初中函數(shù)知識點總結(jié)

1、千承培訓學校函數(shù)知識點總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)（一）平面直角坐標系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系2、各個象限內(nèi)點的特征:第一象限：（+，+） 點P（x,y），則x0,y0；第二象限：（-，+） 點P（x,y），則x0,y0；第三象限：（-，-） 點P（x,y），則x0,y0；第四象限：（+，-） 點P（x,y），則x0,y0；3、坐標軸上點的坐標特征： x軸上的點，縱坐標為零；y軸上的點，橫坐標為零；原點的坐標為（0 , 0）。兩坐標軸的點不屬于任何象限。4、點的對稱特征：已知點P(m,n),關于x軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫

2、坐標相同，縱坐標反號關于y軸的對稱點坐標是(-m,n) 縱坐標相同，橫坐標反號關于原點的對稱點坐標是(-m,-n) 橫，縱坐標都反號5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。6、各象限角平分線上的點的坐標特征：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。 第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)。7、點P（x,y）的幾何意義：點P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點P（x,y）到坐標原點的距離為8、兩點之間的距離：X軸上兩點為A、B |AB|Y軸上兩點為C、D |CD|已

3、知A、B AB|=9、中點坐標公式：已知A、B M為AB的中點 則：M=( , )10、點的平移特征： 在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應點（ x-a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a ，y）；將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，yb）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，yb）。注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發(fā)生相應的變化；反過來，從圖形上點的坐標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同

4、數(shù)值的量。 常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)； （2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零； （3）關系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零； （4）關系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

5、（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的

6、對應值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關系，但有些實際問題中的函數(shù)關系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小(1

7、) 解析式：y=kx（k是常數(shù)，k0）(2) 必過點：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時，圖像經(jīng)過二、四象限(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸2、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kxb(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，y=kxb即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式 y=kx+b (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）

8、兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點：（0，b）和（-，0）（3）走向： k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限 直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限 直線經(jīng)過第二、三、四象限注：ykx+b中的k，b的作用：1、k決定著直線的變化趨勢 k>0 直線從左向右是向上的 k<0

9、 直線從左向右是向下的2、b決定著直線與y軸的交點位置 b>0 直線與y軸的正半軸相交 b<0 直線與y軸的負半軸相交（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.3、一次函數(shù)y=kxb的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下

10、：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.注：對于ykx+b 而言，圖象共有以下四種情況：1、k>0，b>0 2、k>0，b<0 3、k<0，b<0 4、k<0，b>04、直線y=kxb(k0)與坐標軸的交點(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；(2)直線y=kxb與x軸交點坐標為與 y軸交點坐標為(0，b)5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關系式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出

11、未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法： 方法：聯(lián)立方程組求x、y 例題：已知兩直線yx+6 與y2x-4交于點P，求P點的坐標？7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關系一次函數(shù)y=kxb的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.9、一元一

12、次方程與一次函數(shù)的關系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值. 從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關系任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組 （1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以

13、看作是兩個一次函數(shù)y=和y=的圖象交點.12、函數(shù)應用問題 （理論應用 實際應用）（1）利用圖象解題 通過函數(shù)圖象獲取信息，并利用所獲取的信息解決簡單的實際問題.（2）經(jīng)營決策問題 函數(shù)建模的關鍵是將實際問題數(shù)學化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題.建立一次函數(shù)模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關系，構建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學知題.(四)反比例函數(shù)一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成ykx (k為常數(shù)，k0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。取值范圍： k 0; 在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實數(shù) ; 函數(shù) y

14、 的取值范圍也是任意非零實數(shù)。反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線 反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（K0）。反比例函數(shù)的性質(zhì)：1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划攌<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大。 2.k>0時，函數(shù)在x<0和 x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x<0和x>0上同為增函數(shù)。 定義域為x0；值域為y0。 3.因為在y=k/x(k0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交

15、，也不可能與y軸相交。 4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。 6.若設正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。 7.設在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2 +4k·m（不小于）0。 （k/x=mx+n，即mx2+nx-k=0） 8.反比例函數(shù)y=k

16、/x的漸近線：x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關于原點中心對稱. (第5點的同義不同表述) 10.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。 一般式(已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.)y=ax2+bx+c(a0,a、b、c為常

17、數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b2/4a) ； 頂點式(已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.)y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（-m，k）或（h,k）對稱軸為x=-m或x=h，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式； 交點式(已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式)y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 ； 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點頂點拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，4ac-b2/4a ) ，當-b/2a=0時，P

18、在y軸上；當= b2-4ac=0時，P在x軸上。開口二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的因素一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。（左同右異）c的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0, ).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋