拋物線的基本幾何特征

1、拋物線的基本幾何特征拋物線的基本幾何特征拋物線的基本幾何特征1.已知拋物線已知拋物線 ，它的開口，它的開口 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn) ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而減小，的增大而減小，當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大；的增大而增大； 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最有最 值，最小值為值，最小值為 ，而，而拋物線拋物線 它的開口它的開口 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn) ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸 ， 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最有最 值，最大值，最大值為值為 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大，當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?，?dāng) x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。 22xy22xy向上向上（

2、0，0）x=0小小000向下向下=0（0，0）x=0=0大大000 一般的，拋物線一般的，拋物線 的幾何特征：的幾何特征：時(shí)，拋物線的開口向下當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上當(dāng)0a0a2axy 頂點(diǎn)（頂點(diǎn)（0，0），對(duì)稱軸），對(duì)稱軸 x=0若若a0，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小，的增大而減小， 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大；的增大而增大；若若a 0，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大，的增大而增大， 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小的增大而減?。蝗羧鬭0，當(dāng)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最小值有最小值0；若若a0, 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)

3、y有最大值有最大值0（1）拋物線）拋物線 的開口的開口 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn) ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而減小，的增大而減小，當(dāng)當(dāng) x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大；當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?；?dāng)x 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y有最有最 值，最小值為值，最小值為 ，它是由，它是由 拋物線拋物線 向向 平移平移 個(gè)單位而得到個(gè)單位而得到.（2）拋物線）拋物線 的開口的開口 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn) ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大，的增大而增大， 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而減小；當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p小；當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y有最有最 值，最大值為值，最大值為 ，它是由拋物線

4、，它是由拋物線 向向 平移平移 個(gè)單位而得到個(gè)單位而得到.322 xy322xy向上向上（0，-3）x=0=0-3小小0022xy 22xy下下3向下向下（0，3）x=0=0大大300上上3 拋物線拋物線 的幾何特征：的幾何特征： 拋物線的開口方向拋物線的開口方向 拋物線的頂點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)（0，c），對(duì)稱軸），對(duì)稱軸 x=0 若若a0，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小，的增大而減小， 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大；的增大而增大； 若若a 0，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大，的增大而增大， 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小的增大而減

5、小caxy2時(shí)，拋物線的開口向下當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上當(dāng)0a0a 若若a0，當(dāng)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最小值有最小值c；若；若a0, 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最大值有最大值c. 它的圖像是由拋物線它的圖像是由拋物線 向向 （c0）平移平移 個(gè)單位；或者向個(gè)單位；或者向 （c0）平移）平移 個(gè)單位個(gè)單位 而得到而得到. 2axy 上上c下下c 拋物線拋物線 的開口的開口 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn) ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而減小，的增大而減小，當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大；當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?；?dāng)x 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y有最有最 值，最小值為值，最小值為 ，它是由

6、拋物線，它是由拋物線 向向 平移平移 個(gè)單位而得到個(gè)單位而得到. 拋物線拋物線 的開口的開口 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn) ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大，的增大而增大，當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而減??；當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p??；當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y有有 最最 值，最大值為值，最大值為 ，它是由拋物線，它是由拋物線 向向 平移平移 個(gè)單位而得到個(gè)單位而得到.2)3(2xy2)3(2xy向上向上（-3，0）x=-3=-3小小0-3-322xy 左左322xy向向下下（3，0）x=3=3大大0333右右 拋物線拋物線 的幾何特征：的幾何特征： 拋物線的開口的方向拋物線的開口的方向

7、頂點(diǎn)（頂點(diǎn)（m，0），對(duì)稱軸），對(duì)稱軸 x=m 若若a0，當(dāng)，當(dāng)xm時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小，的增大而減小， 當(dāng)當(dāng)x m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大；的增大而增大； 若若a 0，當(dāng)，當(dāng)xm時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大，的增大而增大， 當(dāng)當(dāng)x m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小的增大而減小2)(mxay時(shí)，拋物線的開口向下當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上當(dāng)0a0a 若若a0，當(dāng)，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最小值有最小值0； 若若a0, 當(dāng)當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最大值有最大值0. 它的圖像是由拋物線它的圖像是由拋物線 向向 （m0）平移）平移 個(gè)單位；個(gè)單位； 或者向

8、或者向 （m0）平移）平移 個(gè)單位而得個(gè)單位而得到到.2axy 右右m左左m 拋物線拋物線 的開口的開口 ，頂，頂點(diǎn)點(diǎn) ，對(duì)稱軸，對(duì)稱軸 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨隨著著x的增大而減小，當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p小，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的的增大而增大；當(dāng)增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最有最 值，值，最小值為最小值為 ，它是由拋物線，它是由拋物線 先向先向 平移平移 個(gè)單位，然后再向個(gè)單位，然后再向 平移平移 個(gè)單位而得到個(gè)單位而得到.1)3(22xy向上向上(-3,-1)X=-3-3-3=-3小小-122xy 左左3下下1 拋物線拋物線 的開口的開口 ，頂，頂點(diǎn)點(diǎn) ，對(duì)稱軸，對(duì)稱軸 ， 當(dāng)當(dāng)x

9、時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大而增大，當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?，?dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨著隨著x的增大的增大而減??；當(dāng)而減?。划?dāng)x 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最有最 值，最值，最大值為大值為 ，它是由拋物線，它是由拋物線 先向先向 平移平移 個(gè)單位，然后再向個(gè)單位，然后再向 平平移移 個(gè)個(gè) 單位而得到單位而得到.1) 3( 22xy22xy向下向下(3,1)X=333=3大大1右右3上上1 拋物線拋物線 的幾何特征：的幾何特征： 開口的方向開口的方向 頂點(diǎn)（頂點(diǎn)（m，n），對(duì)稱軸），對(duì)稱軸 x= m 若若a0，當(dāng)，當(dāng)xm時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減小，的增大而減小， 當(dāng)當(dāng)x m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大

10、；的增大而增大； 若若a 0，當(dāng)，當(dāng)xm時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而增大，的增大而增大， 當(dāng)當(dāng)xm時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y隨隨x的增大而減?。坏脑龃蠖鴾p?。籲mxay2)(時(shí)，拋物線的開口向下0a當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上0a當(dāng) 若若a0，當(dāng)，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最小值有最小值n；若；若a0, 當(dāng)當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y有最大值有最大值n. 它的圖像由它的圖像由 拋物拋物 線線 向向 （m0）平移平移 個(gè)單位或者向個(gè)單位或者向 （m0）平）平 移移 個(gè)單位；然后再個(gè)單位；然后再 向向 （n0）平）平移移 個(gè)單位或者向個(gè)單位或者向 （n0）平移）平移 個(gè)個(gè)單位而得到單位而得到.右右m左左2a

11、xy mn上上n下下二次函數(shù)的解析式1.已知函數(shù)已知函數(shù) 是關(guān)于是關(guān)于x的二次函的二次函數(shù)，求數(shù)，求k的值并寫出函數(shù)的解析式的值并寫出函數(shù)的解析式2.用一根長(zhǎng)為用一根長(zhǎng)為8m的木條，做成一個(gè)小長(zhǎng)方形的木條，做成一個(gè)小長(zhǎng)方形的窗框。若寬為的窗框。若寬為x m，窗戶面積為，窗戶面積為y ，求，求y與與x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式3.已知拋物線的頂點(diǎn)為（已知拋物線的頂點(diǎn)為（3，4），與），與y軸的交軸的交點(diǎn)為（點(diǎn)為（0，1）求拋物線的解析式）求拋物線的解析式. 1) 2(42kkxky2m（用定義）（用定義）（列方程法）（列方程法）（幾何特征法）（幾何特征法）4.已知拋物線已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A（

12、-1，0） B（3，0），求它的解析式），求它的解析式5.已知已知 拋物線拋物線 （a0）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)A（-2，3）、）、B（1，6）、）、C （4，3），），求它的求它的 解析式。解析式。6.已知拋物線已知拋物線 （a0）是由）是由拋物線拋物線 平移得到，而一元二平移得到，而一元二 次次 方程方程 （a0）的兩個(gè)根）的兩個(gè)根分別為分別為 -1，3 ，求拋物，求拋物 線的解析式線的解析式 cbxaxy202cbxaxcbxxy2cbxaxy22)3(2xy（待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）（小綜合）（小綜合）二次函數(shù)的解析式 求二次函數(shù)解析式的常用方法求二次函數(shù)解析式的常用方法（1 1）定義法）定義法（2 2）列方程法）列方程法（3 3）幾何特征法）幾何特征法（4 4）待定系數(shù)法）待定系數(shù)法（5 5）綜合應(yīng)用法）綜合應(yīng)用法如何求拋物線的頂點(diǎn)如何求拋物線的頂點(diǎn) 已已 知拋物線知拋物線 ，求則拋物線的，求則拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)已知拋物線已知拋物線y= -2（x+1）（）（x-3），求拋），求拋物線的頂點(diǎn)物線的頂點(diǎn). 已知拋物線經(jīng)過已知拋物線經(jīng)過A（-1，3）、）、B（3，3）、）、C（1，5）三點(diǎn)，求拋物線的頂點(diǎn)）三點(diǎn)，求拋物線的頂點(diǎn)