2016新課標三維人教A版數(shù)學選修4113相似三角形的判定及性質(zhì)

1、 三相似三角形的判定及性質(zhì)1相似三角形的判定對應學生用書P71相似三角形(1)定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比值叫做相似比或(相似系數(shù))(2)預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似(2)判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，簡述為：兩邊對應成比例

2、且夾角相等，兩三角形相似引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊(3)判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似說明1.在這些判定方法中，應用最多的是判定定理1，即兩角對應相等，兩三角形相似因為它的條件最容易尋求在實際證明當中，要特別注意兩個三角形的公共角判定定理2則常見于連續(xù)兩次證明相似時，在證明時第二次使用此定理的情況較多2引理是平行線分線段成比例定理的推論的逆定理，可以判定兩直線平行3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如

3、果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似；如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例那么它們相似(2)定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似說明對于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，還有其他特殊的方法，如直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似在證明直角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件的利用對應學生用書P8相似三角形的判定例1如圖，已知在ABC中，ABAC，A36°，BD是角平分線，證明：ABCBCD.思路點撥已知ABAC，A36°，所以ABCC72°，而BD

4、是角平分線，因此，可以考慮使用判定定理1.證明A36°，ABAC，ABCC72°.又BD平分ABC，ABDCBD36°，ACBD.又CC，ABCBCD.判定兩三角形相似，可按下面順序進行：(1)有平行截線，用預備定理；(2)有一對等角時，找另一對等角，找夾這個角的兩邊對應成比例；(3)有兩對應邊成比例時，找夾角相等，找第三邊對應成比例，找一對直角1如圖，BCFGED，若每兩個三角形相似，構(gòu)成一組相似三角形，那么圖中相似的三角形的組數(shù)是()A1B2C3 D4解析：AED與AFG相似，AED與ABC相似，AFG與ABC相似答案：C2如圖，O是ABC內(nèi)任一點，D，E，F(xiàn)

5、分別是OA，OB，OC的中點，求證：DEFABC.證明：D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，DEAB，EFBC，F(xiàn)DCA.DEFABC.3如圖，D在AB上，且DEBC交AC于E，F(xiàn)在AD上，且AD2AF·AB，求證：AEFACD.證明：DEBC，.AD2AF·AB，.由兩式得，又A為公共角，AEFACD.直角三角形相似的判定例2如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP3PC，Q是CD的中點，求證：ADQQCP.思路點撥由于這兩個三角形都是直角三角形，且已知條件是線段間的關(guān)系，故考慮證明對應邊成比例，即只需證明即可證明在正方形ABCD中，Q是CD的中點，2.3

6、，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，2，CD90°，ADQQCP.直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都適用于直角三角形相似的判定(2)兩個直角三角形，已經(jīng)具備直角對應相等，只要再證明有一對銳角相等，或夾直角的兩邊對應成比例，就可以證明這兩個直角三角形相似4如圖，C90°，D是AC上的一點，DEAB于E，求證：ADEABC.證明：DEAB，DEA90°，C90°，DEAC.AA.ADEABC5如圖，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖中所有與ACE相似的三角形解：ACE為公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt

7、FDCRtACE.又A為公共角，RtABDRtACE.又AACE90°，AABD90°，ACEABD.RtFBERtACE.故共有三個直角三角形，即RtABD，RtFBE，RtFCD與RtACE相似.相似三角形的應用例3如圖，D為ABC的邊AB上一點，過D點作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，連接GH.求證：GHAB.思路點撥根據(jù)此圖形的特點可先證比例式成立，再證EGHEDB，由相似三角形的定義得EHGEBD即可證明DEBC，即.又DFAC，.又GEHDEB，EGHEDB.EHGEBD.GHAB.不僅可以由平行線得到比例式，也可以根據(jù)比例式的成立確定兩直線

8、的平行關(guān)系有時用它來證明角與角之間的數(shù)量關(guān)系，線段之間的數(shù)量關(guān)系6如圖，ABC的三邊長是2、6、7，DEF的三邊長是4、12、14，且ABC與DEF相似，則A_，B_，C_._.解析：AD，BE，CF.答案：DEFDEBCDF7.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連接CF交AD于點E.(1)求證：CDEFAE；(2)當E是AD的中點，且BC2CD時，求證：FBCF.證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD.又點F在BA的延長線上，DCFF，DFAE.CDEFAE.(2)E是AD的中點，AEDE.由CDEFAE，得.CDFA.ABCDAF.BF2CD.又BC2CD，

9、BCBF.FBCF.8.如圖，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，點E是AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于F.求證：.證明：E是RtADC斜邊AC上的中點，AEECED.EDCCBDF.又ADBC且BAC90°，BADC.BADBDF.又FF，DBFADF，.又在RtABD與RtCBA中，.對應學生用書P10一、選擇題1如圖所示，ADEFBC，GHAB，則圖中與BOC相似的三角形共有()A1個B2個C3個 D4個解析：根據(jù)相似三角形的判定定理可得：OEFOBC(EFBC)；CHGCBO(HGOB)；OADOBC(ADBC)故與BOC相似的三角形共有3個答案：C

10、2下列判斷中，不正確的是()A兩直角邊分別是3.5,2和2.8,1.6的兩個直角三角形相似B斜邊和一直角邊長分別是2，4和，2的兩個直角三角形相似C兩條邊長分別是7,4和14,8的兩個直角三角形相似D兩個等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正確答案：C3如圖，要使ACDBCA，下列各式中必須成立的是()A.B.CAC2CD·CBDCD2AC·AB解析：CC，只有，即AC2CD·CB時，才能使ACDBCA.答案：C4.如圖，在等邊三角形ABC中，E為AB中點，點D在AC上，使得，則有()AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD

11、解析：因為AC，2，所以AEDCBD.答案：B二、填空題5如圖，ABC中，DEBC，GFAB，DE，GF交于點O，則圖中與ABC相似的三角形共有_個，它們分別是_解析：與ABC相似的有GFC，OGE，ADE.答案：3GFC，OGE，ADE6如圖所示，ACB90°，CDAB于點D，BC3，AC4，則AD_，BD_.解析：由題設(shè)可求得AB5，RtABCRtACD，.AD.又RtABCRtCBD，.BD.答案：7已知：在ABC中，AD為BAC的平分線，AD的垂直平分線EF與AD交于點E，與BC的延長線交于點F，若CF4，BC5，則DF_.解析：連接AF.EFAD，AEED，AFDF，F(xiàn)AD

12、FDA.又FADDACCAF，F(xiàn)DABADB，且DACBAD，CAFB.而CFAAFB，AFCBFA.AF2CF·BF4×(45)36.AF6，即DF6.答案：6三、解答題8如圖，已知ABC中，ABAC，D是AB的中點，E在AB的延長線上，且BEAB，求證：ADCACE.證明：D是AB的中點，.ABAC，. BEAB，.又ABAC，.又A為公共角，ADCACE.9.如圖，直線EF交AB、AC于點F、E，交BC的延長線于點D，ACBC，且AB·CDDE·AC.求證：AE·CEDE·EF.證明：AB·CDDE·AC.A

13、CBC，ACBDCE90°.ACBDCE.AD.又AEFDEC，AEFDEC.AE·CEDE·EF.10如圖所示，在ABC中，ACB90°，CDAB于D，AE是CAB的角平分線，CD與AE相交于點F，EGAB于G.求證：EG2FD·EB.證明：因為ACE90°，CDAB，所以CAEAEC90°，F(xiàn)ADAFD90°.因為AFDCFE，所以FADCFE90°.又因為CAEFAD，所以AECCFE.所以CFCE.因為AE是CAB的平分線，EGAB，ECAC，所以ECEG，CFEG.因為BCAB90°，

14、ACFCAB90°，所以ACFB.因為CAFBAE，所以AFCAEB，.因為CDAB，EGAB，所以RtADFRtAGE.所以，.所以CF·EGFD·EB，EG2FD·EB.2相似三角形的性質(zhì)對應學生用書P111相似三角形的性質(zhì)定理相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方2兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比與相似比的關(guān)系相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方說明相似三角形中的“對應線段”不僅僅指對應邊、對應中線、角平分線和

15、高，應包括一切“對應點”連接的線段；同時也可推演到對應的內(nèi)切圓、外接圓的半徑對應學生用書P11利用相似三角形性質(zhì)計算例1已知如圖，ABC中，CEAB于E，BFAC于F，若SABC36 cm2，SAEF4 cm2，求sin A的值思路點撥由題目條件證明AECAFB，得AEAFACAB，由此推知AEFACB，進而求出線段EC與AC的比值解CEAB于E，BFAC于F，AECAFB90°.又AA，AECAFB.又AA，AEFACB.()2.設(shè)AEk，則AC3k，EC2k.sin A.利用相似三角形的性質(zhì)進行有關(guān)的計算往往與相似三角形對應邊的比及對應角相等有關(guān)，解決此類問題，要善于聯(lián)想，變換比

16、例式，從而達到目的1如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點AB8 cm，AC10 cm，若ADE和ABC相似，且SABCSADE41，則AE_cm.解析：因為ADEABC，且SABCSADE41，所以其相似比為21，即或，所以AE5或4(cm)答案：5或42.如圖，在ABCD中，AEEB23.(1)求AEF與CDF周長的比；(2)若SAEF8，求SCDF.解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD且ABCD.，即.又由ABCD知AEFCDF，AEF的周長CDF的周長25.(2)SAEFSCDF425，又SAEF8，SCDF50.利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題例2如圖，一天早上，

17、小張正向著教學樓AB走去，他發(fā)現(xiàn)教學樓后面有一水塔DC，可過了一會抬頭一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是納悶經(jīng)過了解，教學樓、水塔的高分別是20米和30米，它們之間的距離為30米，小張身高為1.6米小張要想看到水塔，他與教學樓之間的距離至少應有多少米？思路點撥此題的解法很多，其關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的知識解題解如圖，設(shè)小張與教學樓的距離至少應有x米，才能看到水塔連接FD，由題意知，點A在FD上，過F作FGCD于G，交AB于H，則四邊形FEBH，四邊形BCGH都是矩形ABCD，AFHDFG.AHDGFHFG.即(201.6)(301.6)x(x30)，解得x55

18、.2(米)故小張與教學樓的距離至少應有55.2米，才能看到水塔此類問題是利用數(shù)學模型解實際問題，關(guān)鍵在于認真分析題意，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，構(gòu)造相似三角形求解3.如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC200 mm，高AD300 mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，求這個矩形零件的邊長解：設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點E、H分別在AB、AC上，ABC的高AD與邊EH相交于點P，設(shè)矩形的邊EH的長為x mm.因為EHBC，所以AEHABC.所以.所以，解得x(mm)，2x (mm)答：加工成的矩形零件的邊長

19、分別為 mm和 mm.4已知一個三角形的三邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一個三角形的最長邊為12 cm，求另一個三角形內(nèi)切圓和外接圓的面積解：設(shè)邊長為3 cm,4 cm,5 cm的三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，因為該三角形為直角三角形，所以R，且(345)r×3×4，即r1.S內(nèi)切圓(cm2)，S外接圓·()2(cm2)又兩三角形的相似比為，S內(nèi)切圓()2S內(nèi)切圓(cm2)，S外接圓()2S外接圓36(cm2)對應學生用書P12一、選擇題1如圖，ABC中，DEBC，若AEEC12，且AD4 cm，則DB等于()A2 cmB6 cmC

20、4 cm D8 cm解析：由DEBC，得ADEABC，.DB4×28(cm)答案：D2如果兩個相似三角形對應邊上的中線之比為34，周長之和是35，那么這兩個三角形的周長分別是()A13和22 B14和21C15和20 D16和19解析：由相似三角形周長之比，中線之比均等于相似比可得周長之比.又l1l235，l115，l220，即兩個三角形的周長分別為15,20.答案：C3如圖所示，在ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使CBFCDE，則BF的長是()A5 B8.2C6.4 D1.8解析：CBFCDE，.BF1.8.答案：D4如圖，是一個簡單的幻燈機，幻燈片

21、與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30 cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5 m，幻燈片上小樹的高度是10 cm，則屏幕上小樹的高度是()A50 cm B500 cmC60 cm D600 cm解析：圖中的兩個三角形相似設(shè)屏幕上小樹的高度為x cm，根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比，得，解得x60 cm.答案：C二、填空題5在比例尺為1500的地圖上，測得一塊三角形土地的周長為12 cm，面積為6 cm2，則這塊土地的實際周長是_m，實際面積是_m2.解析：這塊土地的實際形狀與地圖上的形狀是兩個相似三角形，由比例尺可知，它們的相似比為，則實際周長是12×5006 000(cm)60 m；

22、實際面積是6×50021 500 000(cm2)150 m2.答案：601506如圖，在ABC中，D為AC邊上的中點，AEBC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BGGA31，BC10，則AE的長為_解析：AEBC，BGFAGE.BFAEBGGA31.D為AC中點，1.AECF.BCAE21.BC10，AE5.答案：57如圖所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形ABCD40 cm2.SABESDBA15，則AE的長為_解析：因為BAD90°，AEBD，所以ABEDBA.所以SABESDBAAB2DB2.因為SABESDBA15，所以ABDB1.設(shè)ABk cm，DBk cm，則AD2k cm.因為S矩形ABCD40 cm2，所以k·2k40，所以k2(cm)所以BDk10 (cm)AD4(cm)又因為SABDBD·AE20，所以·10·AE20.所以AE4(cm)答案：4 cm三、解答題8如圖，已知ABC中，A90°，ABAC，D為AB中點，E是AC上的點，BE、CD交于M.若AC3AE，求EMC的度數(shù)