行列式的定義

1、 1n階行列式的定義 2行列式的性質(zhì)與計(jì)算 3 行列式與矩陣的逆 4 行列式的應(yīng)用（求矩陣的秩）1 二階與三階行列式二階與三階行列式提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22 a22a11x1+a12x2=b1a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 二元線性方程組與二階行列式 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= b1b2a12a22a11a21a12a22 x1=a11a21 b1

2、b2a11a21a12a22 x2=a11a21a12a22 我們用符號(hào) 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 這樣就有211222112122211aaaabaabx-= 211222112112112aaaaabbax-= 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 二元線性方程組與二階行列式 a11a21a12a22行列式中的相關(guān)術(shù)語 我們用 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 并稱它為二階行a11a21a12a22列式 行列式的元素、行、列、行標(biāo)、列標(biāo)、主對(duì)角線、副對(duì)角線 對(duì)角線法則 -a1

3、2a21=a11a22 二階行列式是主對(duì)角線上兩元素之積減去副對(duì)角線上二元素之積所得的差 例1 求解二元線性方程組 =+=-1212232121xxxx 解 由于 07) 4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D因此 271411=DDx 07)4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D 271411=DDx 372122-=-=DDx a11a21a12a22-a12a21=a11a22 為了便于記憶和計(jì)算 我們用符號(hào) 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13

4、a23a33 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 其中 方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解為DDx11=DDx22=DDx33= D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 三階行列式 D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23

5、a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31 我們用符號(hào) 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并稱它為三階行列式 行列式中的相關(guān)術(shù)語 對(duì)角線法則 行列式的元素、行、列、行標(biāo)、列標(biāo)、主對(duì)角線、副對(duì)角線 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-

6、a13a22a31三階行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 例2 計(jì)算三階行列式 1-2-3224-41-2D= 按對(duì)角線法則 有 解 =-4-6+32-4-8-24-(-4)2(-3)+(-4)(-2)4D=12(-2)+21(-3)-114-2(-2)(-2)=-14 采用先選定百位數(shù) 再選定十位數(shù) 最后選定個(gè)位數(shù)的步驟 全排列及其逆序數(shù) 引例 用1、2、3三個(gè)數(shù)字 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解 百位數(shù)有3種選法 十位數(shù)有2種選法 個(gè)位數(shù)有1種選法 因?yàn)?21=6 所以可以組成6個(gè)沒有重

7、復(fù)數(shù)字的三位數(shù)321 這6個(gè)三位數(shù)是123132231213312 我們把n個(gè)不同的對(duì)象(稱為元素)排成一列 叫做這n個(gè)元素的全排列(也簡稱排列) 全排列 n個(gè)不同元素的所有排列的總數(shù) 通常用Pn表示 Pn的計(jì)算公式 Pn=n(n-1)(n-2) 321=n! 在一個(gè)排列中 如果某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同 就說有1個(gè)逆序 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)排列 在n個(gè)自然數(shù)的全排列中排列123 n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列 逆序與逆序數(shù) 逆序數(shù)的計(jì)算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti個(gè)大于pi的數(shù) 就說元素pi的逆序數(shù)是ti 排列的逆序數(shù)為t=t1+t2+ +tn

8、奇排列與偶排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列 n 階行列式的定義一、二階行列式和三階行列式的結(jié)構(gòu) 二、n階行列式的定義 三、幾種特殊的行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31a11a21a12a22=a11a22-a12a21一、二階行列式和三階行列式的共同結(jié)構(gòu)一、二階行列式和三階行列式的共同結(jié)構(gòu) (1)行列式右邊任一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)外可以寫成例如三階行列式的結(jié)構(gòu)可歸納如下： 321321pppaaa 其中p1 p2 p3是1、2、3的某個(gè)排列 (2)各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為(-

9、1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù)（3）總共有P3=3!項(xiàng)，即項(xiàng)數(shù)等于1、2、3三個(gè)數(shù)構(gòu)成的排列總數(shù)。 三階行列式可以寫成 -=321321333231232221131211) 1(ppptaaaaaaaaaaaa 其中t為排列p1 p2 p3的逆序數(shù) 表示對(duì)1、2、3三個(gè)數(shù)的所有排列p1 p2 p3取和 二、二、n階行列式的定義階行列式的定義 特別規(guī)定一階行列式|a|的值就是a 由矩陣A= (aij) 中的n2個(gè)數(shù)aij (i j=1 2 n)構(gòu)成的代數(shù)和 -nnppptaaa ) 1(2121 稱為n階行列式 記為nnnnnnaaaaaaaaaD = 212222111211 簡記為det

10、(aij) 其中p1p2 pn為自然數(shù)1 2 n的一個(gè)排列 t為這個(gè)排列的逆序數(shù) 表示對(duì)所有排列p1p2 pn取和 在n階行列式D中 數(shù)aij為行列式D的(i j)元 注：注：（1）n階行列式是所有取自不同行、不同列的n個(gè)數(shù)的乘積 的代數(shù)和。其中 構(gòu)成一個(gè)n級(jí)排列，當(dāng) 為偶排列時(shí)， 取正號(hào)，當(dāng) 為奇排列時(shí)， 取負(fù)號(hào)。共有n!項(xiàng)。(2)4階及4階以上的行列式無對(duì)角線法則可言。 nnpppaaa.2121nppp.21nnpppaaa.2121nppp.21nppp.21nnpppaaa.2121三、幾種特殊的行列式三、幾種特殊的行列式 1.對(duì)角行列式對(duì)角行列式(1)主對(duì)角行列式 n.21321=

11、 證明：若記i=ai n-i+1 則依行列式定義 =(-1)ta1na2 n-1 an1其中t為排列n(n-1) 21的逆序數(shù) 故 t=0+1+2+ +(n-1) 2) 1( -=nn nnnnD ) 1( 212) 1(21 -=- 11, 21 nnnaaaD=- nnnD ) 1(212) 1( -=- 因此 =(-1)t12 n (2)次對(duì)角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD 0 0 00 002211321333231222111 = = （1）下三角行列式 證明： 因?yàn)樗牧袠?biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列 其逆序數(shù)為0 所以在它前面帶有正號(hào) 要使取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積不為

12、零第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 這樣的乘積項(xiàng)只有一個(gè) 即a11a22a33 ann因此D=a11a22a33 ann2.三角行列式三角行列式（2）上三角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa.000.00.0.2211333223221131211=（3） 次下三角行列式1 ,1, 2, 12) 1(,1,1 , 21, 2, 1.) 1(.00.0nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa-=（4） 次上三角行列式1 ,1, 2, 12) 1(1 ,1, 221, 11, 111.) 1(00.0.nnnnnnnnnaaaaaaaa

13、a-=nnnnnnaaaaaaaaaD =212222111211jiijaa =jiijaa-=若若則稱D為對(duì)稱行列式則稱D為反對(duì)稱行列式.定義：設(shè)3.對(duì)稱行列式與反對(duì)稱行列式對(duì)稱行列式與反對(duì)稱行列式 例1 在6階行列式det(aij)中 元素乘積a15a23a32a44a51a66前應(yīng)取什么符號(hào)? 解 列標(biāo)排列532416 它的逆序數(shù)為t=0+1+2+1+4+0=8 它是偶排列 所以在該乘積項(xiàng)的前面應(yīng)取正號(hào) 補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 例2 用行列式定義計(jì)算行列式 1100001001011010=D 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14

14、 第2列只能取a32 四個(gè)元素的乘積為a21a43a14a32 即a14a21a32a43其列標(biāo)排列為4123 它的逆序數(shù)為3 是奇排列 所以D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1 解 排列的對(duì)換 在排列中 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào) 其余的元素不動(dòng) 就得到另一個(gè)排列 這種對(duì)排列的變換方法稱為對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換 叫做相鄰對(duì)換v對(duì)換舉例 在排列21354中 對(duì)換1與4 排列21354的逆序數(shù)是2 經(jīng)過對(duì)換 排列的奇偶性發(fā)生了變化得到的排列是24351 排列24351的逆序數(shù)是5 v性質(zhì)1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換 排列改變奇偶性其中t為行標(biāo)排列p1p2 pn的

15、逆序數(shù) n階行列式也可定義為v定義1的等價(jià)定義 -nppptnaaa ) 1(2121 v性質(zhì)2 在行列式的每項(xiàng)乘積中交換兩元素的位置，行標(biāo)和列標(biāo)同時(shí)變換，行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和保持奇偶性。v定義定義1的另一個(gè)等價(jià)定義的另一個(gè)等價(jià)定義n階行列式也可定義為的逆序數(shù)。為排列的逆序數(shù)為排列級(jí)排列。均為與其中nnnnqpqpqpstqqqsppptnqqqpppaaann.,.) 1(212121212211+-二、行列式按行二、行列式按行(列列)展開展開一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展開法則展開法則（1）、余子式與代數(shù)余子式 在n n階行列式D=

16、=det(aij)中中 把元素把元素aij所在的第i i行和第j j列劃去后 剩下來的n n- -1 1階行列式叫做元素aij的余子式 記作Mij 記 Aij= =(- -1)i+ + jMij Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 55453525155444342414534333231352423222125141312111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD= 5545351554443414524232125141311123aaaaaaaaaaaaaaaaM= A23= =(- -1)2+ +3M23=-=-M23 例如 已知 則a23的余子式和代數(shù)余子式為 v引理 在在n n階行列式階行列式D D中中 如果第如果第i i行元素除行元素除aij外都為零外都為零 那那么這行列式等于么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式與它的代數(shù)余子式Aij的乘積的乘積 即即D D= =aij Aij（2）、行列式按行行列式按行( (列列) )展開法則展開法則v定理1(行列式按行(列)展開法則)