2017年考研數(shù)學一真題及答案

1、2017年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則(A) (B) (C) (D) 【答案】A【詳解】由,得. （2）設函數(shù)可導，且則(A) (B)   (C) (D) .【答案】C【詳解】,從而單調(diào)遞增,.（3）函數(shù)在點處沿著向量的方向?qū)?shù)為(A) (B) (C) (D) 【答案】D【詳解】方向余弦,偏導數(shù),代入即可.（4）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處.圖中，實線表示甲的速度曲線(單位：m/s

2、)，虛線表示乙的速度曲線(單位：m/s)，三塊陰影部分面積的數(shù)值一次為10，20，3，計時開始后乙追上甲的時刻記為(單位：s)，則(A) (B) (C) (D) 【答案】C【詳解】在時,乙比甲多跑m,而最開始的時候甲在乙前方m處.（5）設為維單位列向量，為階單位矩陣，則(A) 不可逆(B) 不可逆(C) 不可逆(D) 不可逆【答案】A【詳解】可設,則的特征值為,從而的特征值為,因此不可逆.（6）設有矩陣， (A)與相似，與相似(B) 與相似，與不相似(C) 與不相似，與相似(D) 與不相似，與不相似【答案】B【詳解】的特征值為,但有三個線性無關(guān)的特征向量,而只有兩個,所以可對角化, 則不行.（

3、7）設為隨機事件，若，則的充分必要條件(A) (B) (C) (D) 【答案】A【詳解】由得,即;由也可得.（8）設為來自總體的簡單隨機樣本，記，則下列結(jié)論不正確的是(A)服從分布 (B) 服從分布(C) 服從分布(D) 服從分布【答案】B【詳解】;. 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分請將答案寫在答題紙指定位置上（9）已知函數(shù) 【答案】0【詳解】,沒有三次項.（10）微分方程的通解為 【答案】【詳解】特征方程得,因此.（11）若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，則 【答案】【詳解】有題意可得,解得.（12）冪級數(shù)在(-1,1)內(nèi)的和函數(shù) 【答案】 【詳解】.（13），是3維線性無關(guān)的列向

4、量，則的秩為 【答案】2【詳解】（14）設隨即變量的分布函數(shù)，其中為標準正態(tài)分布函數(shù)，則 【答案】2【詳解】.三、解答題：1523小題，共94分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將答案寫在答題紙指定位置上（15）（本題滿分10分）設函數(shù)具有2階連續(xù)偏導數(shù)，求.【答案】 （16）（本題滿分10分）求.【答案】（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值. 【答案】， 方程兩邊對求導得：， 令，得. 當時，當時. 方程兩邊再對求導：， 令， 當，時，當，時. 所以當時函數(shù)有極大值，極大值為1，當時函數(shù)有極小值，極小值為0.（18）（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間上具有2階導數(shù)，且，.

5、證明：（I）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實根;（II）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根.【答案】(1)，由極限的局部保號性，又由零點存在定理知，使得，.(2)構(gòu)造，由拉格朗日中值定理知，所以由零點定理知，使得， 所以原方程至少有兩個不同實根。（19）（本題滿分10分）設薄片型物體是圓錐面被割下的有限部分，其上任意一點處的密度為，記圓錐面與柱面的交線為C；（I）求C在平面上的投影曲線的方程；（II）求S的質(zhì)量M?！敬鸢浮?1)的方程為，投影到平面的方程為：（20）(本題滿分11分)設矩陣有3個不同的特征值，（I）證明：;（II）若，求方程組的解.【答案】又有三個不同的特征值，故為單根，且一定能相似對

6、角化.（2） 由（1），的通解為，故有.（21）（本題滿分11分）設二次型在正交變換 下的標準形為，求的值及一個正交矩陣?！敬鸢浮慷涡偷木仃嚕驗槎涡驮谡蛔儞Q下的標準形為，故有特征值0，故.由得特征值為.解齊次線性方程組，求特征向量.對，,得；對，,得；對，,得；因為屬于不同特征值，已經(jīng)正交，只需規(guī)范化：令，所求正交矩陣為,對應標準形為.（22）（本題滿分11分）設隨機變量與相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為（I）求（II）求的概率密度。【答案】（1），.（2） 的分布函數(shù)為故的概率密度函數(shù)為.（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量是已知的.設n次測量結(jié)果相互獨立且均服從正態(tài)分布.該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差.利用估計.（I）求的概率