知識(shí)講解解析幾何初步全章復(fù)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)

1、編稿：丁會(huì)敏 審稿：王靜偉 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；3.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；4.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；5.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；6.掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；7.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的

2、位置關(guān)系.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線方程的幾種形式 （1）直線方程的幾種表示形式中，除一般式外都有其適用范圍，任何一種表示形式都有其優(yōu)越性，需要根據(jù)條件靈活選用 （2）在求解與直線方程有關(guān)的問題中，忽視對(duì)斜率不存在時(shí)的直線方程的討論是常見的錯(cuò)誤，應(yīng)特別警惕（3）確定直線方程需要且只需兩個(gè)獨(dú)立條件，利用待定系數(shù)法求直線方程是常用方法常用的直線方程有：；(為參數(shù))要點(diǎn)二：兩條直線的位置關(guān)系1特殊情況下的兩直線平行與垂直 (1)當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為，互相平行；(2)當(dāng)一條直線的斜率不存在（傾斜角為），另一條直線的傾斜角為時(shí)，兩直線互相垂直。2斜率都存在時(shí)兩直線的平

3、行：（1）已知直線和，則=且（2）已知直線：和：，則。要點(diǎn)詮釋：對(duì)于一般式方程表示的直線的位置的判定，可以先將方程轉(zhuǎn)化為斜截式形式，再作判定。3斜率都存在時(shí)兩直線的垂直：（1）已知直線和，則 ；（2）已知直線：和：，則要點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式1點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)到直線的距離為：2兩平行線間的距離公式 已知兩條平行直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為。要點(diǎn)詮釋：一般在其中一條直線上隨意地取一點(diǎn)M，再求出點(diǎn)M到另一條直線的距離即可要點(diǎn)四：對(duì)稱問題1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題。設(shè)，對(duì)稱中心為，則P

4、關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為。2點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”。利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般情形如下：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，求出、。特殊地，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為。3兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見結(jié)論：（1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為；（2）點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為；（3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為；（4）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；（5）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為。 要點(diǎn)五：圓的方程求圓的方程通常果用待定系數(shù)法，若條件涉及圓心、半徑等，可設(shè)成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件涉及圓過一些定點(diǎn)，則可設(shè)成圓的一般方程運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)

5、可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑.要點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過原點(diǎn)：.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.2圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.要點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何

6、圖形(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.要點(diǎn)六：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點(diǎn)在圓上(2)若點(diǎn)在圓外(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)要點(diǎn)七：直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn).2.直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：(1)代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn)；有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相切；無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相離.(2)幾何法：設(shè)直線，圓，圓心到直線的距離記為，則:當(dāng)時(shí)，直線與圓C相

7、交；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相離.要點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理.(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決.要點(diǎn)八：圓與圓的位置關(guān)系1.圓與圓的位置關(guān)系：(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點(diǎn).2.

8、圓與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無解時(shí)，兩圓相離.(2)幾何法：圓與圓，兩圓圓心距，則：當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓外離；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.要點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法.要點(diǎn)九：求圓的切線方

9、程的常用方法：(1)直接法：應(yīng)用常見結(jié)論，直接寫出切線方程；(2)待定系數(shù)法：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，由題意列出方程(組)解得切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，寫出點(diǎn)斜式，最后將點(diǎn)斜式化為一般式；(3)定義法：根據(jù)直線方程的定義求出切線方程.常見圓的切線方程：過圓上一點(diǎn)的切線方程是；過圓上一點(diǎn)的切線方程是：.要點(diǎn)十：空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的求法：過該點(diǎn)作兩條軸所確定平面的平行平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo)確定簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo)是今后正確運(yùn)用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵，必須要熟練且正確地掌握空間直角坐標(biāo)系的建立與中點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法【典型例題】類型一：直線方程的綜合問題例1

10、已知A(-m-3，2)，B(-2m-4，4)，C(-m，m)，D(3，3m+2)，若直線ABCD，求m的值【思路點(diǎn)撥】?jī)芍本€垂直的前提條件是、均存在且不為零，這類問題應(yīng)分斜率存在和不存在兩種情況討論【答案】1或-1【解析】 A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不相等， AB與x軸不平行 ABCD， CD與x軸不垂直，-m3，m-3當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，-m-3-2m-4，解得m-1 而m-1時(shí)，C、D縱坐標(biāo)均為-1， CDx軸，此時(shí)ABCD，滿足題意。當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由斜率公式， ABCD， 即，解得m1 綜上，m的值為1或-1舉一反三：【變式1】已知：，求使的的值?！敬鸢浮炕颉窘馕觥拷夥ㄒ唬寒?dāng)直線斜率不存在

11、，即時(shí)，有，符合；直線斜率存在時(shí)，。故使的的值為或。解法二：由解得或，故使的的值為或。例2過點(diǎn)作直線，使其夾在兩直線，和之間的線段被M平分，求直線的方程?！舅悸伏c(diǎn)撥】求直線方程需兩個(gè)條件，現(xiàn)已知過，需再求出上的一個(gè)點(diǎn)或的斜率?！窘馕觥糠椒ㄒ唬涸O(shè), , .過M作MQ/l1交l2于Q點(diǎn)，則Q為PP2中點(diǎn)，由解得，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4），又MQ的方程為：y-1=(x-0)，即x-3y+3=0, 由 得，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P2坐標(biāo)為（4，0）， 由兩點(diǎn)式可得直線的方程為：即x+4y-4=0。方法二：由圖示可得的斜率存在，故設(shè)的方程為y=kx+1，由得P1點(diǎn)坐標(biāo)為（，），由可解得P2

12、點(diǎn)坐標(biāo)為（，），M（0，1）是P1P2的中點(diǎn)，+=0，解之得k=-，直線的方程為：，即x+4y-4=0.方法三：設(shè)P1坐標(biāo)為（m, n），由M（0，1）為P1P2中點(diǎn)， P2點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,2-n)，P1l1, P2l2. 有m-3n+10=0, 2m+n+6=0.由，解得，由兩點(diǎn)式可得方程：即x+4y-4=0?！究偨Y(jié)升華】?jī)蓚€(gè)條件確定直線，求直線方程可用直接法也可用待定系數(shù)法。熟練運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，靈活運(yùn)用直線方程形式，對(duì)簡(jiǎn)化解題過程是十分必要的。舉一反三：【變式1】直線與直線x=1相交于P點(diǎn)，與直線9x+3y-1=0相交于Q點(diǎn)，并且線段PQ的中點(diǎn)為（, 3），那么直線的斜率是（ ）（A）

13、（B） （C）-（D）-【答案】B【解析】設(shè)P（1，y1），由P，Q中點(diǎn)為（，3），故Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為-，代入9x+3y-1=0中得Q（-，），所以得P（1，），tanq=.例3求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程【思路點(diǎn)撥】求出交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的問題【答案】7x+y+220【解析】由得交點(diǎn)，取直線上點(diǎn)A(0，-2)設(shè)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有 解得故所求直線過點(diǎn)，所求直線方程為7x+y+220【總結(jié)升華】本題利用轉(zhuǎn)化思想，將對(duì)稱直線問題轉(zhuǎn)化成對(duì)稱點(diǎn)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化與化歸是最基本、最重要的思想方法之一，它無處不在舉一反三：【變式1】由點(diǎn)P（2，3）發(fā)出的光線射到直線上，反射后過

14、點(diǎn)Q（1，1），則反射光線所在直線的一般方程為_【答案】：【解析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則滿足條件解得， 由直線方程的兩點(diǎn)式可求得反射光線所在直線方程為，即類型二：圓的方程的綜合問題例4直線:被圓C:所截得的弦的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】在解決有關(guān)圓的一類問題時(shí)，應(yīng)先注意利用與圓有關(guān)的幾何性質(zhì)【解析】圓C方程化為，故圓心,半徑圓心到直線的距離：,由垂徑定理得弦長(zhǎng)。舉一反三：【變式1】直線被圓C:所截得的弦的中點(diǎn)是，求直線的方程?！敬鸢浮浚骸咀兪?】已知直線：和圓：.（1）時(shí)，證明與總相交。（2）取何值時(shí)，被截得弦長(zhǎng)最短，求此弦長(zhǎng)?！敬鸢浮浚海?）將直線整理成點(diǎn)斜式方程，則直線過定點(diǎn)，斜率為.將圓整理為標(biāo)

15、準(zhǔn)方程，則圓心，半徑.點(diǎn)在圓內(nèi)，故時(shí)，與總相交。（2）由，當(dāng)與垂直時(shí)，被截得弦長(zhǎng)最短，當(dāng)即時(shí)，弦長(zhǎng)最短，設(shè)弦端點(diǎn)為、，則，即最短弦長(zhǎng)為。類型三：直線與圓的方程的綜合問題例5 已知C：，點(diǎn)P(2，-1)，過點(diǎn)P作C的切線，切點(diǎn)為A、B(1)求切線PA、PB的方程；(2)求線段PA的長(zhǎng)；(3)求過A、B兩點(diǎn)的直線方程；(4)求弦AB的長(zhǎng) 【思路點(diǎn)撥】用切線的幾何特征、平面幾何知識(shí)解題【解析】(1)(2-1)2+(-1-2)2102， 點(diǎn)P(2，-1)在C外 由題意知過點(diǎn)P的切線的斜率存在 設(shè)所求圓的切線方程為y+1k(x-2)， 即 由圓心C(1，2)到切線的距離為半徑， 得，解得k7或k-1 故

16、所求切線方程為或(2)在RtAPC中，|PA|2|PC|2|AC|28，(3)以P為圓心，|AP|的長(zhǎng)為半徑的圓的方程為，線段AB為C與P的公共弦，由圓系方程知，公共弦AB所在的直線方程為(4)圓心C到弦AB的距離為，圓半徑，由平面幾何知識(shí)得【總結(jié)升華】用圓系方程求解過A、B兩點(diǎn)的直線方程的方法值得重視舉一反三：【變式1】已知直線過點(diǎn)P(2，4)，且與圓相切，求直線的方程 錯(cuò)解：，且，的方程為，即 錯(cuò)因分析：本題錯(cuò)誤的原因是誤把點(diǎn)P當(dāng)作切點(diǎn)求過定點(diǎn)的圓的切線方程，應(yīng)首先驗(yàn)證定點(diǎn)是否在圓上 正解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為x2，適合題意 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即， 直線與圓相切，解得， 直線的方程為 直線的方程為或類型四：空間直角坐標(biāo)系例6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是等腰直角三角形，且ABACa，AA12