中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題專題講解

1、中考動(dòng)點(diǎn)專題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過(guò)“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過(guò)程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觀察圖形的變化情況，需要

2、理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來(lái)各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對(duì)策，把握方向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)

3、學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)專題一：建立動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們?cè)鯓咏⑦@種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年·上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,PHOA,

4、垂足為H,OPH的重心為G.(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段GO、GP、GH中,有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線段?如果有,請(qǐng)指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長(zhǎng)度.(2)設(shè)PH,GP,求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長(zhǎng).解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長(zhǎng)度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時(shí),解得. 經(jīng)檢驗(yàn), 是原方

5、程的根,且符合題意.GP=GH時(shí), ,解得. 經(jīng)檢驗(yàn), 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時(shí),.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長(zhǎng)為或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式 例2（2006年·山東）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng).設(shè)BD=CE=. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說(shuō)明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=

6、75°, ABD=ACE=105°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當(dāng)時(shí),函數(shù)解析式成立.例3(2005年·上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 點(diǎn)O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn)D,交線段OC于點(diǎn)E.作EPED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線

7、CB于點(diǎn)F.PDEACB3(2)OF(1)求證: ADEAEP.(2)設(shè)OA=,AP=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出它的定義域. (3)當(dāng)BF=1時(shí),求線段AP的長(zhǎng).解:(1)連結(jié)OD.根據(jù)題意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90°, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)當(dāng)BF=1時(shí)， 若EP交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖3(1)，則CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC

8、. FBP=DEP=90°, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2), 則CF=2.類似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述, 當(dāng)BF=1時(shí),線段AP的長(zhǎng)為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式ABCO圖8H例4（2004年·上海）如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=,AOC的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長(zhǎng)為半徑作圓O,

9、求當(dāng)O與A相切時(shí),AOC的面積.解:(1)過(guò)點(diǎn)A作AHBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當(dāng)O與A外切時(shí),在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時(shí),AOC的面積=.當(dāng)O與A內(nèi)切時(shí),在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時(shí),AOC的面積=.綜上所述,當(dāng)O與A相切時(shí),AOC的面積為或.專題二：動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問(wèn)題背景是特殊圖形，考查問(wèn)題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過(guò)程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究

10、運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問(wèn)題的常見(jiàn)題型作簡(jiǎn)單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題 （一）點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題1（09年徐匯區(qū)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，分別交邊于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)； （2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑的和以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑的相切時(shí)，求的長(zhǎng)； （3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時(shí)，求的長(zhǎng) 題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問(wèn)題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滲透入圓與圓的位置關(guān)系

11、(相切問(wèn)題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問(wèn)題)的存在性的研究形成了第三小題區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來(lái)求解區(qū)分度性小題處理手法1直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程2圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相切問(wèn)題)的處理方法：利用d=R±r()建立方程3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的方法， 相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當(dāng)和相切時(shí)，的長(zhǎng)為或（3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時(shí)，（二）線動(dòng)問(wèn)題在矩形ABCD中，

12、AB3，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，直線l過(guò)點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)B，把ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中心A重合，求BC的長(zhǎng)；ABCDEOlA(2)若直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AOAC，設(shè)AD的長(zhǎng)為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓與直線l相切，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)ABCDEOlF本題以矩形為背景,結(jié)合軸對(duì)稱、相似、三角等相關(guān)知識(shí)編制得到第一小題考核了學(xué)生軸對(duì)稱、矩形、勾股定理三小塊知識(shí)內(nèi)容；當(dāng)直線沿AB邊向上平移時(shí)，探求面積函數(shù)解析式

13、為區(qū)分測(cè)量點(diǎn)一、加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問(wèn)題)的存在性的研究形成了區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)二區(qū)分度性小題處理手法1找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法2直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解(1)A是矩形ABCD的對(duì)稱中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圓A與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切（三）面動(dòng)問(wèn)題 如圖，在中，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；（3）設(shè)，與正

14、方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng) 題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問(wèn)題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形整體動(dòng)起來(lái)，GF邊落在BC邊上時(shí)，恰好和教材中的例題對(duì)應(yīng)，可以說(shuō)是相似三角形對(duì)應(yīng)的小高比大高=對(duì)應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來(lái)設(shè)置區(qū)分測(cè)量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來(lái)設(shè)置區(qū)分測(cè)量點(diǎn)二 區(qū)分度性小題處理手法1找到三角形與正方形的重

15、疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1）.（2）令此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為，則，解得.（3）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， . （4）.類題 改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí)”,去掉，同時(shí)加到第（3）題中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30º，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點(diǎn)M、N （

16、1）求證：BDMCEN； （2）設(shè)BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí),是否存在點(diǎn)D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請(qǐng)求出x的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例1：已知O的弦AB的長(zhǎng)等于O的半徑，點(diǎn)C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點(diǎn)C的變化是否影響ACB的大小的變化呢?我們不妨將點(diǎn)C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，ACB所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角

17、，連結(jié)AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=AOB=300，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，ACB所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=1500，因此，本題的答案有兩個(gè)，分別為300或1500.反思：本題通過(guò)點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類討論。這樣由點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求C的大小.本題與

18、例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB中,則,即,從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，C所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，C所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：C=1200，因此或C=1200.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷AOB的大小是否會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=

19、OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則AOB=600，即AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EHOE=，當(dāng)ABCD時(shí)，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對(duì)于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長(zhǎng)的變化范圍.變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，另一個(gè)頂點(diǎn)C在半圓上，問(wèn)怎樣截取才能使截出的三角形的

20、面積最大？要求說(shuō)明理由（廣州市2000年考題） 分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，連結(jié)CO，由于CDCO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時(shí)，即C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個(gè)位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形 ABC1的面積=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,則三角形 ABC1的面積=AB×C1D<AB

21、×C1O=三角形 ABC的面積,因此,對(duì)于除點(diǎn)C外的任意點(diǎn)C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長(zhǎng)何時(shí)最大的問(wèn)題。提示：利用周長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長(zhǎng)最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ABC的面積，因此ABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，從而ABC的周長(zhǎng)最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的常見(jiàn)方法有:一、 特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第1

22、1題）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點(diǎn)P為O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交O2于點(diǎn)C，PB切O2于點(diǎn)B，則的值為（A） （B） （C） （D）分析：本題是一道選擇題，給出四個(gè)答案有且只有一個(gè)是正確的，因此可以取一個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足PBAB時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計(jì)算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個(gè)特殊情況，還要進(jìn)一步證明對(duì)一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直

23、角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無(wú)限接近時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C無(wú)限接近，此時(shí)EOF無(wú)限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直

24、角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，則OEAOFC，則OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，則EOF為直角，故EOF為等腰直角三角形。二、 動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4（2003年廣州市中考試題）在O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB (C) AC+CB>AD+DB (D)

25、AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過(guò)動(dòng)手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長(zhǎng)度，可以嘗試換幾個(gè)位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過(guò)兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長(zhǎng)CA和CD與大圓分別交于點(diǎn)B、E，則下列結(jié)論中正確的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不確定分析：本題可以通過(guò)度量的方法進(jìn)行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OEOD<DE,即OBOA<DE,因此,即三、 建立聯(lián)系，計(jì)算說(shuō)明例6：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM

26、=1，N為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為 .分析：能否將DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問(wèn)題，很自然地想到軸對(duì)稱問(wèn)題，由于ABCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問(wèn)題了，一般情況下：BN+NMBM,只有在B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=本題通過(guò)建立平面上三個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時(shí)的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過(guò)勾股定理計(jì)算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=

27、CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問(wèn)）分析：(2)本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=，而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2. 當(dāng)然，本題也可以這樣思考，由于

28、三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2. 本題通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系,然后通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比較廣泛. 第(3)問(wèn),也可以通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系求得, AEF的面積=,又的變化范圍為,由二次函數(shù)知識(shí)得AEF的面積的范圍為:AEF的面積.本題也可以根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍:不難證明AEF的面積OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點(diǎn)H，顯然由于OEF為等腰直角三角形，則OHEF，作AGEF，顯然AGAH=AG（=

29、），所以AEF的面積OEF的面積，而它們的和為2，因此AEF的面積.本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問(wèn)題研究：比如，比較線段EF與AO長(zhǎng)度大小等（可以通過(guò)A、E、O、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)。如果、同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0 t 6），那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似

30、？分析：（1）當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時(shí)，由于A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，即時(shí)，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積三角形QDC的面積三角形PBC的面積=36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：PAQABC，QAPABC，由相似關(guān)系得或，解之得或建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過(guò)解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來(lái)解決問(wèn)題；也可以是通過(guò)一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識(shí)求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們可以綜合上述方法求解：專題三：雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題點(diǎn)

31、動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問(wèn)題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題. 它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問(wèn)題 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6cm(如圖1). 動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s. 而當(dāng)點(diǎn)P到

32、達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C. 設(shè)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t(s)時(shí)，BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN. (1)分別求出梯形中BA，AD的長(zhǎng)度； (2)寫(xiě)出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)分別寫(xiě)出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象. 評(píng)析 本題將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機(jī)的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感. 本題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)

33、建模與參數(shù)思想在解題過(guò)程中的靈活運(yùn)用. 解決本題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，建立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)關(guān)系式補(bǔ)充函數(shù)圖象. 2 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題 例2 (2007年泰州市)如圖5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒. (1)求BAO的度數(shù). (2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的面積S(

34、平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度. (3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). (4)如果點(diǎn)P，Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著B(niǎo)C邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 (1)BAO=60°. (2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒. 評(píng)析 本題是以雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)建的集函數(shù)、開(kāi)放、最值問(wèn)題于一體的綜合題. 試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道具有很好的選拔功能的好

35、題. 解決本題的關(guān)鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問(wèn)題(3).本題的難點(diǎn)是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點(diǎn)的三角形，以B為臨界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題. 3 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求存在性問(wèn)題 例3 (2007年揚(yáng)州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過(guò)M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米； (2)若a=5厘米，

36、求時(shí)間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比； (3)若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 評(píng)析 本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問(wèn)題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識(shí)完美的綜合為一題，側(cè)重對(duì)相似和梯形面積等知識(shí)點(diǎn)的考查，本題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍

37、. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問(wèn)題的過(guò)程中，要有全局觀念以及對(duì)問(wèn)題的整體把握. 4 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問(wèn)題 例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長(zhǎng)為82cm的正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)E作EH垂直AC交RtACD的直角邊于H；過(guò)F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，解答下列問(wèn)題： (1)當(dāng)0&l

38、t;X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為82，所以AC=16，過(guò)B作BOAC于O，則OB=89，因?yàn)锳E=x，所以S2=4x，因?yàn)镠E=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當(dāng)S1=S2時(shí)， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時(shí)， S1=S2. (2)當(dāng)0x<8時(shí)，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當(dāng)8x16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S

39、1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當(dāng)0x<8時(shí)，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為50. 當(dāng)8x16時(shí)，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當(dāng)x=13時(shí)，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大值為82. 評(píng)析 本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問(wèn)題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會(huì)題意、畫(huà)出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時(shí)間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式. 本題在知識(shí)點(diǎn)上側(cè)重對(duì)二次函數(shù)最值問(wèn)題的考查，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、靈

40、活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用. 專題四：函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對(duì)角線

41、來(lái)考慮問(wèn)題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對(duì)角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小。 若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來(lái)列方程求解。 例1(2008福建福州)如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)

42、從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，APRPRQ？分析:由t2求出BP與BQ的長(zhǎng)度,從而可得BPQ的形狀;作QEBP于點(diǎn)E,將PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得S與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形EPRQ為平行四邊形,得PR=QE,再由APRPRQ,對(duì)應(yīng)邊成比例列方程,從而

43、t值可求.解:(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因?yàn)锽=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過(guò)Q作QEAB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=×BP×QE=(6-t)×t=t2+3t；(3)因?yàn)镼RBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因?yàn)镃=600,所以QRC是等邊三角形,這時(shí)BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因?yàn)锽E=BQ·cos600=×2

44、t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EPQR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,所以當(dāng)t=時(shí), APRPRQ.點(diǎn)評(píng): 本題是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.動(dòng)態(tài)問(wèn)題是近幾年來(lái)中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對(duì)同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問(wèn)題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過(guò)程,并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng).例2(2008浙江溫州)如圖，在中，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)

45、動(dòng)設(shè)，（1）求點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 分析:由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分類討論.解：（1），點(diǎn)為中點(diǎn)，（2），即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：（3）存在.按腰相等分三種情況：ABCDERPHQM21當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則，ABCDERPHQ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則為中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)為的中點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形點(diǎn)評(píng):建立函數(shù)關(guān)系式,實(shí)質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示;要求使為等腰三角形的

46、的值,可假設(shè)為等腰三角形,找到等量關(guān)系,列出方程求解,由于題設(shè)中沒(méi)有指明等腰三角形的腰,故還須分類討論.五、以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，中考經(jīng)?？疾?，有一類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，題中未說(shuō)到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解；此類問(wèn)題方法巧妙，耐人尋味。 例1. 在中，AC5，BC12，ACB90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請(qǐng)求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（03年廣州市中考） 分析：不論P(yáng)、Q如何

47、運(yùn)動(dòng)，PCQ都小于ACB即小于90°，又因?yàn)镻Q與AC不平行，所以PQC不等于90°，所以只有CPQ為直角，CPQ才可能是直角三角形，而要判斷CPQ是否為直角三角形，只需構(gòu)造以CQ為直徑的圓，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，若AB邊上的動(dòng)點(diǎn)P在圓上，CPQ就為直角，否則CPQ就不可能為直角。 以CQ為直徑做半圓D。 當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連結(jié)DM，則 DMAB，且ACAM5 所以 設(shè)，則 在中，即 解得：，所以 即當(dāng)且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M的位置時(shí)，CPQ為直角三角形。 當(dāng)時(shí)，半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，CPQ為直角三角形。 當(dāng)時(shí)，半圓D與

48、直線AB相離，即點(diǎn)P在半圓D之外，0CPQ90°，此時(shí)，CPQ不可能為直角三角形。 所以，當(dāng)時(shí)，CPQ可能為直角三角形。 例2. 如圖2，直角梯形ABCD中，ADBC，B90°，ADBCDC，若腰DC上有動(dòng)點(diǎn)P，使APBP，則這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？ 分析：由條件APBP，想到以AB為直徑作圓，若CD與圓相交，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，兩個(gè)交點(diǎn)即為點(diǎn)P；若CD與圓相切，切點(diǎn)即是點(diǎn)P；若CD與圓相離，則DC上不存在動(dòng)點(diǎn)P，使APBP。 解：如圖3，以AB為直徑做O，設(shè)O與CD切于點(diǎn)E 因?yàn)锽A90° 所以AD、BC為O的切線 即ADDE，BCCE 所以ADB

49、CCD 而條件中ADBCDC，我們把CD向左平移，如圖4，CD的長(zhǎng)度不變，AD與BC的長(zhǎng)度縮短，此時(shí)ADBCDC，點(diǎn)O到CD的距離OE小于O的半徑OE，CD與O相交，和是直徑AB所對(duì)的圓周角，都為90°，所以交點(diǎn)即為所求。因此，腰DC上使APBP的動(dòng)點(diǎn)P有2個(gè)。 例3. 如圖5，ABC的外部有一動(dòng)點(diǎn)P（在直線BC上方），分別連結(jié)PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關(guān)系。（02年廣州市中考） 分析：BPC與BAC之間沒(méi)有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關(guān)系，必須找恰當(dāng)?shù)妮d體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過(guò)構(gòu)造ABC的外接圓，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。 （1）當(dāng)點(diǎn)P在ABC外接圓外時(shí)

50、， 如圖5，連結(jié)BD，根據(jù)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，BPCBDC 又因?yàn)锽DCBAC， 所以BPCBAC； （2）當(dāng)點(diǎn)P在ABC外接圓上時(shí)，如圖6，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等， BPCBAC； （3）當(dāng)點(diǎn)P在ABC外接圓內(nèi)時(shí)，如圖7，延長(zhǎng)BP交ABC外接圓于點(diǎn)D，連結(jié)CD，則BPCBDC， 又BDCBAC，故BPCBAC。 綜上，知當(dāng)點(diǎn)P在ABC外接圓外時(shí)， BPCBAC； 當(dāng)點(diǎn)P在ABC外接圓上時(shí)， BPCBAC； 當(dāng)點(diǎn)P在ABC外接圓內(nèi)時(shí)，BPCBAC。專題六、中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題突破訓(xùn)練動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 動(dòng)點(diǎn)試題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)綜合，構(gòu)成中考試題的壓軸題.動(dòng)點(diǎn)

51、試題大致分為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形動(dòng)三種類型.動(dòng)點(diǎn)試題要以靜代動(dòng)的解題思想解題.下面就中考動(dòng)點(diǎn)試題進(jìn)行分析.例1（2006年福建晉州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，A=60°，BDAD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿ABC的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，使PMAD.1當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求APE的面積；2當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿AB的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，（當(dāng)P、Q中的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).）過(guò)Q作直線QN，使QNPM，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t8），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm2）. （1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求S的最大值.1.分析：此題為點(diǎn)動(dòng)題，因此，1)搞清動(dòng)點(diǎn)所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)；2）分析在運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的幾種特殊位置.由題意知，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，所走的路線為：ABC速度為1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，進(jìn)而求出APE的面積.略解：由AP=2 ，A=60°得AE=1，EP= . 因此.2.分析：兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在前，點(diǎn)Q在后，速度相等，因此兩點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)A的距離相差總是2cm.P在AB邊上運(yùn)動(dòng)后，又到BC邊上運(yùn)動(dòng)