高中理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)離散型隨機變量的期望值和方差

1、離散型隨機變量的期望值和方差一、基本知識概要：1、 期望的定義：一般地，若離散型隨機變量的分布列為x1x2x3xnPP1P2P3Pn則稱E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，簡稱期望。它反映了:離散型隨機變量取值的平均水平。若=a+b(a、b為常數(shù))，則也是隨機變量，且E=aE+b。 E(c)= c特別地，若B(n，P)，則E=nP2、 方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義：D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(xn-E)2Pn+稱為隨機變量的方差。D的算術(shù)平方根=叫做隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。且有D(a

2、+b)=a2D,可以證明D=E2- (E)2。若B(n，p)，則D=npq，其中q=1-p.3、特別注意：在計算離散型隨機變量的期望和方差時，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要準(zhǔn)確應(yīng)用公式，特別是充分利用性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運算過程，提高運算速度和準(zhǔn)確度。二、例題：例1、（1）下面說法中正確的是 （）A離散型隨機變量的期望E反映了取值的概率的平均值。B離散型隨機變量的方差D反映了取值的平均水平。C離散型隨機變量的期望E反映了取值的平均水平。D離散型隨機變量的方差D反映了取值的概率的平均值。解：選C說明：此題考查離散型隨機變量的期望、方差的概念。（2）、（2001年高考題）一個袋子里裝有大小

3、相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出兩個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 。解：含紅球個數(shù)的E=0+1+2=1.2說明：近兩年的高考試題與考試說明中的“了解，會”的要求一致，此部分以重點知識的基本題型和內(nèi)容為主，突出應(yīng)用性和實踐性及綜合性?？忌鶗?qū)︻}意理解錯誤，或?qū)Ω拍?、公式、性質(zhì)應(yīng)用錯誤等，導(dǎo)致解題錯誤。例2、設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求E、D101P12剖析：應(yīng)先按分布列的性質(zhì)，求出的值后，再計算出E、D。解：因為隨機變量的概率非負(fù)且隨機變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1，所以解得。于是，的分布列為101P所以E（1），D說明：解答本題時，應(yīng)防止機械地套用期望和

4、方差的計算公式，出現(xiàn)以下誤解：E。練習(xí)：已知的分布列為-101P(1)求E,D,，(2) 若=2+3,求E,D解：（1）E=,D,=（2）E=E(2+3)= 2 E+3=,D=例3、人壽保險中（某一年齡段），在一年的保險期內(nèi)，每個被保險人需交納保險費元，被保險人意外死亡則保險公司賠付3萬元，出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬元，經(jīng)統(tǒng)計此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是，非意外死亡的概率為，則需滿足什么條件，保險公司才可能盈利？剖析：要使保險公司能盈利，需盈利數(shù)的期望值大于0，故需求E。解：設(shè)為盈利數(shù)，其概率分布為P且E要盈利，至少需使的數(shù)學(xué)期望大于0，故。說明：（1）離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的

5、平均值（2）本題中D有什么實際意義？例4：把4個球隨機地投入4個盒子中去，設(shè)表示空盒子的個數(shù)，求E、D剖析：每個球投入到每個盒子的可能性是相等的，總的投球方法數(shù)為，空盒子的個數(shù)可能為0個，此時投球方法數(shù)為；空盒子的個數(shù)為1時，此時投球方法數(shù)為，。解：的所有可能取值為0，1，2，3。所以的分布列為：0123P所以E，D。說明：本題的關(guān)鍵是正確理解的意義，寫出的分布列。例5、已知兩家工廠，一年四個季度上繳利稅如下：（單位：萬元）季度一二三四季平均值甲廠7050804060乙廠5565556560試分析兩廠上繳利稅狀況，并予以說明。解：設(shè)隨機變量與分別表示甲、乙兩廠上繳利稅數(shù)，依題意有P(=k)=，

6、P(=k)=(k=1，2，3，4)E=(70+50+80+40)=60E=(55+65+55+65)=60E2=(702+502+802+402)=3850E2=(552+652+552+652)=3625D=E2-(E)2=250，D=E2-( E)2=25由上述計算可知，兩廠上繳利稅的期望相等，說明平均水平相同；而甲廠的方差大于乙廠的方差，說明乙廠的波動性小，生產(chǎn)穩(wěn)定；甲廠的波動性大，導(dǎo)致生產(chǎn)不穩(wěn)定。說明：本題考查利用離散型隨機變量的方差與期望的知識，分析解決實際問題的能力。例6、(1)設(shè)隨機變量具有分布列為P(=k)=(k=1，2，3，4，5，6)，求E、E(2+3)和D。(2) 設(shè)隨機

7、變量的分布列為P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。(3)一次英語測驗由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，每個選對得3分，選錯或不選均不得分，滿分150分，某學(xué)生選對每一道題的概率為0.7，求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。解：(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+x6P6=1+2+3+6=3.5E(2+3)=2E+3=10D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(x6-E)2P6=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(6-3.5)2=17.5(2) E=(1+2+n)=D=E2-(E)2=(n2-1)(3)設(shè)為該生選對試題個數(shù)，為成績。則(50，0.7)，=3E=500.7=35；D=500.70.3=10.5故E=E(3)=3E=105D=D(3)=9D=94.5說明：可根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差的概念、公式及性質(zhì)解答。三、課堂小結(jié)：1、利用離散型隨機變量的方差與期望的知識，可以解決實際問題。利用所學(xué)知識分析和解決實際問題