)時(shí)有,則稱函數(shù)為當(dāng)趨于時(shí)以為極限， 記作 或 . 若時(shí)， 記作, 稱為右極限； 若時(shí)， 記作, 稱為左極限，左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。定義2 設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義， 為常數(shù). 若對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論它怎么?。?， 總存在正數(shù), 使得當(dāng)時(shí)， 都有 ,則稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)以為極限. 記做或.若我們把定義2.2中的改成()， 則稱為函數(shù)當(dāng)取正值且無(wú)限增大（記作）時(shí)的極限， 記作把定義2.2中的

11、改成, 則稱為函數(shù)當(dāng)取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大（記作）時(shí)的極限， 記作2 多元函數(shù)極限的定義定義1 設(shè)函數(shù)在以為聚點(diǎn)的集合上有定義， 若對(duì)任何的存在, 使得只要及其中為和二點(diǎn)間的距離， 則, 我們就說(shuō)特別地， 當(dāng)時(shí)， 可以得到在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)， 也可簡(jiǎn)單地寫(xiě)作當(dāng)分別用坐標(biāo)表示時(shí)， 也常寫(xiě)作注意：二元函數(shù)極限有時(shí)也稱二重極限，它與一元函數(shù)極限存在著一定的差別，在二元函數(shù)極限中自變量趨于點(diǎn)的方向的任意性及方式的多樣性，這是一元函數(shù)與二元函數(shù)極限的主要區(qū)別，也是造成二元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念間關(guān)系有別于一元函數(shù)相關(guān)概念間關(guān)系的根源。三、極限的求法（一） 數(shù)列極限的求法1 極限定義求法由定

12、義可以看到，用定義求數(shù)列極限的關(guān)鍵是：通?；癁橐怀?shù)與一含有的無(wú)窮小之和，從而得到，并依次求出，用定義進(jìn)行求解。因此，關(guān)鍵是找出，可以看成是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，我們可以通過(guò)求解不等式，找到使成立，n所要滿足的條件，也就是不等式的解集。該解集是自然數(shù)N的無(wú)限子集.對(duì)同一個(gè)并不唯一，因此，只需在該解集中找出一個(gè)作為N即可.這樣尋找N的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求解不等式的問(wèn)題了。（1）一般求法對(duì)一些較為簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題，可以先設(shè)，通過(guò)用定義得出N，其步驟如下：第一步：先找到這個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，無(wú)限地接近于.第二步：，求出使成立的n所要滿足的條件尋找N.第三步：取出N.例1.求的極限.解：對(duì)欲使只要，即，故只需取，

13、則當(dāng)時(shí)，就有，因此 .（2）適當(dāng)放大法其步驟如下：第一步：找出這個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，無(wú)限地接近于，將作適當(dāng)放大成，即對(duì)一切n，有<成立.第二步：，尋求使成立時(shí)n所要滿足的條件尋找.第三步：求出N.例2 計(jì)算：的極限.解：由于有，令，即.從而有 即，或解得.于是，對(duì)，有（適當(dāng)放大，對(duì)n沒(méi)有限制）.故對(duì)，要想使成立，只需，解得.取.于是，對(duì)，當(dāng)，有即.（3）條件放大法在對(duì)進(jìn)行放大時(shí)，有時(shí)需要對(duì)n加以限制，這就是所謂條件放大法.具體步驟如下：第一步：找出一個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，無(wú)限地接近于，將作條件放大成，即當(dāng)時(shí)，有.第二步：，尋求使成立n所要滿足的條件尋找.第三步： 取.例3 已知，計(jì)算的極限.解

14、：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，有其中又因?yàn)橛谑菍?duì)于上述的，存在，當(dāng)時(shí)，.取則當(dāng)時(shí)，有所以=2 極限運(yùn)算法則法我們知道如果每次求極限都用定義法的話，計(jì)算量會(huì)太大。若已知某些極限的大小，就可以簡(jiǎn)化數(shù)列極限的求法。例4：求,其中.解：分子分母同乘，所求極限式化為由知，當(dāng)時(shí)，所求極限等于；當(dāng)時(shí)，由于，故此時(shí)所求極限等于0.綜上所述，得到3 夾逼準(zhǔn)則求法迫斂性不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個(gè)求極限的工具。例5：求極限.解：因?yàn)樗砸?，再由迫斂性知4 單調(diào)有界定理求法有的時(shí)候我們需要先判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂，再求其極限，此時(shí)該方法將會(huì)對(duì)我們有很大幫助，我們來(lái)看幾個(gè)例子。例6：求例2.1.

15、3注解中的.解：.事實(shí)上，令.當(dāng)時(shí)， .因此從某一項(xiàng)開(kāi)始是遞減的數(shù)列，并且顯然有下界0.因此，由單調(diào)有界原理知極限存在，在等式的等號(hào)兩邊令，得到,所以為無(wú)窮小。從而 5 定積分定義法通項(xiàng)中含有的數(shù)列極限，由于的特殊性，直接求非常困難，若轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)求就相對(duì)容易多了。例7：求.解：令，則而,也即，所以.6 級(jí)數(shù)法若一個(gè)級(jí)數(shù)收斂，其通項(xiàng)趨于0（）,我們可以應(yīng)用級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)來(lái)求數(shù)列極限，我們來(lái)看兩個(gè)實(shí)例來(lái)領(lǐng)會(huì)其數(shù)學(xué)思想。例8：求極限.解： 因級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則知，對(duì)，存在, 使得當(dāng)時(shí)，此即所以 （二）函數(shù)極限的求法1 一元函數(shù)極限的求解方法本文在高等數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納了下面幾種

16、常見(jiàn)的極限求法：（1）利用定義求函數(shù)極限定義在數(shù)學(xué)分析中相當(dāng)重要，極限定義也如此，如果將極限定義理解透徹， 很多題目就可以迎刃而解。下面就舉例介紹一下用定義求函數(shù)極限的方法.例1 用極限的定義求 解 任給, 取, 則當(dāng)時(shí)， 有, 所以 這是利用定義求極限的簡(jiǎn)單例子，但在平時(shí)的練習(xí)中，不可能遇到的題目都這么簡(jiǎn)單，往往需要一些處理方法，放縮法和含絕對(duì)值不等式是最常見(jiàn)的。具體的就留給讀者細(xì)細(xì)體會(huì)，這種方法適合于初學(xué)者，但是在平時(shí)的求極限過(guò)程中往往避免用定義來(lái)求。（2）利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求函數(shù)極限若, . 根據(jù)定理2.2我們就可以計(jì)算出以下各種極限.1）2） 3）（其中）4） （其中c為常數(shù)）.上

17、述性質(zhì)對(duì)于時(shí)也同樣成立，極限的四則運(yùn)算是求函數(shù)極限的基礎(chǔ)，也是求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的和差積商的極限常見(jiàn)的方法，要想學(xué)好函數(shù)極限的求法必須要先熟練掌握極限的四則運(yùn)算。例 2 求 .解 注意：運(yùn)用極限的四則運(yùn)算的時(shí)候，必須注意適用條件.首先要保證各項(xiàng)極限都存在， 如果遇到分式的話， 分母極限不能為零。例如, 因?yàn)闃O限不存在。（3）利用洛比達(dá)法則求函數(shù)極限求“”或“”型未定式極限更常用的方法是用洛比達(dá)法則.定理 3.1 設(shè)（或）， （或）； 在的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)， 且, 若,則.其中可以是有限數(shù)， 也可以是.將換成或或也有相應(yīng)的洛比達(dá)法則， 同時(shí)這些法則也成立。洛比達(dá)法則可用語(yǔ)言簡(jiǎn)單而又直接的描述成如下形式

18、：假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)， 函數(shù)和滿足：1） 和的極限都是0或都是無(wú)窮大；2） 和都可導(dǎo)， 且的導(dǎo)數(shù)不為0；3） 存在（或是無(wú)窮大），則極限也一定存在， 且等于, 即=.說(shuō)明：用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“”型或“”型；條件2）一般都滿足，而條件3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足； 應(yīng)用洛比達(dá)法則， 要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。當(dāng)不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。

19、當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、后面的等價(jià)無(wú)窮小代換等方法。一般情況下， 對(duì)于“”、“”、“”、“”、“”、“”型都可以直接或間接地使用洛比達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于“”型、“”型的可以直接使用洛比達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，面對(duì)于“”型，我們只要進(jìn)行簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化就可以轉(zhuǎn)化成“”型、“”型再進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于“”、“”、“”型，用對(duì)數(shù)的性質(zhì)把它化成“”型.例 3 求下列函數(shù)極限.1） . 2） .3） .4） .解 1） 原式=.此題連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限得出答案. 2）原式.3） 因?yàn)橐虼耍?原式=.4） 因?yàn)橐虼耍?原式=.（4）利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限若函數(shù)滿足上述定理2.3的條

20、件，且函數(shù)本身的極限不易直接求出時(shí)，可考慮將求極限的變量做適當(dāng)?shù)梅糯蠛涂s小，使放大、縮小后的極限較易求得，并且兩者的極限相同，即求得原極限的值。例4 求 ().解 當(dāng)時(shí)， 存在唯一的正整數(shù), 使, 于是當(dāng)時(shí)， 有,.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， , 有, ,所以=0.（5）利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限一些函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)， 因此求這類函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)處的極限， 可以根據(jù)以下性質(zhì)來(lái)求極限（對(duì)于等情況都適用）.（1） 若在處連續(xù)， 則;（2） 若是復(fù)合函數(shù)， 有且在處連續(xù)， 則.例 5 求 .解 由于在定義域內(nèi)都連續(xù)， 所以（6）分別利用左右極限求得函數(shù)極限在文獻(xiàn)介紹了用左右極限求函數(shù)極限的方法. 求分

21、段函數(shù)在連接點(diǎn)處的極限， 要分別求左、右極限求得函數(shù)極限. 即對(duì)于分段函數(shù)考察是否存在就要分別求與. 若與相等， 則可得; 若與不相等， 則不存在.例6 設(shè)= 求 及.解 因?yàn)? 由, 所以. 又因?yàn)?由于, 所以不存在.（7）利用泰勒公式求函數(shù)極限對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)， 應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便.例7 求.解 利用文獻(xiàn)中的泰勒公式， 當(dāng), 有, 于是=.（8）利用導(dǎo)數(shù)定義求某些函數(shù)的極限例 8 求證： 若存在， 則證明 注意到有（9）利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求函數(shù)極限級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：若級(jí)數(shù)收斂， 則。因此，對(duì)某些極限, 可將函數(shù)作為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。只須證明此級(jí)數(shù)收斂，便有

22、例9 求 解 令, 則,因?yàn)? 所以. 即收斂， 所以（10）利用只保留最大量的原則求函數(shù)極限對(duì)于“”型， 求其極限時(shí)， 遵循一個(gè)原則， 那就是分子分母只保留最大量的項(xiàng). 當(dāng)遇到時(shí)， 按量級(jí)的降序是： ; 當(dāng)遇到有限量時(shí)， 按量級(jí)的降序則是： .例 10 求 （1） （2） .解 （1） 原式（2） 原式上面兩例屬于極限問(wèn)題中的特例， 常常不好解釋， 實(shí)際上它滿足保留最大量原則。2 多元函數(shù)極限的求解方法類似于一元函數(shù)的常見(jiàn)求法，多元函數(shù)也有相似的求法，在這里就簡(jiǎn)單介紹一下（以二元函數(shù)為例）。（1）利用定義求極限例 11 求 .解 因?yàn)?, 所以 于是對(duì)任意的, 存在, 當(dāng) 有 即 （2）利用

23、函數(shù)的連續(xù)性求極限定義 3.2（二元函數(shù)的連續(xù)性） 設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)， （它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)）.對(duì)于任給的正數(shù), 總存在相應(yīng)的正數(shù), 只要 就有,則稱關(guān)于集合D在點(diǎn)連續(xù). 在不至于誤解的情況下， 也稱在點(diǎn)連續(xù)。例 12 求 .解 因?yàn)樵谑沁B續(xù)的， 所以（3）利用兩邊夾定理求極限例13 求 .解 因?yàn)? 而, 所以.（4）利用重要極限求極限例 14 求 .解 , 而,所以， 原式.（5）利用有理化的方法求極限例 15 求 解 分子分母同乘以, 即得（6）利用無(wú)窮小與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小求極限例16 求 解 因?yàn)? 所以，原式（7）利用極限的四則運(yùn)算定理、無(wú)窮小的運(yùn)算定理

24、、無(wú)窮小于無(wú)窮大的關(guān)系求極限例 17 求 解 由, 得, 故.同理，于是原式（8）利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限例18 求 解 因?yàn)闀r(shí) 所以故原式（9）利用換元法求極限運(yùn)用換元的形式求極限的方法中最為主要的是整體代換或三角代換，特別是當(dāng)遇到時(shí)，可以設(shè)，相當(dāng)于。通過(guò)變量代換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為元函數(shù)的極限，從而二元函數(shù)的極限變得簡(jiǎn)單。例 19 求 解 設(shè) 因?yàn)?故當(dāng)時(shí)， 則原式四、極限的應(yīng)用（一）在計(jì)算面積中的應(yīng)用如何求拋物線與兩直線和所圍的面積.先將區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間，以這些小區(qū)間為底邊，分別以為高，作個(gè)小矩形.這個(gè)小矩形的面積之和是這樣我們就定義一個(gè)數(shù)列，對(duì)每個(gè)而言，它都小于欲求的“面積

25、”，但是這兩者之間的差別不會(huì)大于長(zhǎng)為1,寬為的矩形面積，即，所以，當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，將越來(lái)越接近于欲求的“面積”，因此，我們可以定義此面積為 .這種定義面積并求面積的方法簡(jiǎn)單又樸素，它同時(shí)孕育出了數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分：積分學(xué)。（二）在求方程數(shù)值解中的應(yīng)用我們都知道，是無(wú)理數(shù).目前的問(wèn)題是如何用有理數(shù)來(lái)逼近，以達(dá)到事先指定的精確度？是二次方程的正根，所以我們的問(wèn)題可以說(shuō)成是求方程的“數(shù)值解”。把問(wèn)題提得更一般一些，設(shè)是任意給定的，我們來(lái)求的近似值.給定的一個(gè)近似值，在兩個(gè)正數(shù)中，一定有一個(gè)大于另一個(gè)小于，除非正好就是。有理由指望這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值可能更加靠近，這便得到了更好的近似。事實(shí)上這表

26、明：不論初值如何，得出的第一次近似值是過(guò)剩近似值.不妨設(shè)初值本身就是過(guò)剩近似值，因此。由此得出這個(gè)不等式告訴我們：第一次近似值到的距離至多是初值到的距離的一半。重復(fù)施行上述的步驟，便產(chǎn)生數(shù)列，其中由可見(jiàn)，對(duì)于充分大的，數(shù)與的距離要多小有多小。讓我們看看實(shí)際應(yīng)用起來(lái)有多方便，設(shè)想我們需求的近似值.取初值（這是相當(dāng)粗糙的近似值），反復(fù)迭代的結(jié)果是這已是相當(dāng)精確的近似值。五、結(jié)論當(dāng)然高等數(shù)學(xué)課程中求極限的方法還有很多，如可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、泰勒公式、微分中值定理、無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件等。盡管求極限的方法有很多，每種方法也都有自己的適用范圍，但是很多求極限的題目不是用一種方法就能解決的，它需要多種方

27、法的結(jié)合才能解決。另外，很多求極限的題目也可以用很多方法來(lái)求解。因此，大家在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，一定要善于思考和歸納總結(jié)，總結(jié)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)、使用條件及適用范圍，這樣遇到求極限的題目才能游刃有余、得心應(yīng)手。參考文獻(xiàn)1李慶娟. 基于高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限求解的討論J. 佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2015,02:245.2王淑芳,杜繼明. 數(shù)列極限求解方法研究J. 高教學(xué)刊,2015,16:199-200.3景慧麗. 極限求解方法研究J. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2015,05:16-22.4何鳳英. 數(shù)列求極限方法淺談J. 漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013,02:156-157.5葛喜芳. 數(shù)列極限的幾種計(jì)算方法J. 北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013,03:63-65.6余曉娟. 數(shù)列極限求解方法研究J. 保山學(xué)院學(xué)報(bào),2016,02:61-65.7張俊青. 數(shù)列極限求解方法的探討J.