上學(xué)期高一同步優(yōu)化訓(xùn)練數(shù)學(xué)：第二章函數(shù)2A卷附答案

1、第二章函數(shù)(二)二、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)范題精講一、指數(shù)及對數(shù)運(yùn)算【例1】 (1)已知=3,求的值；(2)已知lg(x+y)+lg(2x+3y)lg3=lg4+lgx+lgy,求的值.(1)分析:由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)可求得和x2+x2的值.解:=3，=333×3=18.x2+x2=(x+x1)22=(222=(322)22=47.原式=.(2)分析:注意x、y的取值范圍，去掉對數(shù)符號，找到x、y的關(guān)系式.解:由題意可得x>0,y>0,由對數(shù)運(yùn)算法則得lg(x+y)(2x+3y)=lg(12xy),則(x+y)(2x+3y)=12xy.(2xy)(x3y)=0,即2x

2、=y或x=3y.故或=3.評注:條件代數(shù)式的求值問題包括以下三個(gè)方面:(1)若條件簡單,結(jié)論復(fù)雜,可從化簡結(jié)論入手用上條件;(2)若條件復(fù)雜,結(jié)論簡單,可從化簡條件入手,轉(zhuǎn)化成結(jié)論的形式;(3)若條件與結(jié)論的復(fù)雜程度相差無幾時(shí),可同時(shí)對它們進(jìn)行化簡,直到找出它們之間的聯(lián)系為止.對于齊次方程的化簡,也可在方程兩邊同除以某一齊次項(xiàng),把方程轉(zhuǎn)化成要求的代數(shù)式為未知數(shù)的方程的形式.二、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用【例2】 已知函數(shù)y= (a2x)·loga2()(2x4)的最大值為0，最小值為，求a的值.解:y= (a2x)·loga2()=loga(a2x)loga(ax)=(2

3、+logax)(1+logax)=(logax+)2,2x4且y0,logax+=0,即x=時(shí)，ymin=.x2>1,>10<a<1.又y的最大值為0時(shí)，logax+2=0或logax+1=0,即x=或x=.=4或=2.又0<a<1,a=.評注:(1)若不注意發(fā)現(xiàn)隱含條件"0<a<1"則會(huì)造成不必要的分類討論.(2)在最值問題中以二次函數(shù)為內(nèi)容的最值最常見，而且許多表面上非二次函數(shù)最值問題通過適當(dāng)變形都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值.三、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【例3】 已知a0，且a1，函數(shù)y=ax與y=loga(x)的圖象只能

4、是下圖中的解法一:首先，曲線y=ax只可能在上半平面，y=loga(x)只可能在左半平面上，從而排除A、C.其次，從單調(diào)性著眼,y=ax與y=loga(x)的增減性正好相反，又可排除D.應(yīng)選B.解法二:若0a1，則曲線y=ax下降且過點(diǎn)(0,1)，而曲線y=loga(x)上升且過(1，0),以上圖象均不符合這些條件.若a1，則曲線y=ax上升且過點(diǎn)(0，1)，而曲線y=loga(x)下降且過(1，0)，只有B滿足條件.解法三:如果注意到y(tǒng)=loga(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax，又y=logax與y=ax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱)，則可直接選定B.評注:要養(yǎng)成從多角度

5、分析問題，解決問題的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的靈活性.四、函數(shù)應(yīng)用舉例【例4】 某企業(yè)實(shí)行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純利潤1萬元，據(jù)評估在生產(chǎn)條件不變的條件下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)收0.01萬元，但每年需付給下崗工人0.4萬元生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)行所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設(shè)該企業(yè)裁員x人后純收益為y萬元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍;(2)當(dāng)140<a280時(shí)，問該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益.(注：在保證能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁)解:(1)由題意可得y=(ax)(1+0.01x)0.4x=x2+()x+

6、a.axax,即x的取值范圍是(0, 中的自然數(shù).(2)y=x(70)2+ (70)2+a且140<a280,70(0,.當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，x=70,y取最大值;當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，x=70或x=70.盡可能少裁人，x=70.評注:應(yīng)用題的解題過程:試題詳解高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練(九)第二章函數(shù)(二)(A卷)說明：本試卷分為第、卷兩部分，共100分，考試時(shí)間90分鐘.第卷(選擇題共30分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.已知集合A=y|y=log2x,x1,B=y|y=()x,x1,則AB等于A.y|0yB.y|0y1C.y|y1D. 解析:y=log2x,x1,y0,即A=

7、y|y0.又y=()x,x1,0y,即B=y|0y.AB=y|y0y|0y=y|0y.答案:A2.函數(shù)y=(x26x+17)的值域是A.RB.8，+)C.(,3)D.3,+)解析:y=(x3)2+88=3.答案:C3.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是當(dāng)a0時(shí)，=a3=|a|函數(shù)y=(3x7)0的定義域是(2, +)若100a=5,10b=2,則2a+b=1A.0B.1C.2D.3解析:取a=2，可驗(yàn)證不正確；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不正確；y=(3x7)0的定義域應(yīng)是2，(，+);由100a=5,得102a=5.(1) 又10b=2, (2)(1)×(2)得102a+b=10.2a+b=1,此命題正確.

8、答案:B4.函數(shù)y=的定義域是A.(1，2B.(1，2)C.(2，+)D.(,2)解析:由題意得1x2.答案:B5.設(shè)有兩個(gè)命題:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對于一切xR恒成立，函數(shù)f(x)=(52a)x是減函數(shù)，若此二命題有且只有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的范圍是A.(2,2)B.(,2)C.(,2)D.(,2解析:等價(jià)于=(2a)216<02<a<2.等價(jià)于52a>1a<2.有且只有一個(gè)為真，a(,2).答案:C6.二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是解析:由y=()x的圖象知01,0,即二次函數(shù)y=ax2+bx的對稱軸在到0之間

9、.答案:A7.已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為f1(x)=2x+1,則f(1)等于A.0B.1C.1D.4解析:令f(1)=x,則f1(x)=1,令2x+1=1,x=1.答案:C8.若定義在區(qū)間(1，0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0,則a的取值范圍是A.(0,)B.(0, C.( ,+)D.(0,+)解析:f(x)=log2a(x+1)>0=log2a1.x(1,0),0x+1<1.0<2a<1,即0<a<.答案:A9.右圖是指數(shù)函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象,則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是A.ab1cdB.

10、ba1dcC.1abcdD.ab1dc解析:因?yàn)槿魏蔚讛?shù)的一次冪都是底數(shù)本身,所以,可作直線x=1,它同各個(gè)圖象相交,交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是各指數(shù)函數(shù)的底數(shù).答案:B10.設(shè)lg2=a,lg3=b,則log512等于A.B.C.D.解析:log512=.答案:C第卷(非選擇題共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11.方程=3的解是_.解析:由=3得3·32x+2·3x1=0.3x=或3x=1(舍).x=1.答案:112.1992年底世界人口達(dá)到54.8億,若人口的年平均增長率為1%,經(jīng)過x年后世界人口數(shù)為 y億,則y與x的函數(shù)解析式為_.解析:1992年底

11、世界人口為54.8億.1年后的人口數(shù)為y1=54.8+54.8×1%=54.8×(1+1%);2年后的人口數(shù)為y2=54.8×(1+1%)+54.8×(1+1%)×1%=54.8×(1+1%)2;3年后的人口數(shù)為y3=54.8×(1+1%)3;x年后的人口數(shù)為y=54.8×(1+1%)x.答案:y=54.8×(1+1%)x13.若不等式3x22ax>()x+1對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.解析:由題意知x22ax>x1恒成立,即x2(2a1)x+1>0恒成立.故=(2a1)

12、24<0.答案:14.關(guān)于x的方程7x+17x·aa5=0有負(fù)根，則a的取值范圍是_.解法一:由7x+17x·aa5=0得a=7，x0，17x+12.612.5a1.解法二:由7x+17x·aa5=0得7x=.x0,07x1.01.解得5a1.答案:5a1三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500 g,按每年10%衰減.(1)求t年后,這種放射性元素質(zhì)量的表達(dá)式;(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫做半衰期).(精確到0

13、.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解:(1)最初的質(zhì)量為500 g.經(jīng)過1年后,=500(110%)=500×0.91;經(jīng)過2年后,=500×0.9(110%)=500×0.92;由此推知,t年后,=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t=250,0.9t=0.5,lg0.9t=lg0.5,tlg0.9=lg0.5,t=6.6(年),即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.16.(本小題滿分10分)甲、乙兩人解關(guān)于x的方程:log2x+b+clogx2=0,甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到根、；乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到根、64.求這個(gè)

14、方程真正的根.解:原方程可變形為log22x+blog2x+c=0.由于甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為和，c=log2·log2=6.由于乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,得到的根為和64,b=(log2+log264)=5.故原方程為log22x5log2x+6=0.因式分解得(log2x2)(log2x3)=0.log2x=2或log2x=3，即x=4或x=8.17.(本小題滿分12分)試討論函數(shù)f(x)=loga(a0且a1)在(1,+)上的單調(diào)性,并予以證明.分析:本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法,判定的法則是同增異減,判定的關(guān)鍵是分清函數(shù)的復(fù)合過程.解:設(shè)u=,任取x2x11,則u2u1=.x1

15、1,x21,x110,x210.又x1x2,x1x20.0,即u2u1.當(dāng)a1時(shí),y=logax是增函數(shù),logau2logau1,即f(x2)f(x1);當(dāng)0a1時(shí),y=logax是減函數(shù),logau2logau1,即f(x2)f(x1).綜上可知,當(dāng)a1時(shí),f(x)=loga在(1,+)上為減函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),f(x)=loga在(1,+)上為增函數(shù).18.(本小題滿分12分)設(shè)f(x)=lg，且當(dāng)x(,1時(shí)f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:欲使x(,1時(shí)，f(x)有意義，需1+2x+4xa0恒成立，也就是a ()x+()x(x1)恒成立.u(x)=()x+()x在(,1上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，u(x)max=.于是可知，當(dāng)a時(shí)，滿足題意,即a的取值范圍為(，+).19.(本小題滿分12分)某種細(xì)菌每隔兩小時(shí)分裂一次(每一個(gè)細(xì)菌分裂成兩個(gè)，分裂所需時(shí)間忽略