08 材料非線性問題

1、第八章 材料非線性問題前章討論的是幾何非線性問題，它是由結構變形的大位移引起的。本章將討論材料非線性問題。所謂材料非線性問題，指的是由于材料的本構關系是非線性的，從而使得用位移表達的平衡方程式(組)呈非線性形式。這種問題主要可分成二類，第一類是非線性彈性問題，此類問題中的材料從一開始應力應變關系就呈非線性關系，如橡皮、塑料、巖石等等。但非線性彈性問題中的變形過程是可逆的，即卸載后結構會恢復到加載前的位置。第二類是非線性彈塑性問題，當結構材料中的應力水平超過屈服極限以后，就會出現(xiàn)非線性性質(zhì)，各種結構的彈塑性分析就是這類問題。在加載過程中，彈塑性問題和非線性彈性 問題在本質(zhì)上是相同的，但其卸載過程

2、和前者是不同的，當外載去除后結構不能夠回復到加載前的位置，而存有殘余變形，即非線性的彈塑性問題是不可逆的。更進一步的研究，材料非線性問題還有粘彈性問題，粘塑性問題及非線性脆性材料問題等，本書將不予討論。隨著新型材料的發(fā)展應用，材料承載能力的進一步挖潛等，使的材料非線性問題的應力、變形分析，在工程上有著愈來愈重要的意義。例如塑料部件的應用、金屬的壓力加工、金屬部件的預應力處理等等，都必須進行準確的非線性彈性或彈塑性分析。由于材料非線性問題最后亦是歸結為求解一組非線性方程組的問題，因此上章所介紹的求解非線性問題的一般方法都完全適用于材料非線性問題。當然，根據(jù)具體問題的性質(zhì)，存有選擇哪一種方法更方便

3、，有效的問題。本章將分別介紹非線性彈性問題及彈塑性問題基本理論及具體求解方法，最后對雙重非線性問題(即材料非線性和幾何非線性的復合問題)作一般性的討論。§8-1 非線性彈性問題的求解方法純粹的材料非線性問題屬于小變形問題。前面章節(jié)所到的幾何關系式及單元的平衡條件仍然成立。即有 (8-1) (8-2)其中幾何關系式(8-1)是線性的，和位移無關。所以以應力形式表示的平衡條件式也是線性的。現(xiàn)引入物理方程，其一般形式為 (a)在材料非線性問題中，應力和應變的關系是非線性的，從而應力和位移的關系亦是非線性的，所以，以節(jié)點位移列陳表示的平衡方程已不再是線性的，其可寫成 (8-3)上式和式(7-

4、2)具有完全相同的形式，因此可用上章介紹的各種迭代方法來求解。現(xiàn)分別予以介紹。一、直接迭代法(割線剛度法)如果材料的應力應變關系能夠表示成如下形式 (8-4)于是，由(8-1)式，上式可以寫成 (b)將(b)式代入(8-2)式可很容易地得到(8-3)式，其中 (8-5)即為有限元系統(tǒng)的割線剛度矩陣，它是位移列陣的函數(shù)。直接利用直接迭代法求解(8-3)式，有 (8-6)從起多次利用上式迭代，直到滿足精度要求止，即得該非線性系統(tǒng)的解。采用直接迭代法的關鍵是獲得割線彈性矩陣及割線剛度矩陣，除非是少數(shù)簡單系統(tǒng)，一般情況下，這是很困難的。因此，這種方法實用較少。二、牛頓拉斐遜法(切線剛度法)如果材料的應

5、力應變關系能夠表示為增量形式 (8-7)就可以利用切線剛度法，式中是材料的切線彈性矩陣。將式(8-2)改寫成 (8-8)并對其微分，由于及均為定常量，因此有 (d)將(8-7)式代入上式，并考慮到(8-1)式，則 (d)式中 (8-9)即為系統(tǒng)的切線剛度矩陣。利用牛頓拉斐遜方法，則其迭代公式為 (8-10)式中 (e)為第n次近似解時，等效節(jié)點力和等效節(jié)點載荷的差，稱為失衡力。當失衡力在精度范圍內(nèi)時，則認為迭代收斂，獲得了方程式(8-8)的解。三、初應力法及初應變法對于一般非線性材料，其物理方程可以表示為 (8-11)上式可由具有初應力的線彈性物理方程代替，即 (8-12)式中，是線性彈性矩陣

6、，它是非線性材料在時的切線彈性矩陣。為使(8-11)式及(8-12)式所表示的應力相同，應隨的變化，隨時調(diào)整。比較上述二式，于是有 (f)圖8-1 初應力的含義引進假想的線性彈性應力，那末 (8-13)如圖8-1所示。把(8-12)式代入(8-2)式，有 (g)令 (h)則有 (8-14)式中 就是由線性彈性矩陣所定義的結構整體剛度矩陣。上式可以改寫成矩陣形式 (8-15)利用上式進行迭代運算，即可求得該非線性問題的解。通常，第一次近似解取為，即是線性彈性問題的解。由于在整個迭代過程中剛度矩陣保持不變，該法常稱為等剛度法。實際上，此法就是上章所述修正牛頓-拉斐遜方法。將(8-15)式中上式改寫

7、，可得 (i)注意到及(8-1)式和(h)式，有 (j)即 (8-16)這和修正的牛頓法迭代公式完全相同。圖8-2 初應力法迭代過程中單元應力的變化利用上述方法求解過程中單元中應力應變的變化如圖8-2所示，最后收斂于真解和。由圖中可以看出，如果將當作單元初應力，那末使用線性關系式(10-12)和使用非線性關系式(10-11)所得結果是一致的。因此，整個迭代過程相當于調(diào)整所有單元的初應力的過程。即為對應于n次初應力場的等效節(jié)點力。一旦調(diào)整到初應力值時，這個具有初應力場的線彈性解就是非線性彈性問題的解?；谶@種物理的解釋，此類方法又稱為初應力法，或是應力轉(zhuǎn)移法。在某些問題中，應力不能由應變明確確定

8、，而是相反，有 (8-17)這時，仍采用初應力法會遇到到困難，而采用“初應變”法則比較方便。仿照初應力法，設想用具有初應變的線彈性物理方程來代替(8-17)式表示的非線性物理方程： (8-18)式中為初應變。調(diào)整可以使二式得到相同的。比較二式，并令,于是有 (8-19)其意義如圖8-3。將(8-18)式代入(8-2)式，最后可得 (8-20)式中各符號具有初應力法中相同的意義。上式改寫成迭代公式為 (8-21)如果已知位移的第n次近似值，可以利用(8-1)式求出相應的應變。由及前一次的初應變，利用(8-8)式可得 (k)由(8-17)式可求得對應于的應變值，繼而求出新的初應力值 (l)如此迭代

9、多次，直到收斂。一般開始時取,即線彈性解為初始近似值。在迭代過程中單元內(nèi)應力應變的變化如圖8-4所示。 圖8-3 初應變的含義 圖8-4 初應變法迭代過程中單元應力的變化§8-2 塑性力學基礎在彈塑性小變形情況下，彈性力學中的平衡方程和幾何方程式仍然成立，但是其物理方程則不相同，取決于材料處于彈塑性時的機械性質(zhì)。本節(jié)將簡要介紹一些材料的塑性性質(zhì)及有限單元法中用到的，用于確定材料本構關系的塑性基礎理論。一、材料的彈塑性性質(zhì)簡單拉伸及薄壁筒扭轉(zhuǎn)實驗所得到的應力應變曲線是我們研究材料塑性性質(zhì)的基本資料。圖()是典型的炭鋼拉伸應力應變曲線。由實驗知道，當應力及應變從零開始，直到應力達到屈服極

10、限之前，屬彈性階段，即當去除外部載荷時，應力降到零點，其應變也可全部消除。并且此階段內(nèi)大部分應力和應變呈線性關系。當應力超過屈服極限后材料進入塑性階段。進入塑性階段后首先出現(xiàn)屈服平臺，此時，應力變化不大而應變有較大增長。如果此階段很長，可以簡化為如圖所示的曲線，在塑性階段，這一類型稱為理想彈塑性。過了屈服平臺之后，大多數(shù)材料要使變形繼續(xù)增加，則須進一步增大應力，即。此即所謂的強化現(xiàn)象或稱加工硬化。此時的應力應變關系呈非線性。 圖8-5 炭鋼的拉伸曲線 圖8-6 理想塑性曲線由實驗得知，當材料進入塑性階段后，其應力應變不再能夠沿原來的加載路徑卸載，而是沿著一條和彈性階段原點處斜率大致相同的直線變

11、化，此即所謂的彈性卸載。這樣，當應力降為零時，應變還殘留一部分不能恢復，稱為塑性應變；能夠恢復的那部分應變稱為彈性應變。當卸載后再次加載，應力應變沿和卸載路徑大致重合的曲線變化，在到達卸載前的應力水平時重新進入塑性階段。因此，彈塑性的應力應變之間并沒有一一對應的關系，其應變不僅依賴于當時的應力狀態(tài)，而且還取決于整個加載歷史。所以，在一般情況下，我們無法建立彈塑性狀態(tài)下最終應力狀態(tài)和應變狀態(tài)之間的全量關系，而只能建立反映加載路徑的應力應變間的增量關系。進而，在求解彈塑性材料非線性問題時，也要采用增量法以獲得和加載情況相符的真解。當然，如果整個受載過程是簡單加載或接近于簡單加載情況，即加載過程中，

12、任一點的各應力分量按同一參數(shù)單調(diào)增長，保證主應力方向不變，是可以建立起應力和應變間的全量關系的。其求解方法就和非線性彈性問題完全相同。不過，在實際工程問題中很難保證簡單加載，因此全量理論的應用受到很大限制，一般都是采用增量理論。二、屈服條件及強化規(guī)律材料在變形過程中，隨著變形的增加，總是要從彈性狀態(tài)，進入塑性狀態(tài)。在復雜應力狀態(tài)下，開始進入塑性狀態(tài)的界限被稱為屈服條件。一般情況下，屈服條件與所考慮的應力狀態(tài)有關，是個獨立的應力分量的函數(shù)，即該方程在應力空間中表示一個曲面，即為屈服面。當應力點在屈服面以內(nèi)，即F0時，材料處于彈性狀態(tài)；當應力點達到屈服面上，即時，材料開始進入塑性。經(jīng)過兩個多世紀的

13、研究，根據(jù)不同材料的特性，建立了一些相應的屈服準則。對于工程金屬材料，較為合適并便于應用的是屈雷斯卡(Tresca)及米賽斯(Mises)二種，其中又以米賽斯屈服準則更便于數(shù)學表達及處理。但這二個準則之間并無很大差別。米賽斯屈服準則認為：要使物體處于應力狀態(tài)中的點進入塑性狀態(tài)，則必須使單位體積的形狀改變能達到一定數(shù)值，且該數(shù)值和應力狀態(tài)無關。任意應力狀態(tài)的形狀改變能為 (a)而單向拉伸屈服時的形狀改變能為于是米賽斯屈服條件為 (8-22)它表示了主應力空間內(nèi)與三個坐標軸等傾的一個半徑為的圓柱面(圖8-7)。 圖8-8 新屈服應力和的關系 圖8-7 屈服面圖示如果定義等效應力(又稱應力強度)：

14、(c)或用一般應力表示 (d)則米賽斯屈服準則變?yōu)?(8-22a)為用矩陣表示，現(xiàn)引入應力偏量 (8-23)式中，為平均應力。等效應力又可用應力偏量表示為 (e)若記 (f)則有 (8-24)由式(c)、(d)和(e)可以看出，在單向應力狀態(tài)下，等效應力恰是單向應力。式(8-22)及(8-22a)僅給出材料從無初始應變的自然狀態(tài)加載時的屈服條件，即初始屈服條件。由拉伸實驗知，當材料進入塑性狀態(tài)后，若要繼續(xù)增大塑性應變，對應的應力水平一般要增大。這又表現(xiàn)為卸載后再加載，材料的屈服應力一般要增大。這種現(xiàn)象稱為應變強化。強化后的應力應變關系可用后繼屈服條件或稱為加載條件表示。拉伸時應有 (8-25)

15、式中,H反映了新的屈服應力和塑性應變總量間的關系，可由拉伸曲線求得(圖8-8)。顯然。在復雜應力狀態(tài)下，應變強化表現(xiàn)為主應力空間中屈服面的變化。和后繼屈服條件或加載條件對應，新的屈服面又稱為后繼屈服面或加載面。進入塑性狀態(tài)后的材料進一步發(fā)生塑性變形，或卸載后再加載重新進入塑性狀態(tài)，其應力必須達到后繼屈服面上，材料的強化規(guī)律大體可簡化為理想塑性(無強化)、隨動強化(屈服面的大小、形狀不變，僅作整體平動)、等向強化(屈服面僅作均勻擴大)及混合型幾種模式。實際材料的強化規(guī)律大體為隨動和等向強化的混合類型。對金屬構件，一般采用等向強化。復雜應力狀態(tài)下等向強化的屈服條件具有和(8-25)式完全相同的形式

16、，只是將其中的和變?yōu)橄鄳牡刃?shù)。即 (8-26)其中也完全采用單向拉伸實驗資料。當問題退化為一維狀況，(8-26)式和(8-25)式完全相同。上式寫定成增量形式 (8-26a)它表示了某一塑性狀態(tài)下等效應力增量和等效應變增量之間的數(shù)量關系。式中H就是強化階段曲線的斜率。對應于等效應力，等效應變定義為 (g)對于單向拉伸，等效應變恰等于。將上式各量全用相應增量代替，即可得等效應變增量。因塑性變形時不產(chǎn)生體積變化，故。于是等效的塑性應變增量為 (h)引進應變偏量 (8-27)式中為平均應變。塑性變形時，體積不變，平均應變。所以 (i)利用i式，等效塑性應變增量又可表示為 (j)若記 (k)則等

17、效塑性應變增量可寫成 (8-28)三、塑性流動法則及增量理論強化的屈服準則的增量形式給出了等效應力增量和等效塑性應變增量之間的數(shù)值關系。要進一步確定等效塑性應變增量的分量，則必須用到塑性流動法則。金屬一類的塑性材料，塑性應變增量是和屈服面相關聯(lián)的。理論和實驗的廣泛研究使卓克爾(Drucker)公設得到普遍承認。Drucker公設認為：對于穩(wěn)定材料，在材料上施加外力使之產(chǎn)生塑性變形時，外力必須做正功。由之可得二個重要推論：.加載面必須是外凸的；.塑性應變增量矢量垂直于主應力空間的屈服面(加載面)(詳細論證請參閱有關書籍)。這第二條推論被稱為正交流動法則。其用數(shù)學形式可表示為 (8-29)令 (l

18、)(8-29)式可寫為 (8-30)式中 為應力空間中加載面方程，為比例常數(shù)。對于一般金屬材料，采用等向強化的塑性準則，有 (m)將(m)式代入(k)式，并注意到(f)式，于是得到 (n)由于等式二邊的模應相等，于是有 (o)利用(8-14)式和(8-28)式從上式可得出由于加載過程中，應取正值，所以 (8-31)這樣，正交塑性流動法則最終化為 (8-32)現(xiàn)在我們可以推導出增量形式的彈塑性應力應變關系。在加載過程中，全應變增量可以分成彈性應變增量和塑性應變增量二部分 (p)而應力增量和彈性應變增量成正比，即 (8-33)式中 為彈性矩陣。將上式左乘，得 (q)注意到上式左端即等效應力增量，并

19、利用等向強化材料的Mises準則(8-26a)式及塑性流動法則(8-32)式，(q)式可以寫成 (r)由上式可以求出等效塑性應變增量和全應變增量的關系式： (8-34)將式(8-32)及(8-34)代入(8-33)式最后得到 (8-35)記 (8-36) (8-37)于是得到加載過程增量形式的彈塑性應力應變關系： (8-38)式中通常稱為彈塑性矩陣。對于理想塑性材料，只須將式(8-36)中H取零即可。卸載情況下，應力應變關系全部遵循直線關系，這時有 (8-39)其中即為線彈性矩陣。§8-3 彈塑性矩陣的表達式上節(jié)公式(8-37)及(8-38)是彈塑性矩陣的一般表達式。對于三維空間問題

20、，軸對稱問題和平面問題，可分別寫出矩陣顯式。一、三維空間問題的彈塑性矩陣對于空間問題，彈性矩陣為 (8-40)利用上式以及，容易看到 (a)其中 (b)為材料的剪切彈性模量。于是由(8-36)式并注意到 (c)容易寫出 (8-40)把式(8-40)及(8-41)代入(8-37)式，得到空間問題的彈塑性矩陣為 (8-42)式中 (d)二、軸對稱問題的彈塑性矩陣對于軸對稱問題，我們記 (e)在()式中劃去最后二行二列，可以得到軸對稱問題的彈塑性矩陣(8-43)式中 仍由(d)式確定，而等效應力 (f)三、平面問題彈塑性矩陣對于平面應力問題，應力增量和應變增量分別取為 (g)而彈性矩陣 (8-44)

21、等效應力 (h)由此得 (i)以上各式均可由三維問題推導公式簡化獲得。由(8-44)式和(i)式，有 (j)由于，不能將(j)式簡化成(a)式的形式。把(i)式及(j)式代入(8-36)式，得到(8-45)式中 (8-46)將(8-44)式及(8-45)式代入(8-37)式，整理得到平面問題的彈塑性矩陣:(8-47)式中 (k)對于平面應變問題，；在彈性階段，依照虎克定律，有現(xiàn)在彈塑性階段，可以取所以于是，等效應力 (8-48)利用上式及平面應變問題的彈性矩陣按上述步驟可以獲得平面應變問題的彈塑性矩陣。也可以由(8-47)直接獲得，只要將換成，換成(-)。§8- 小變形彈塑性問題的求

22、解方法如前所述，彈塑性問題中的應力應變狀態(tài)，不僅與材料的性質(zhì)有關，而且與加載歷史有關，其本構方程一般必須用增量形式表示，即有 (8-49)此外，材料進入屈服狀態(tài)后，卸載過程中遵循著和加載過程不同的應力應變關系，成為一個純線性問題，此時上式中的彈塑性矩陣應用純彈性矩陣代替。所以，對彈塑性問題，為達到線性化目的以進行數(shù)值求解，須采用逐步增加載荷的方法，即載荷增量法，也就是根據(jù)實際的加載情況，將總載荷分成適當數(shù)目的小載荷增量逐步求解。經(jīng)常是把結構不發(fā)生塑性變形的最大載荷作為第一個增量。具體計算時常采用增量切線剛度法、增量初應力法和增量初應變法。下面分別介紹。一、增量切線剛度法如果材料的塑性性質(zhì)可用(

23、8-49)的顯式表示，則可用增量切線剛度法。設在某個已知狀態(tài)下，結構承受積累載荷，相應的位移，應變及應力分別用、及來表示，并均為已知。在此基礎上作用載荷增量，使載荷達到新的積累水平，結構內(nèi)的應力、應變及位移也要 取得一個增量達到新的水平。利用通常的方法，可以求得單元剛度矩陣和總體剛度矩陣。對于尚處在彈性狀態(tài)下的單元，單元剛度矩陣應為 (8-50)而對于塑性狀態(tài)下的單元，單元剛度矩陣為 (8-51)其中彈塑性矩陣中的應力可取為當時已知應力。把所有的單元剛度矩陣按照通常的方法合成得到整體剛度矩陣，顯然它只和施加增量載荷前的應力水平有關，其物理意義就是前面提到的切線剛度矩陣。求解平衡方程組 (8-5

24、2)可得到新的位移，應變及應力水平：圖8-9 過渡區(qū)域應力增量折算 (8-53)如此不斷增加載荷重復上述計算，直到加完全部載荷為止。通常，在逐步加載過程中，塑性區(qū)域會不斷擴展。當增加載荷增量時，對加載前后均處于彈性區(qū)或塑性的單元，可以分別按式(1-50)或(1-51)來計算單元剛度矩陣。有些單元，加載前雖處于彈性區(qū)，但其和塑性區(qū)鄰近，在施加過程中進入塑性區(qū)域，由這些單元構成的區(qū)域稱為過渡區(qū)域。顯然，對于過渡區(qū)的單元，由于載荷增量施加過程中經(jīng)歷彈性和塑性二種狀態(tài)，所以簡單地用式(1-50)或(1-51)形成單元剛度矩陣會引起相當大的誤差。另外，卸載后再加載的單元也屬此種情況。如圖8-9所示，在載

25、荷增量施加前后，若簡單地認為應力從點變到點，顯然得到的應力增量會有過大偏差。正確的作法是由式(8-38)出發(fā)，利用下式計算應力增量： ()式中，是進入塑性狀態(tài)之前的那部分應變增量。若以等效應變表示單元應變，上式中系數(shù)可用下式近似計算 ()這里，為單元進入屈服狀態(tài)所需要的等效應變增量，則為這次載荷增量所引起的等效應變增量的估算值。當載荷增量充分小時，()式可近似寫成 ()由上式可以定義過渡區(qū)單元的加權彈塑性矩陣 (8-54)于是，過渡區(qū)單元或卸載后重新加載之單元的單元剛度矩陣應按下式形成 (8-55)為統(tǒng)一起見，對于不同區(qū)域內(nèi)單元均用上式計算，只是的取值不同，即 (8-56)在計算m時，的估計值

26、往往不夠精確，一般第一次是將過渡區(qū)按彈性區(qū)來處理。然后可以用得到的計算結果來修正，經(jīng)過 二三次迭代就可得到比較精確的結果。實踐證明，采用加權彈塑性矩陣后，即使每次載荷增量較大，加載過程中進入屈服的單元較多，也能獲得比較滿意的結果。另外必須注意，應力應變的增量關系，本來是以無限小的微分形式表示的，而現(xiàn)在用有限小的增量來近似。因此，計算過程會引入誤差，只有當載荷增量足夠小時才會得到較為精確的近似解。為改善解的精度，可采用§9-1中介紹的改進增量法，或是將增量法和迭代法聯(lián)用。綜上所述，增量切線剛度法的主要計算步驟如下： () 對結構施加全部載荷作彈性計算。() 求出單元等效應力之最大值；如

27、果(為結構材料的屈服應力)，則彈性計算結果即為問題的解。若是，則取，存貯由載荷作線性計算所得的應變，應力和位移等作為第一次載荷增量的結果，并以作為以后每次所載荷增量；為加載次數(shù)。當受力途徑較為復雜時，應根據(jù)真實路線確定初始步長，并在確定以后的載荷增量時考慮載荷的施加順序等。() 根據(jù)載荷增量估算各單元相應的等效應變增量，并由()式確定相應的m值。() 按各單元處于彈性區(qū)、塑性區(qū)或是過渡區(qū)的不同情況，分別計算單元剛度矩陣并組合成整體剛度矩陣。() 求解相應的平衡方程求得位移增量，進而計算出應變增量和等效應變增量，并依此修改和。重復修改m值二到三次。() 計算應力增量，并把應力增量、位移增量和應變

28、增量疊加到原有水平上去。輸出，此即為相應于某載荷水平的中間結果。() 重復步驟()()，直到加完全部載荷。() 作卸載計算，可得殘余位移、應變和應力。二、增量初應力法如果將材料的塑性性質(zhì)由初應力計入，而剛度仍取為，則可用“初應力”法(同§8-1)。此時，增量形式的應力-應變關系可以改寫為 (8-57)而 ()式中由式(8-36)給出。于是，線性化后有 (8-58) ()將§8-1中介紹的初應力法應用在某一載荷增量的施加過程中，有 (8-59)式中 ()就是線性彈性剛度矩陣。而 ()是由初應力轉(zhuǎn)化而得到的等效節(jié)點載荷，或稱矯正載荷。應當指出，在(8-59)式右端項中，是一個決

29、定于的量，而本身又是一個待定的量；因此，對每個載荷增量，必須通過迭代步驟求出位移增量和應變量。所以，增量初應力法實際上是增量法和迭代法聯(lián)合使用的混合法。更進一步地說，就是在每一個載荷增量內(nèi)利用修正的牛頓拉夫遜方法(等剛度法)來逐步修正初應力場，最終使其引起的初載荷(矯正載荷)與實際載荷共同形成的線性問題的解，就等于原非線性問題的解。第n+1級載荷增量內(nèi)的迭代公式是 (j=0,1,2,) (8-6)一般來說，如果已經(jīng)求得應變增量的第j次近似值，就可以根據(jù)當前的應力水平由(e)式和(g)式求出初應力和矯正載荷的第j次近似值和，再次利用方程(8-60)進行迭代求解。開始時可取。迭代過程應進行到二次結

30、果相差滿足精度時為止。這時將所得位移增量，應力和應變增量作為此次載荷增量的結果而疊加到當時的水平上去，然后再進行下一步加載，直到加完全部載荷。關于矯正載荷，在每一載荷增量中的每一次迭代時都應重新計算。顯然，處于彈性區(qū)的單元不會出現(xiàn)上述初應力，因而只需對處于塑性區(qū)的單元計算矯正載荷、而對于處于過渡的單元，初應力的計算不應計及全應變增量中進入屈服前的部分。如果載荷增量充分小，可由(c)式得到矯正載荷： (8-61)為統(tǒng)一起見，所有單元之矯正載荷均可用上式確定，此時之m應用(8-56)及(b)式確定。三、增量初應變法如果將材料的塑性性質(zhì)以初應變計入，而剛度矩陣仍取為，則可用“初應變法”求解。此時增量

31、形式的應力應變關系可以改寫為 (8-62)而 (h)由(8-27)式及(8-32)式，對等向強化材料，有 (8-63)此即相當于線彈性問題的初應變。為線性化目的，將上面二式中的無限小增量用有限增量代替，得 (8-64)這時，節(jié)點位移增量所應滿足的平衡方程是 (8-65)式中，仍是彈性計算中的剛度矩陣，而 (8-66)是由初應變轉(zhuǎn)化而得的等效節(jié)點載荷，即矯正載荷。由于矯正載荷決定于應力增量，而本身又是待定量，因此必須通過迭代求解(8-65)式。故而初應變增量法實際上是增量法和初應變法的聯(lián)合混合法。即在每個載荷增量內(nèi)使用修正的牛頓拉斐遜方法來逐步調(diào)整初應變場，最終使其引起的初載荷和實際載荷共同引起

32、的線性問題的解等同于原始非線性問題的解。第n+1級載荷增量內(nèi)的迭代公式為 (j=0,1,2,) (8-67)一般來講，如果已經(jīng)求得第j次迭代的近似值，就可以算出相應的和，再通過(8-66)式計算出作為下一次迭代的矯正載荷。在j=0時,可取。如此即可再次求解方程(8-65過程進行到相鄰兩次所決定的應力增量相差滿足精度為止。另外需要注意的是，對于彈性區(qū)單元，不會出現(xiàn)上述初應變：而對于過渡區(qū)單元，計算初應變時，顯然不應計入進入屈服前的應力增量，此時有 (8-68)計算矯正載荷的(8-66)式也要相應地修正。為統(tǒng)一起見，對不同區(qū)域單元，可按(8-56)將m取不同值，矯正載荷全用下式表示： (8-69)

33、式中即為由(8-7)式確定之彈塑性矩陣。四、三種方法的比較增量切線剛度法是在每次加載時調(diào)整剛度來求得近似解。因此，對于每個載荷增量，必須重新計算分解剛度矩陣，計算工作量是很大的。圖8-10 帶孔拉伸板(平面應力)對于增量初應力法和增量初應變法，每步加載使用的剛度矩陣均相同，就是線彈性剛度矩陣。所以，在計算開始時形成了剛度矩陣并進了三角形分解之后，每次計算中只要改變右端項進行回代就可以了。從而減輕了工作量。但由于每加載一次都要對初應力和初應變進行迭代，就產(chǎn)生了迭代是否收斂的問題?？梢宰C明，對于一般的強化材料，初應力法的迭代過程一定是收斂的；而對于初應變法，收斂的充分條件是3G/H<1。在計

34、算過程中，當塑性區(qū)域較大時，初應力法和初應變法的迭代收斂將很緩慢。特別是對應變強化程度較低的材料。針對這三種方法的特點，在實際計算時可以采用一些改進的辦法。例如把三種方法聯(lián)合使用，先用初應力或初應變法，在若干次載荷增量之后，收斂速度變得較慢，再改用切線剛度法以加速收斂。五、例子對受均布拉伸載荷作用下的帶孔平板進行分析9。圖(8-10a)示出了帶孔拉伸平板的形狀和它的簡單三角形部分網(wǎng)格。假設平板處于平面應力狀態(tài)，得到了理想塑性及應變硬化情況下的解。采用的是等向強化(理想塑性時H=0)的米賽斯屈服準則。圖8-10b)和c)示出了不同載荷水平下塑性區(qū)的擴展。 另外，計算證明，當載荷采用簡單加載形式施

35、加時，采用較大步長計算、應用初應力法可以得到較為滿意的結果。如本問題載荷一次施加時，得到的塑性區(qū)和最大應變量和用增量法得到的結果幾乎完全一樣(圖8-10d)，圖8-11)。§8-5 雙重非線性問題在上一章及本章前幾節(jié)分別討論了單純的幾何非線性及材料非線性問題。前者的非線性是由幾何關系引起的、而后者的非線性是由材料的性質(zhì)引起的。工程實際中，許多問題是根據(jù)其幾何特點，物理關系等用上述二種單一非線性問題來近似描述的。但也有一些問題的幾何非線性和材料性質(zhì)的非線性均不容忽視，這就是雙重非線性問題，本節(jié)將給予簡單討論。在描述雙重非線性問題時，要同時用到非線性本構方程和非線性的幾何方程。所以它具有材料非線性問題的特點，即可以與加載歷史無關，也可以與加載歷史有關；可以與時間有關，也可以與時間無關。雙重非線性問題又具有幾何非線性問題的特性：它可能是在實體中產(chǎn)生，也可能在板殼結構中產(chǎn)生：可以有穩(wěn)定性問題，也可以沒有穩(wěn)定性問題。但限于篇幅，本節(jié)只對與歷史無關的大變形非線性彈性的有限單元法及與歷史有關的大變形彈塑性有限單元法作一般性的討論，而且二者都只限于無穩(wěn)定性問題的三維連續(xù)體。圖8-11帶孔板應變硬化材料,最大應變(發(fā)生在首先屈服的點處)的變化。H/E=0.