勾股定理逆定理八種證明方法

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載證法 1作四個全等的直角三角形，把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D、E、F 在一條直線上（設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b ，斜邊長為 c. ）。過點 C 作 AC 的延長線交 DF于點 P. D、 E、F 在一條直線上，且 RtGEF RtEBD， EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180° 90°= 90 °又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個邊長為 c 的正方形。 ABC + CBE = 90° RtABC Rt

2、EBD， ABC = EBD. EBD + CBE = 90°即 CBD= 90°又 BDE = 90°， BCP = 90°，BC = BD = a. BDPC是一個邊長為 a 的正方形。同理， HPFG是一個邊長為 b 的正方形 .設(shè)多邊形 GHCBE的面積為S，則證法 2作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b（b>a） ，做一個邊長為 c 的正方形。斜邊長為 c. 再把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、C三點在一條直線上 . 過點 Q作 QPBC，交 AC于點 P. 過點 B 作 BMPQ，垂足為 M；再過點 F 作

3、FNPQ，垂足為 N. BCA = 90°， QPBC， MPC = 90°， BMPQ， BMP = 90°， BCPM是一個矩形，即 MBC = 90°。 QBM +MBA = QBA = 90°，ABC + MBA = MBC = 90°， ，又 BMP = 90°， BCA = 90°， BQ = BA = c ， RtBMQ RtBCA.同理可證 RtQNF RtAEF.即證法 3作兩個全等的直角三角形，同證法 2，再作一個邊長為 c 的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形 . 分別以 CF，AE為邊長做正

4、方形 FCJI 和 AEIG，EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J 在同一直線上，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載CJ=CF=a， CB=CD=c，CJB = CFD = 90°，RtCJB RtCFD ，同理， RtABG RtRtCJB RtCFD RtABG RtADEADE， ABG = BCJ， BCJ +CBJ= 90°， ABG +CBJ= 90°， ABC= 90°， G,B,I,J 在同一直線上，。證法4作三個邊長分別為a、b、c 的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過 C 作 C

5、LDE，交 AB于點 M，交 DE于點 L. AF = AC ，AB = AD，F(xiàn)AB = GAD，F(xiàn)AB GAD，F(xiàn)AB的面積等于，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形 ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形 ADEB的面積= 矩形 ADLM的面積 + 矩形 MLEB的面積 即證法5幾何原本中的證明 在歐幾里得的 幾何原本 一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè) ABC為一直角三角形，其中 A 為直角。從 A 點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。 此線把對邊上的正方形一分為二， 其面積分別與其余兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定

6、理如下： 如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（ SAS 定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積 （據(jù)輔助定理 3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設(shè) ABC 為一直角三角形，其直角為 CAB。其邊為 BC、AB、和 CA，依序繪成四方形 CBDE、BAGF和 ACIH。畫出過點 A 之 BD、CE的平行線 。此線將分別與 BC和 DE直角相交于 K、L。分別 連接 CF、AD

7、，形成兩個三角形 BCF、BDA。 CAB和 BAG都是直角，因此 C、A 和 G 都是線性對應(yīng)的，同理可證 B、A 和 H。 CBD和 FBA皆為直角，所以 ABD等于 FBC。因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以 ABD 必須相等于 FBC。因為 A 與 K 和 L 是線性對應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于 ABD。因為 C、A和 G有共同線性，所以正方形 BAGF必須二倍面積于 FBC。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF= AB&sup2；。同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC2；。把這兩個結(jié)果相加， AB2;+

8、 AC2; ; = BD ×BK + KL×KC。由于 BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD ×BC 由于 CBDE學(xué)習(xí)好資料歡迎下載是個正方形，因此 AB2;+ AC2;= BC2；。此證明是于歐幾里得幾何原本一書第 1.47 節(jié)所提出的證法 6（歐幾里得（ Euclid ）射影定理證法）如圖 1，RtABC中， ABC=90°， BD是斜邊 AC上的高通過證明三角形相似則有射影定理如下：（ BD）2;=AD·DC，（ AB）2;=AD·AC ，（ BC）2;=CD

9、3;AC。由公式 +得：（ AB）2;+ （BC）2;=AD·AC+CD·AC =（ AD+CD）· AC=（AC）2；，圖 1 即 （AB）2;+ （BC）2;= （AC）2，這就是勾股定理的結(jié)論。圖 1證法6在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形 ABDE是由 4 個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為 ab/2 ；中間懂得小正方形邊長為b-a ，則面積為（ b-a ） 2。于是便可得如下的式子：4×（ ab/2 ） +（ b-a ）2;=c2 ；化簡后便可得： a2;+b2;=c2;亦即：c=(a2;+b2;

10、)1/2勾股定理的別名勾股定理，是 幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”， 而且在高等數(shù)學(xué) 和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因為這樣，世界上幾個 文明古國 都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。 中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。 中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形， 較短的直角邊稱為 勾，另一直角邊稱為 股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。 在公元前 1000 多年，據(jù)記載，商高（約公元前 1120 年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩?！币虼?，勾股定理在中國又稱

11、“商高定理”。 在公元前 7 至 6 世紀(jì)一中國學(xué)者陳子， 曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾， 日高為股， 勾、股各乘并開方除之得邪至日。 在法國和比利時， 勾股定理又叫“驢橋定理”。 還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。 在陳子后一二百年， 希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)， 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”前任美國第二十屆總統(tǒng) 伽菲爾德 證明了勾股定理（ 1876 年 4 月 1 日）。1 周髀算經(jīng)，文物出版社， 1980 年 3 月， 據(jù)宋代嘉定六

12、年本影印，1-5 頁。2. 陳良佐：周髀算經(jīng)勾股定理的證明與 出入相補原理 的關(guān)系?？稘h學(xué)研究，1989 年第 7 卷第 1 期， 255-281 頁。3. 李國偉： 論周髀算經(jīng)“商高曰數(shù)之法出于圓方”章?？兜诙每茖W(xué)史研討會匯刊，臺灣， 1991 年 7 月， 227-234 頁。4. 李繼閔：商高定理辨證。刊於自然科學(xué)史研究， 1993 年第 12 卷第 1 期，29-41 頁。5. 曲安京： 商高、趙爽與 劉徽關(guān)於勾股定理的證明?？稊?shù)學(xué)傳播 20 卷，臺灣， 1996 年 9 月第 3 期， 20-27 頁證法 7學(xué)習(xí)好資料歡迎下載達(dá)芬奇的證法三張紙片其實是同一張紙， 把它撕開重新

13、拼湊之后， 中間那個“洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達(dá)式卻不再相同， 讓這兩個形式不同的表達(dá)式相等，就能得出一個新的關(guān)系式勾股定理， 所有勾股定理的 證明方法 都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的是勾股定理，那么容易知道 EBCF，又因為紙片的兩邊是對稱的， 所以能夠知道四邊形 ABOF和 CDEO都是正方形。然后需要知道的是角 A' 和角 D' 都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結(jié) AD，因為對稱的緣故，所以 BAD=FAD=CDA=EDA=45°，那么很明顯，圖三中角 A' 和角 D' 都是直角。證明：第一張中多邊形 ABCDEF的面

14、積 S1=S正方形 ABOF+S正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OF·OE第三張中多邊形 A'B'C'D'E'F'方形 B'C'E'F'+2C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因為 S1=S2的面積S2=S正所以 OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D' ·D'E'又因為 C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以 OF2+OE2=E'F'2因為 E'F'=EF所以