橢圓極坐標方程及其應用

1、1 / 6橢圓的極坐標方程及其應用橢圓的極坐標方程及其應用如圖，傾斜角為如圖，傾斜角為且過橢圓且過橢圓的右焦點的右焦點的直線的直線 交橢圓交橢圓于于兩點，橢兩點，橢2222:1(0)xyCabab2FlC,P Q圓圓的離心率為的離心率為，焦準距為，焦準距為，請利用橢圓的第二定義推導，請利用橢圓的第二定義推導，并證明，并證明: 為定值為定值Cep22,PF QF PQ2211PFQF改為：拋物線改為：拋物線 呢？呢？22(0)ypx p例例 1.（10 年全國年全國）已知橢圓）已知橢圓的離心率為的離心率為，過右焦點，過右焦點且斜率為且斜率為的的2222:1(0)xyCabab32F(0)k k

2、直線與直線與相交于相交于兩點若兩點若，求，求。C,A B3AFFB k練習練習 1. （1010 年遼寧理科）設橢圓年遼寧理科）設橢圓 C C：22221(0)xyabab的右焦點為的右焦點為 F F，過點，過點 F F 的直線的直線 與橢圓與橢圓 C C 相交于相交于lA A，B B 兩點，直線兩點，直線 的傾斜角為的傾斜角為 6060o o, ,2AFFB ，求橢圓，求橢圓 C C 的離心率；的離心率；l例例 2. （07 年全國年全國）已知橢圓）已知橢圓的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為，過過的直線交橢圓于的直線交橢圓于兩點，兩點，22132xy1F2F1FBD，過過的直線交橢圓于的直

3、線交橢圓于兩點，且兩點，且，垂足為，垂足為，求四邊形，求四邊形的面積的最值的面積的最值2FAC，ACBDPABCD練習練習 2. （05 年全國年全國）P、Q、M、N 四點都在橢圓四點都在橢圓上，上，F(xiàn) 為橢圓在為橢圓在 y 軸正半軸上的焦點軸正半軸上的焦點.已知已知1222yx求四邊形求四邊形 PMQN 的面積的最小值和最大值的面積的最小值和最大值. 0,MFPFFNMFFQPF且線與共線與例例 3. （07 年重慶理）如圖，中心在原點年重慶理）如圖，中心在原點 O 的橢圓的右焦點為的橢圓的右焦點為，右準線，右準線 的方程為的方程為.)0 , 3(Fl12x（）求橢圓的方程；）求橢圓的方程；

4、（）在橢圓上任取三個不同點）在橢圓上任取三個不同點，使，使，證明：，證明：123,P P P133221FPPFPPFPP為定值，并求此定值為定值，并求此定值.|1|1|1321FPFPFPQyOxP2FAyOxBF2 / 6推廣：已知橢圓推廣：已知橢圓, ,是橢圓的右焦點是橢圓的右焦點, ,在橢圓上任取在橢圓上任取個不同點個不同點, ,若若22221(0)xyababFn12,nP PP, ,則則，你能證明嗎？，你能證明嗎？122311nnnPFPP FPP FPP FP 11|niinPFep練習練習 3. （08 年福建理科）如圖，橢圓年福建理科）如圖，橢圓的一個焦點是的一個焦點是 F（

5、1，0） ，O 為坐標原點為坐標原點.2222.1(0)xyabab（）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；（）設過點）設過點 F 的直線的直線 l 交橢圓于交橢圓于 A、B 兩點兩點.若直線若直線 l 繞點繞點 F 任意轉動，值有任意轉動，值有,求求 a 的取的取222OAOBAB值范圍值范圍.作業(yè)作業(yè) 1. （08 年寧夏文）過橢圓年寧夏文）過橢圓的右焦點作一條斜率為的右焦點作一條斜率為 2 的直線與橢圓交于的直線與橢圓交于兩點兩點, 為坐為坐14522yxBA,O標原點標原點, 則則的面積為的面

6、積為 . .OAB作業(yè)作業(yè) 2.（09 年全國年全國）已知橢圓）已知橢圓的右焦點為的右焦點為 F,右準線右準線 ，點，點，線段，線段 AF 交交 C 于點于點 B。若。若22:12xCylAl,求求。3FAFB AF 作業(yè)作業(yè) 3. （15 年四市二模）如圖，在平面直角坐標系年四市二模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形中，四邊形的頂點都在橢圓的頂點都在橢圓xOyABCD 上，對角線上，對角線與與分別過橢圓的左焦點分別過橢圓的左焦點和右焦點和右焦點，且，且22221(0)xyababACBD1( 1,0)F 2(1,0)F，橢圓的一條準線方程為，橢圓的一條準線方程為ACBD4x （1）求橢圓方程

7、；）求橢圓方程； （2）求四邊形）求四邊形面積的取值范圍。面積的取值范圍。ABCD 練習練習 4.（08 年安徽文）已知橢圓年安徽文）已知橢圓，其相應于焦點，其相應于焦點 F(2，0)的準線方程為的準線方程為 x=4.2222:1(0)xyCabab；（）求橢圓）求橢圓 C 的方程；的方程；（）已知過點）已知過點 F1(-2,0)傾斜角為傾斜角為的直線交橢圓的直線交橢圓 C 于于 A，B 兩點兩點.求證：求證：24 22cosAB ；（）過點）過點 F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓作兩條互相垂直的直線分別交橢圓 C 于點于點 A、B 和和 D、E，求，求的最小值的最小值.ABDE

8、作業(yè)作業(yè) 5. 已知以已知以 F 為焦點的拋物線為焦點的拋物線上的兩點上的兩點 A、B 滿足滿足,求弦求弦 AB 的中點到準線的距離的中點到準線的距離.24yx3AFFB 3 / 6參考答案：參考答案：例例 1. 練習練習 1. 例例 2. 4 / 6練習練習 2. 例例 3. 解：（解：（）設橢圓方程為）設橢圓方程為.12222byax因焦點為因焦點為，故半焦距，故半焦距.又右又右)0 , 3(F3c準線準線l的方程為的方程為，從而由已知，從而由已知cax2，36,1222aca因此因此.3327, 622caba故所求橢圓方程為故所求橢圓方程為.1273622yx（）方法一）方法一: :記

9、橢圓的右頂點為記橢圓的右頂點為, ,并設并設, ,不失一般性不失一般性A(1,2,3)iiAFPi假設假設, ,且且1203213124,33又設點又設點在在 上的射影為上的射影為, ,因橢圓的離心率因橢圓的離心率, ,據(jù)橢圓第二定義得據(jù)橢圓第二定義得iPliQ12cea2| |(|cos)iiiiiaFPPQ ecFPec 1(9cos)2iiFP(1,2,3)i . .121(1cos)92iiFP(1,2,3)i 11112311121243(coscos()cos()9233FPFPFP又又11111111241313coscos()cos()coscossincossin033222

10、2( (定值定值) )12311123FPFPFP方法二方法二: :記橢圓的右頂點為記橢圓的右頂點為, ,并設并設, ,不失一般性假設不失一般性假設, ,且且A(1,2,3)iiAFPi1203, ,另設點另設點, ,則則213124,33( ,)iiP x y|cos3,|siniiiiiixPFyPF點點在橢圓上在橢圓上, ,iP22(|cos3)(|sin)13627iiiiPFPF, ,以下同方法一以下同方法一11(2cos)9iiFP(1,2,3)i ( (定值定值) )12311123FPFPFP推廣：推廣：引理引理 1:1:. .(1)sincos()22coscos()cos(

11、2 )cos()sin2nnn證明證明: :-(1)-(1)1cos sinsin()sin()2222-(2)-(2)13cos()sinsin()sin()2222-(-() )12121cos()sinsin()sin()2222nnn1n將上述將上述個式子相加得個式子相加得1n1211coscos()cos()sinsin()sin()2222nn5 / 6(1)sincos()22coscos()cos()sin2nnn證明證明: :記橢圓的右頂點為記橢圓的右頂點為, ,并設并設, ,不失一般性不失一般性A(1,2, )iiAFPin假設假設, ,且且120n2131124,nnnn

12、n 又設點又設點在在 上的射影為上的射影為, ,據(jù)橢圓第二定義得據(jù)橢圓第二定義得iPliQ2| |(|cos)iiiiiaFPPQ ecFPec (1,2, )in. .21(1cos)iiaeFPb(1,2, )in11121122(1)coscos()cos()|niiannePFbnn在引理在引理 1 1 中中, ,令令, ,則則12,n 11122(1)coscos()cos()nnn11(1)(1)sincos()sincos()220sinsin2nnnnn. .211|niinaPFb練習練習 3.3. 解法一：解法一：()()設設M M，N N為短軸的兩個三等分點，為短軸的兩個

13、三等分點，因為因為MNFMNF為正三角形，為正三角形， 所以所以, ,32OFMN 即即 1 13 2,3.23bbA解得 因此，橢圓方程為因此，橢圓方程為2214,ab 221.43xy ()()設設1122( ,), (,).A x yB xy ()()當直線當直線 ABAB與與x x軸重合時，軸重合時，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有 ()()當直線當直線ABAB不與不與x x軸重合時，軸重合時， 設直線設直線ABAB的方程為：的方程為：22221,1,xyxmyab代入 整理得整理得22222222()20,ab myb myba b 所以所以

14、222212122222222,b mba byyy yab mab m 因為恒有因為恒有，所以，所以AOBAOB恒為鈍角恒為鈍角. .222OAOBAB 即即恒成立恒成立. .11221212( ,) (,)0OA OBx yxyx xy y AA 2121212121212(1)(1)(1)() 1x xy ymymyy ymy ym yy 2222222222222222222222(1)()210.mba bb mab mab mm a bba baab m又又 a2+b2m20,所以所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2對對 mR 恒成立恒成立.當當 mR 時，時，a2b2m2最小值為最小值為 0，所以，所以 a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以所以 a0,解得解得 a或或 a,152152152綜合（綜合（i）(ii)，a 的取值范圍為（的取值范圍為（，+）.152解法二。解法二。6 / 6作業(yè)作業(yè) 1. 作業(yè)作業(yè)