2019年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)理

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)（理科）一項(xiàng)是符合題目要求的（3 3）若數(shù)列；a滿足：ai= 19，N N*），則數(shù)列 也？的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值是（A A）6 6（ B B）7 7（ C C） 8 8（ D D）9 9（4 4 ）已知平面:，一：，直線l，若A = l，貝U（A A）垂直于平面：的平面一定平行于平面 :（B B） 垂直于直線丨的直線一定垂直于平面:（C C） 垂直于平面 1 1 的平面一定平行于直線丨（D D）垂直于直線丨的平面一定與平面:-, ,:都垂直（5 5）函數(shù)f（X） ：=Asin（2x+）（A,？R）的部分圖象如圖所示，7那么f (0)=( )r(A A)1(

2、B B)- -JL-22 5(C C)-1(D D)-、32019.012019.01(A)2- i(B)10- 5i10(D)E5.i3如圖，正方形 ABCDABCD 中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F1 T11 *1(A)AB-AD(B B)AB+ AD23421 T1 T1 2 (C) AB + -DA(D D)-AB- AD3223是BC的一個(gè)三等分點(diǎn) 那么EF =(2)C CB BF F(6(6 )執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 i i 值為( )(A A) 5 5(C C) 7 7(7)已知函數(shù)f (x) =cos2x +sin x,那么下列命題中 假命題是(B) 6 6(D) 8 8(A

3、)f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(B)f(x)在-二,0上恰有一個(gè)零點(diǎn)(C)f(x)是周期函數(shù)(8(8)點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn)A的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是( )(A A )圓(C C)雙曲線的一支(B(B)橢圓(D(D)直線:、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題 5 5 分，共 3030 分，把答案填在題中橫線上(9)G. x + 1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是 _ . .(用數(shù)字作答)(10(10)孑x+ y- 4? 0,若實(shí)數(shù)x, y滿足x- y- 2? 0,則z =x+ 2y的最大21(11)(11)_ 拋物線

4、x2= ay過(guò)點(diǎn)A(1-)，則點(diǎn)A到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為 _. .4莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是 _ ，氣溫波動(dòng)較大的城市是甲城市乙城市(13(13)已知圓C：(x 1)2+ y2= 2，過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線I將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1: 3的兩段圓弧，則直線I的方程為_(kāi)(1414)已知正三棱柱ABC- ABC的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示. .設(shè)：ABC ABC的中心分別是0,0，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn)，射線OA旋轉(zhuǎn) 所成的角為x弧度(x可以取到任意一個(gè)實(shí)為 . .8,3說(shuō)明：“三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn)”包括逆時(shí)針?lè)较蚝晚槙r(shí)針?lè)较?，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，

5、順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角. .三、解答題：本大題共 6 6 小題，共 8080 分. .解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. .(1515)(本小題滿分 1313 分)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A=2B，si nB二三.3(I)求cos A及sin C的值；(n)若b= 2，求ABC的面積. .(16)(16)(本小題滿分 1313 分)為加強(qiáng)大學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)高等教育教學(xué)改革，教育部門(mén)主 辦了全國(guó)大學(xué)生智能汽車(chē)競(jìng)賽 該競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參加決賽的隊(duì)伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序. .通過(guò)預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊(duì)伍參加

6、決賽(I)求決賽中甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率；(n )若決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. .(17)(17)(本小題滿分 1414 分)正(主)視圖數(shù))，對(duì)應(yīng)的俯視圖的面積為S(x)，則函數(shù)S(x)的最大值為；最小正周期側(cè)(左)視圖在四棱錐P- ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD,? ABC 90?,AB = PB = PC = BC = 2CD,平面PBCA平面ABCD. .(I)求證：ABA平面PBC;(n )求平面PAD和平面BCP所成二面角(小于90的大??；(川)在棱PB上是否存在點(diǎn)M使得CM/平面PAD?若存 在，求匹的值；若不存在

7、，請(qǐng)說(shuō)明理由 PB(18)(18)(本小題滿分 1313 分)已知函數(shù)f(x) =ex(x2ax-a)，其中a是常數(shù). .( (I ) )當(dāng)a =1時(shí)，求曲線y二f (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(n)若存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f(x)二k在0,7)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 求k的取值范圍. .(19)(19)(本小題滿分 1414 分)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)(0,1)，且離心率為 二3, Q為橢圓C的左頂點(diǎn). .2(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)已知過(guò)點(diǎn)(-,0)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn). .5(i)若直線l垂直于x軸，求一AQB的大??；(ii)若直線l與x軸不垂直，

8、 是否存在直線丨使得QAB為等腰三角形？如果存在, 求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. .在四棱錐P- ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/(20)(20)(本小題滿分 1414 分)已知集合M = 1,2,3川|,n( n? N*)，若集合A= a1)a2JH,am臀M (m N*)，且對(duì)任意的b? M,存在ai,aj危A(1 i#j m),使得b =佔(zhàn)+ 2a)(其中U1,0,1)，則稱(chēng)集合A為集合M的一個(gè)m元基底 (I)分別判斷下列集合A是否為集合M的一個(gè)二元基底，并說(shuō)明理由；1A= 1,5,M = 1,2,3,4,5;2A= 2,3,M = 123,4,5,6 (n )若

9、集合A是集合M的一個(gè)m元基底，證明：m(m+ 1)? n；(川)若集合A為集合M二1,2,3,川,19的一個(gè)m元基底，求出m的最小可能值，并寫(xiě)出當(dāng)m取最小值時(shí)M的一個(gè)基底A. .9海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)學(xué)（理科）. .選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題 5 5 分，共 4040 分. .題號(hào)(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)(6 6)(7 7)(8 8)答案A AD DB BD DC CA AB BD D二. .填空題：本大題共 6 6 小題，每小題 5 5 分，共 3030 分. .三. .解答題：本大題共 6 6 小題，共 8080 分. .解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，

10、證明過(guò)程或演算步驟（1515）（本小題滿分 1313 分）解：（I）因?yàn)锳=2B,1 cos A = 1- 2?-3由題意可知，B?(0,). .2所以cosB =、仁sin2B二所以sinC = sin二-(A+ B) = sin(A+ B)3=sin A cos B + cos A sinB二-參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)20 佃.01(9(9) 5 5(10(10)75(11)(11)- -4（乙,(13(13)y =3(x+ 1)或y二-3討1)(14(14)8；注：（1313 ）題正確答出一種情況給3 3 分，全對(duì)給 5 5 分;(12(12)、 (1414) 題第一空 3 3 分；第二空 2

11、 2所以cos A= cos2B =1- 2sin2B. .因?yàn)閟inB二,3所以因?yàn)閟in A = sin 2B = 2sinBcosB亠3所以(16)(16)(本小題滿分 1313 分)P A15!10隨機(jī)變量X的可能取值為0, 1,2, 3. .“2X4!2=05!53漢2漢3!(n)因?yàn)閟in Bsin A,b= 2,1010 分所以4；61111 分所以1SABC= 2absinC =20 . 21313 分解：(I)設(shè)“甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位”為事件A，則所以 甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率為1010，2漢2!漢3漢2!5!px, D5!101010 分X0123P23:

12、115105102311因?yàn)镋X =01231,10所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1. .1313 分(17)(17)(本小題滿分 1414 分)(I)證明：因?yàn)?？隨機(jī)變量X的分布列為:=1 =5!因?yàn)槠矫鍼BCA平面ABCD，平面PBC門(mén)平面ABCD = BC,AB1平面ABCD,所以ABA平面PBC .3 3 分(H)解：取BC的中點(diǎn)O，連接PO. .因?yàn)镻B= PC,所以PO _ BC. .因?yàn)?平面PBCA平面ABCD,平面PBC平面ABCD = BC,PO1平面PBC,所以POA平面ABCD. . 4 4 分如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于BC的直線為y

13、軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O - xyz不妨設(shè)BC = 2. .由直角梯形ABCD中AB = PB= PC = BC = 2CD可得P(0,0,.3),D(- 1,1,0),A(1,2,0). .所以DP= (1,- 1, J3),DA= (2,1,0). .設(shè)平面PAD的法向量m = (x, y,z). .因?yàn)樗灾?DP 0, ?m ?DA 0.y,z)?(1, 1,、3)= 0,y,z)?(2,1,0)0,多x- y+、3z二二0,即j?2x + y = 0.令x= 1，貝Uy = - 2, z = -3. .所以m= (1,- 2,-、3). .取平面BCP的一個(gè)法向

14、量n=0,1,0. .所以/ m n42cos( m, n)=-=-m n2所以平面ADP和平面BCP所成的二面角(小于90的大小為上. .4(川)解：在棱PB上存在點(diǎn)M使得CM/平面PAD，此時(shí)PMPB-.理由如2下:|zP1010 分取AB的中點(diǎn)N，連接CM,CN,MN. .1則MN/PA,AN二一AB. .2因?yàn)锳B= 2CD, 所以AN = CD. .因?yàn)锳B/CD,所以四邊形ANCD是平行四邊形. .所以CN/AD. .因?yàn)镸N pCN = N, PAAD二A,所以平面MNC/平面PAD. . 因?yàn)镃Mi平面MNC, 所以CM/平面PAD. .(18)(18)(本小題滿分 1313

15、分)x 2解：( (I) )由f(x)=e(x，ax-a)可得f(x) -exx2(a 2)x. . 2 2 分當(dāng)a =1時(shí)，f(1)=e, ,f (1)=4e.4 4分所以 曲線y = f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y-e = 4ex-1,即y二4ex3e. . 5 5分x 2(n) 令f (x) = e (x (a 2)x) = 0,解得x - -(a 2)或x = 0. .當(dāng)-(a - 2)乞0，即a _ -2時(shí)，在區(qū)間0, ：)上，f (x) _ 0,所以f (x)是0,匸：)上的增函數(shù). .所以 方程f (x)二k在0,上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. . 8分當(dāng)-(a 2)

16、0，即a：-2時(shí)，f (x), f x隨x的變化情況如下表x0(0,-(a+2)-(a+ 2)(-(a + 2),咼)f(x)0-0+f(x)-aa + 4a七e/1313 分1414 分Aa亠4由上表可知函數(shù)f(x)在0, ：)上的最小值為f(_(a 2)a.2. .e. 1010 分因?yàn)?函數(shù)f (x)是(0, _(a2)上的減函數(shù)，是(一(a2),：)上的增函數(shù)，且當(dāng)x：a時(shí)，有f(x)_e(_a) -a. . 1111 分所以 要使方程f(x)=k在0, ：)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k的取值范圍必須是1313 分篤爲(wèi)(a b 0)，且a2= b2+ c2. .a b由題意可知：b =

17、1,c=一3. .a 2所以a2= 4. .2所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .y2 =1. . 3 3 分4()由(I)得Q(-2,0). .設(shè)A(X1,yJ, B(X2, y2). .(i)當(dāng)直線丨垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為X -. .56 464即壬卩BW(不妨設(shè)點(diǎn)A在X軸上方)則直線AQ的斜率kAQ=1,直線BQ的斜率kBQ= -1. .因?yàn)閗AQ BQ =一1,所以AQABQ. .所以AQB. . 6 6 分2(19(19(本小題滿分 1313 分)解：(I)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為解得:6x二-5x二一y二-6545（iiii）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x

18、）（k = 0）. .5y二k(x 5),由25消去y得：(25 100k2)x2240k2x 144k2-100=0. .因?yàn)辄c(diǎn)（-,0）在橢圓C的內(nèi)部，顯然.:0. .5亠240k2咅X22,25 100k22144k -100X1X2廠.25 100k2總十+2如益區(qū)+2也)，“k(x),yk(x)5566= (X1 2)(X2 2) kg ) kg )55262362=(1 k以兇(2 k )(/ x2)4 k525=(V k2)144k 100(2 -k2)(240k2) 436k 0. .25 +100k525 + 100k25因?yàn)樗訯A QB二(xi2)(X22) y2所以QA

19、_QB.所以QAB為直角三角形. .1111 分假設(shè)存在直線丨使得AQAB為等腰三角形，則QA=|QB 取AB的中點(diǎn)M，連接QM，則QMAAB. .記點(diǎn)（-,0）為N 5VN0丿另一方面，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=2120k25 + 100k224k25+ 20k2所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM二k（xM+6)6k25+ 20k2y所以QM?NM(10+16k2,5+ 20k5 + 20k5 + 20k5 + 20k6k6k60+ 132k222(5+ 20k2)2所以 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，不存在直線l使得QAB為等腰三角形 . 1313 分(20)(20)(本小題滿分 1414 分)解：(I)A二1,5不

20、是M二1,2,3,4,5的一個(gè)二元基底. . 理由是3棺!1+2孜(i2-1,0,1)；A= 2,3是M二123,4,5,6的一個(gè)二元基底. .理由是1= - 1? 21? 3,21? 20? 3,30? 21? 3,4= 1? 21? 2,51? 21? 3,61? 31? 3. . 3分(n)不妨設(shè)印 a2 HI am，貝U形如1?ai0?aj(1#i j ? m)的正整數(shù)共有m個(gè)；形如1?ai1?3i(1#i m)的正整數(shù)共有m個(gè)；形如1?ai1?aj(1? i j ? m)的正整數(shù)至多有C；個(gè)； 形如(-1)?ai1?aj(1? i j ? m)的正整數(shù)至多有Cm個(gè) 又集合M二1,2,3,Hl,n含n個(gè)不同的正整數(shù)，A為集合M的一個(gè)m元基底. .故m+ m+ C；+ C；? n,即m(m + 1) ? n. . . 8 8.分(川)由(n )可知m(m+ 1)? 19，所以m3 4. .當(dāng)m = 4時(shí)，m(m+ 1)- 19= 1，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè).*.*0. .所以QM與NM不垂直，矛盾假設(shè)