緒論數(shù)值計(jì)算方法的研究對(duì)象和特點(diǎn)

1、計(jì)算方法太原理工大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)Computing Methods數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題模型設(shè)計(jì)模型設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)問(wèn)題的解問(wèn)題的解上機(jī)計(jì)算上機(jī)計(jì)算程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì) 在科學(xué)研究、工程實(shí)踐和經(jīng)濟(jì)管理等工作中，存在科學(xué)研究、工程實(shí)踐和經(jīng)濟(jì)管理等工作中，存在大量的科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理等問(wèn)題在大量的科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理等問(wèn)題. .應(yīng)用計(jì)算機(jī)解應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題是科技工作者應(yīng)當(dāng)具備的基本能力決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題是科技工作者應(yīng)當(dāng)具備的基本能力. .數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 計(jì)算方法計(jì)算方法是研究適合在計(jì)算機(jī)上使用的是研究適合在計(jì)算機(jī)上使用的實(shí)際可行、理論可靠、計(jì)算復(fù)雜性好的數(shù)值實(shí)

2、際可行、理論可靠、計(jì)算復(fù)雜性好的數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算方法, , 也叫也叫數(shù)值分析數(shù)值分析. . 換句話說(shuō)換句話說(shuō), , 計(jì)算方法是一種研究并解決計(jì)算方法是一種研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似解近似解的方法，是在計(jì)算機(jī)的方法，是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法上使用的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法. . 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系1. 面向計(jì)算機(jī)面向計(jì)算機(jī) 要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供實(shí)要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供實(shí)際可行的算法際可行的算法, 即算法只能由計(jì)算機(jī)可執(zhí)行即算法只能由計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的加減乘除四則運(yùn)算和各種邏輯運(yùn)算組成的加減乘除四則運(yùn)算和各種邏輯運(yùn)算組成.一、計(jì)算方法課程的特點(diǎn)一、計(jì)算方法課程的特點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)院

3、 信息與計(jì)算科學(xué)系算法分類算法分類: : 分類方法分類方法2 2：從算法執(zhí)行所花費(fèi)的時(shí)間：從算法執(zhí)行所花費(fèi)的時(shí)間角度來(lái)講，若算術(shù)運(yùn)算占絕大多數(shù)時(shí)間則稱角度來(lái)講，若算術(shù)運(yùn)算占絕大多數(shù)時(shí)間則稱其為其為數(shù)值型算法數(shù)值型算法，否則為，否則為非數(shù)值型算法非數(shù)值型算法。 本課程介紹數(shù)值型串行算法。本課程介紹數(shù)值型串行算法。 分類方法分類方法1 1：若算法包含有一個(gè)進(jìn)程則：若算法包含有一個(gè)進(jìn)程則稱其為稱其為串行算法串行算法，否則為，否則為并行算法并行算法。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系2. 要有可靠的理論分析要有可靠的理論分析 計(jì)算方法中的算法計(jì)算方法中的算法理論主要是連續(xù)系統(tǒng)的離散化和離散型方程理論主要是連續(xù)

4、系統(tǒng)的離散化和離散型方程的數(shù)值求解的數(shù)值求解. 包括誤差、穩(wěn)定性、包括誤差、穩(wěn)定性、 收斂性、收斂性、計(jì)算量、存儲(chǔ)量等計(jì)算量、存儲(chǔ)量等.3. 要有良好的計(jì)算復(fù)雜性要有良好的計(jì)算復(fù)雜性 計(jì)算復(fù)雜性是算計(jì)算復(fù)雜性是算法好壞的標(biāo)志法好壞的標(biāo)志, 它包括時(shí)間復(fù)雜性它包括時(shí)間復(fù)雜性 (計(jì)算時(shí)間計(jì)算時(shí)間多少多少) 和空間復(fù)雜性和空間復(fù)雜性 (占用存儲(chǔ)單元多少占用存儲(chǔ)單元多少).數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 算法不同算法不同, 計(jì)算量大不相同計(jì)算量大不相同. 例如例如: 求解一個(gè)求解一個(gè)n階線性方程組階線性方程組, 用行列式用行列式解法的克萊姆法則要進(jìn)行解法的克萊姆法則要進(jìn)行 (n+1)n!(n-1)次乘除次

5、乘除運(yùn)算運(yùn)算. n=20時(shí)時(shí), 大約進(jìn)行大約進(jìn)行1021 次運(yùn)算次運(yùn)算, 如用每秒如用每秒 3億次乘法運(yùn)算的巨型計(jì)算機(jī)要連續(xù)工作億次乘法運(yùn)算的巨型計(jì)算機(jī)要連續(xù)工作) (100365246060103101121年年 數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系完全沒(méi)有實(shí)際意義完全沒(méi)有實(shí)際意義, 而用而用Gauss消元法只需消元法只需3060 次乘法運(yùn)算次乘法運(yùn)算. 選擇算法非常重要！選擇算法非常重要！Cramer法則法則 vs Gauss消消元元法法.數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系數(shù)值逼近數(shù)值逼近數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù)微分方程數(shù)值解微分方程數(shù)值解二、計(jì)算方法的研究對(duì)象二、計(jì)算方法的研究對(duì)象 微積分、線性代數(shù)、微分方程中的

6、數(shù)學(xué)問(wèn)微積分、線性代數(shù)、微分方程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。題。數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系數(shù)值逼近數(shù)值逼近代數(shù)插值代數(shù)插值曲線擬合曲線擬合非線性方程求根非線性方程求根數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系線性方程組的數(shù)值方法線性方程組的數(shù)值方法矩陣特征值與特征向量矩陣特征值與特征向量問(wèn)題問(wèn)題數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系微分方程數(shù)值解微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解偏微分方程數(shù)值解偏微分方程數(shù)值解數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系三、計(jì)算方法講述的基本內(nèi)容三、計(jì)算方法講述的基本內(nèi)容1. 如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問(wèn)題如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問(wèn)題2. 如何制定快速的算法

7、如何制定快速的算法3. 如何估計(jì)一個(gè)給定算法的精度如何估計(jì)一個(gè)給定算法的精度3. 分析誤差在計(jì)算過(guò)程中的積累和傳播分析誤差在計(jì)算過(guò)程中的積累和傳播4. 如何構(gòu)造精度更高的算法如何構(gòu)造精度更高的算法5. 如何使算法較少的占用存儲(chǔ)量如何使算法較少的占用存儲(chǔ)量6. 如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系四、計(jì)算方法的意義與學(xué)習(xí)方法四、計(jì)算方法的意義與學(xué)習(xí)方法 1. 1. 意義意義 計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計(jì)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算創(chuàng)造了條件算創(chuàng)造了條件, , 研究適合于計(jì)算機(jī)的數(shù)值方研究適合于計(jì)算機(jī)的數(shù)值方法變得十分迫切和必要法變得十分迫切和必要. . 計(jì)算方法是

8、在大量計(jì)算方法是在大量的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論分析工作的基礎(chǔ)上發(fā)的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論分析工作的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的展起來(lái)的, , 它不僅是一些數(shù)值方法的簡(jiǎn)單積它不僅是一些數(shù)值方法的簡(jiǎn)單積累累, ,而且揭示包含在多種多樣的數(shù)值方法之而且揭示包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的原理間的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的原理. .數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 2. 學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法 (1) 認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)分析是基本任務(wù), 主動(dòng)適應(yīng)主動(dòng)適應(yīng)“公式多公式多”和和“理理論分析論分析”的特點(diǎn)的特點(diǎn). (2) 注重各章建立算法的問(wèn)題的提出注重各章建立算法的問(wèn)題的提出, 搞清搞清問(wèn)題的基本提法、逐步深入的層次及提法的問(wèn)題的基本提法、逐步深入的層次及提法的正確性正確性.數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系 (3) 理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)原理和基本線索，而且對(duì)一些最基本的線索原理和基本線索，而且對(duì)一些最基本的線索要非常熟悉要非常熟悉. (4) 從各種算法的理論分析中學(xué)習(xí)理論推從各種算法的理論分析中學(xué)習(xí)理論推理方法理方法, 提高推理證明能力提高推理證明能力. (5) 認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練, 學(xué)習(xí)各種算學(xué)習(xí)各種算法完全為了應(yīng)用于實(shí)際法完全為了應(yīng)用于實(shí)際, 因此必須真會(huì)算