平方根(第2課時(shí))

1、13.1 平方根(第2課時(shí))吳忠二中 陳俊祺 教學(xué)目標(biāo) 一、知識(shí)與技能目標(biāo) 1.通過(guò)對(duì)平方值的計(jì)算等確立平方根的意義、開(kāi)方的運(yùn)算。 2.對(duì)于任意有理數(shù)都能區(qū)分其“”、“”性，運(yùn)用計(jì)算器已勢(shì)在必行。3會(huì)用計(jì)算器求平方根。能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大小。 二、過(guò)程與方法目標(biāo) 通過(guò)探究的大小，培養(yǎng)估算意識(shí)，了解從兩個(gè)方向無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想。 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 1.引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流，討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神。 2.了解無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。重難點(diǎn)重點(diǎn)：初步感受無(wú)理數(shù)難點(diǎn)：探究大小的過(guò)程教學(xué)流程活動(dòng)流程活動(dòng)內(nèi)容和目的一、情境導(dǎo)入二、

2、導(dǎo)入知識(shí),解釋疑難1.教材內(nèi)容講解2.探究活動(dòng)三、歸納總結(jié),知識(shí)回顧四、課后作業(yè)1、 具有感染力問(wèn)題情景，使學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣。2、通過(guò)探究的大小，感受無(wú)理數(shù)的存在，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和估算意識(shí)，提高學(xué)生認(rèn)識(shí)和分析問(wèn)題的能力。3、回顧總結(jié)4、鞏固所學(xué)知識(shí)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題與情境學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、 情境導(dǎo)入 某同學(xué)用一張正方形紙片折小船，但他手頭上沒(méi)有現(xiàn)成的正方形紙片，于是他撕下一張作業(yè)本上的紙，按照如圖，沿AE對(duì)折使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面積為90cm2,又測(cè)量剪下的多余的矩形紙片的面積為40cm

3、2.請(qǐng)根據(jù)上述條件算出剪出的正方形紙片的邊長(zhǎng)是多少厘米. 將原矩形紙片的面積減去剩余的矩形紙片的面積即為正方形紙片的面積,正方形紙片的面積為90-40=50cm2,而正方形的面積為邊長(zhǎng)的平方,要求正方形的邊長(zhǎng)就得算出多少的平方等于50,但我們知道72=49,82=64,50這個(gè)數(shù)既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)大于7而小于8.到底它為多少呢?它是一個(gè)小數(shù)嗎?你有什么辦法確定這個(gè)值呢?這一系列問(wèn)題正是我們這節(jié)課要討論的問(wèn)題.(二)導(dǎo)入知識(shí),解釋疑難 1.教材內(nèi)容講解 在上學(xué)期有理數(shù)的乘方運(yùn)算中,我們已經(jīng)掌握了用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的平方的方法,現(xiàn)在我們要確定

4、一個(gè)數(shù)的平方根,也可借助這種方法進(jìn)行,我們不妨用計(jì)算器驗(yàn)證7.12,7.12=50.41,而50.41>50,故<7.1,再驗(yàn)證7.092=50.27>50,故7< <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<<7.08,接著繼續(xù)增加小數(shù)點(diǎn)后一位小數(shù),如7.071,計(jì)算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<<7.072,如此繼續(xù)進(jìn)行下去,可以發(fā)現(xiàn)將小數(shù)點(diǎn)后的小數(shù)位繼續(xù)增加下去,一直不能窮盡,都只能使7.07的平方值無(wú)限接近,因此發(fā)現(xiàn),不可能化為我們以前學(xué)過(guò)的無(wú)限循環(huán)小數(shù),只能化為

5、無(wú)限不循環(huán)小數(shù),而有理數(shù)只包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)或者整數(shù),但卻不在這些數(shù)的范圍內(nèi),只能說(shuō)這個(gè)數(shù)不是有理數(shù),我們把這種數(shù)重新命名為“無(wú)理數(shù)”,于是數(shù)的范圍也就擴(kuò)充了,是否我們可以直接用計(jì)算器來(lái)計(jì)算某一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根呢? 只要計(jì)算器上有“”鍵或者“”鍵,它就可以用來(lái)求某正數(shù)的算術(shù)平方根了,但不同的計(jì)算器的按鍵順序不相同,只要按計(jì)算器的使用方法去按鍵,就可求出任意正數(shù)的算術(shù)平方根了. 例1:用計(jì)算器計(jì)算和,的值. 解:通過(guò)按鍵可得的值在計(jì)算器上顯示:56,為有理數(shù).的值在計(jì)算器上顯示1.414213562,而的值在計(jì)算器上顯示2.236067978,的值在計(jì)算器上顯示3.16227766.從

6、計(jì)算器上顯示的數(shù)都是位數(shù)有限的,因此往往給我們一個(gè)印象“這些值都是有理數(shù)”,而事實(shí)上我們知道用平方冪驗(yàn)證它們的平方根時(shí),卻怎么也找不到準(zhǔn)確的數(shù),使其平方為2、5、10,于是我們得出:這些數(shù)不是有理數(shù),只是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)即無(wú)理數(shù).通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出的小數(shù)只能是這些數(shù)的算術(shù)平方根的近似值或最接近的值.運(yùn)用計(jì)算器可以很方便地確定一個(gè)任意正數(shù)的算術(shù)平方根. 活動(dòng):怎樣用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形?求出其邊長(zhǎng). 分析:將兩個(gè)面積為1的小正方形的面積相加得2,而要拼的大正方形的面積正好為2,于是可知,只要將兩個(gè)小正方形剪開(kāi)再重新拼合成一個(gè)正方形即能滿足要求.要確定新正方形的邊長(zhǎng),我

7、們就得確定的值大約是多少,我們知道12=1,22=4,故1<<2,也即是面積為2的正方形的邊長(zhǎng)比1大故比原小正方形的邊長(zhǎng)大,若沿原小正方形的對(duì)角線將兩個(gè)小三角形剪開(kāi),得四個(gè)形狀、大小完全相同的小直角三角形,將這四個(gè)直角三角形的直角邊拼接起來(lái)得一個(gè)新正方形.(如課本圖10.1-1) 使用計(jì)算器不僅能很方便地計(jì)算出任意一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根,而且還能使用計(jì)算器找到某些數(shù)的算術(shù)平方根之間的關(guān)系. 例3:(1)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. 0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用計(jì)算器計(jì)算下列各式的值: 你能找到其中的規(guī)律嗎?把你的發(fā)現(xiàn)用自己的

8、語(yǔ)言敘述出來(lái),并利用你的發(fā)現(xiàn)說(shuō)出、的近似值(已知1.732),你能根據(jù)的值確定 的值嗎? 解:(1)0.0012=0.000001 =0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000 從中發(fā)現(xiàn)被開(kāi)方數(shù)在逐漸擴(kuò)大,并且每次擴(kuò)大100倍,其算術(shù)平方根也在逐漸擴(kuò)大,但只擴(kuò)大10倍,于是猜測(cè)兩個(gè)正數(shù)之間如果滿足b=100a,則有=10,(或者:被開(kāi)方數(shù)每擴(kuò)大100倍時(shí),其算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大10倍) (2) =0.25 0.79057 7.9057 7.9057 =25 79.057 =250 790.57 比較相應(yīng)的兩列數(shù)中的被開(kāi)方數(shù)及其算術(shù)平方根,同樣可驗(yàn)證在

9、題(1)中的規(guī)律,而與中的數(shù)開(kāi)方數(shù)只擴(kuò)大了10倍,它們的算術(shù)平方根之間沒(méi)有規(guī)律可循.故若已知1.732,可知0.1732, 17.32, 173.2,但不能知的值. 2.探究活動(dòng) (1)用一塊面積為400cm2的正方形紙片,沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,你會(huì)怎樣剪? (2)若用上述正方形紙片剪出面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,且其長(zhǎng)寬之比為3:2,你又怎樣剪?根據(jù)你的剪法回答:只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎? 解:(1)面積為400cm2的正方形紙片的邊長(zhǎng)為20cm,沿著邊的方向剪出一刀,使長(zhǎng)方形紙片的面積為300cm2,則其寬為300÷20=15

10、cm,于是只要剪掉5cm寬的長(zhǎng)方形紙片即可. (2)若用上述正方形紙片剪出面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,且其長(zhǎng)寬之比為3:2,則可設(shè)其兩邊為3x和2x,則有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3cm,寬為2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的邊長(zhǎng)20cm更長(zhǎng),這是不可能的. 通過(guò)上述兩例發(fā)現(xiàn)利用面積大的紙片不一定能剪出面積小的紙片. (三)歸納總結(jié),知識(shí)回顧 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)可知,并不是所有的正數(shù)的算術(shù)平方根都是有理數(shù),這時(shí)我們既可以用“”的形式表示,也可以用一個(gè)與的值接近的有理數(shù)替代,于是可用計(jì)算器算出這個(gè)數(shù),但實(shí)

11、際上,是一個(gè)無(wú)理數(shù). 課后作業(yè) (一)雙基練習(xí)1. 用計(jì)算器求出下列各式的值. - 2.用計(jì)算器比較與的大小. 3.在物理學(xué)中,用電器中的電阻R與電流I,功率P之間有如下的一個(gè)關(guān)系式:P=I2R,現(xiàn)有一用電器,電阻為18歐,該用電器功率為2400瓦,求通過(guò)用電器的電流I. 4.用邊長(zhǎng)為5cm的正方形紙片兩張重新剪開(kāi)并拼接成一個(gè)較大的正方形,其邊長(zhǎng)約為多少?(精確到0.01cm) (二)創(chuàng)新提升 5.某地開(kāi)辟了一塊長(zhǎng)方形的荒地,新建一個(gè)以環(huán)保為主題的公園.已知這塊荒地的長(zhǎng)是寬的2.5倍,它的面積為60000米2. (1)試估算這塊荒地的寬約為多少米?(誤差小于1米) (2)若在公園中建一個(gè)圓環(huán)噴

12、水池,其面積為80米2,該水池的半徑是多少?(精確到0.01) (三)探究拓展 6.(1)任意找一個(gè)很大正數(shù),利用計(jì)算器將該數(shù)除以3,將所得結(jié)果再除以3.隨著運(yùn)算資料的增加,你發(fā)現(xiàn)了什么?換一個(gè)數(shù)試試,是否仍有類似的規(guī)律? (2)任意找一個(gè)非常大的正數(shù),利用計(jì)算器不斷地對(duì)它進(jìn)行開(kāi)算術(shù)平方根,你發(fā)現(xiàn)了什么? 參考答案 1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2. 0.366< 3.I11.55安培 4.約7.07cm 5.(1)寬約為154.92米 (2)r5.05米 6.(1)結(jié)果越來(lái)越小,趨向于0 (2)結(jié)果越來(lái)越趨向于1學(xué)生獨(dú)立思考完成情境中的問(wèn)題， 交流解法，聆聽(tīng)

13、老師提出的問(wèn)題，并積極思考。 學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算，讓程度稍弱一點(diǎn)的學(xué)生舉手回答問(wèn)題。理解老師對(duì)問(wèn)題的分析，初步感受無(wú)理數(shù)的存在。以及用有理數(shù)來(lái)估計(jì)的范圍。記住計(jì)算器上“”鍵或者“”鍵的作用,知道用它就可以求某正數(shù)的算術(shù)平方根。 使用它計(jì)算器求題中正數(shù)的算術(shù)平方根。交流使用方法和結(jié)果。進(jìn)一步感受無(wú)理數(shù)。 動(dòng)手拼圖求出邊長(zhǎng)交流過(guò)程和方法初步估計(jì)的大小學(xué)生動(dòng)手完成口答交流其余學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)與補(bǔ)充。利用規(guī)律思考完成動(dòng)手探究思考口答交流方法糾正錯(cuò)誤學(xué)生自由發(fā)表對(duì)本節(jié)課的理解，針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題，讓學(xué)生之間互相講解。老師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)。教師批改、總結(jié)。通過(guò)問(wèn)題情景的分析、解決和交流，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知

14、沖突，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和求知欲，為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定良好的感情基礎(chǔ)。 鞏固算術(shù)平方根的概念，突出本節(jié)重點(diǎn)。使學(xué)生獲得成功體驗(yàn)，激發(fā)積極性，建立學(xué)習(xí)自信心。感受從兩個(gè)方向無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的的抽象思維。 知道自己所持計(jì)算器的使用方法，并會(huì)使用。鞏固計(jì)算器的使用方法。初步感受無(wú)理數(shù)。通過(guò)拼圖活動(dòng)得到與有理數(shù)不同的另一類數(shù)無(wú)理數(shù)，以為例，通過(guò)形的研究來(lái)感受無(wú)理數(shù)的存在。調(diào)動(dòng)思維的積極性，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)過(guò)程，認(rèn)識(shí)感受無(wú)理數(shù)，為實(shí)現(xiàn)從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的過(guò)渡作好鋪墊。同時(shí)為實(shí)數(shù)概念的建立作好準(zhǔn)備。加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的估算能力。通過(guò)例題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和歸納概