空間曲線的一般方程

1、空間曲線的一般方程例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.例例1 1 xoy平面上的曲線可看作是柱面平面上的曲線可看作是柱面 f(x,y)=0與平與平面面z=0的交線：的交線： 00),(zyxf例例3 3 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定

2、1tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) 例例 4 4 如果空間一點(diǎn)如果空間一點(diǎn)M在圓柱面在圓柱面222ayx 上以上以角速度角速度 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度v沿平行于沿平行于z軸的正方向上升（其中軸的正方向上升（其中 、v都是常數(shù)），那么點(diǎn)都是常數(shù)），那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做構(gòu)成的圖形叫做螺旋線螺旋線試建立其參數(shù)方程

3、試建立其參數(shù)方程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要性質(zhì)：螺旋線的重要性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 注：空間曲線的兩種方程形式并非一定可以互相轉(zhuǎn)化。注：空間曲線的兩種方程形式并非一定可以互相轉(zhuǎn)化。 （以下的做法并非總是行的通。）（以下的做法并非

4、總是行的通。）例：曲線例：曲線C 2222222byxazyx兩式相減兩式相減22baz 上方程組等價(jià)上方程組等價(jià) 22222bazbyx參數(shù)方程：參數(shù)方程： 22sincosbaztbytbx而而 tansincoszyx xyzyx122消去參數(shù)消去參數(shù) 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的投影柱面的投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影如圖

5、如圖:投影曲線的研究過(guò)程投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線,yoz面上的投影曲線面上的投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的投影曲線面上的投影曲線xoy例例5 5 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線

6、段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因?yàn)榍€在平面）因?yàn)榍€在平面 上，上，21 z例例6 求拋物面求拋物面xzy 22與平面與平面 02 zyx 的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程. 截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面例例7.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立體設(shè)一個(gè)立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx一個(gè)圓一個(gè)圓,面面上上的的投投影影為為所所求求立立體體