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文檔簡介
1、離散型隨機變量的期望值和方差一、基本知識概要:1、 期望的定義:一般地,若離散型隨機變量的分布列為x1x2x3xnPP1P2P3Pn則稱E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值,簡稱期望。它反映了:離散型隨機變量取值的平均水平。若=a+b(a、b為常數(shù)),則也是隨機變量,且E=aE+b。 E(c)= c特別地,若B(n,P),則E=nP2、 方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義:D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(xn-E)2Pn+稱為隨機變量的方差。D的算術(shù)平方根=叫做隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。且有D(a
2、+b)=a2D,可以證明D=E2- (E)2。若B(n,p),則D=npq,其中q=1-p.3、特別注意:在計算離散型隨機變量的期望和方差時,首先要搞清其分布特征及分布列,然后要準(zhǔn)確應(yīng)用公式,特別是充分利用性質(zhì)解題,能避免繁瑣的運算過程,提高運算速度和準(zhǔn)確度。二、例題:例1、(1)下面說法中正確的是 ()A離散型隨機變量的期望E反映了取值的概率的平均值。B離散型隨機變量的方差D反映了取值的平均水平。C離散型隨機變量的期望E反映了取值的平均水平。D離散型隨機變量的方差D反映了取值的概率的平均值。解:選C說明:此題考查離散型隨機變量的期望、方差的概念。(2)、(2001年高考題)一個袋子里裝有大小
3、相同的3個紅球和2個黃球,從中同時取出兩個,則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 。解:含紅球個數(shù)的E=0+1+2=1.2說明:近兩年的高考試題與考試說明中的“了解,會”的要求一致,此部分以重點知識的基本題型和內(nèi)容為主,突出應(yīng)用性和實踐性及綜合性??忌鶗?qū)︻}意理解錯誤,或?qū)Ω拍?、公式、性質(zhì)應(yīng)用錯誤等,導(dǎo)致解題錯誤。例2、設(shè)是一個離散型隨機變量,其分布列如下表,試求E、D101P12剖析:應(yīng)先按分布列的性質(zhì),求出的值后,再計算出E、D。解:因為隨機變量的概率非負(fù)且隨機變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1,所以解得。于是,的分布列為101P所以E(1),D說明:解答本題時,應(yīng)防止機械地套用期望和
4、方差的計算公式,出現(xiàn)以下誤解:E。練習(xí):已知的分布列為-101P(1)求E,D,,(2) 若=2+3,求E,D解:(1)E=,D,=(2)E=E(2+3)= 2 E+3=,D=例3、人壽保險中(某一年齡段),在一年的保險期內(nèi),每個被保險人需交納保險費元,被保險人意外死亡則保險公司賠付3萬元,出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬元,經(jīng)統(tǒng)計此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是,非意外死亡的概率為,則需滿足什么條件,保險公司才可能盈利?剖析:要使保險公司能盈利,需盈利數(shù)的期望值大于0,故需求E。解:設(shè)為盈利數(shù),其概率分布為P且E要盈利,至少需使的數(shù)學(xué)期望大于0,故。說明:(1)離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的
5、平均值(2)本題中D有什么實際意義?例4:把4個球隨機地投入4個盒子中去,設(shè)表示空盒子的個數(shù),求E、D剖析:每個球投入到每個盒子的可能性是相等的,總的投球方法數(shù)為,空盒子的個數(shù)可能為0個,此時投球方法數(shù)為;空盒子的個數(shù)為1時,此時投球方法數(shù)為,。解:的所有可能取值為0,1,2,3。所以的分布列為:0123P所以E,D。說明:本題的關(guān)鍵是正確理解的意義,寫出的分布列。例5、已知兩家工廠,一年四個季度上繳利稅如下:(單位:萬元)季度一二三四季平均值甲廠7050804060乙廠5565556560試分析兩廠上繳利稅狀況,并予以說明。解:設(shè)隨機變量與分別表示甲、乙兩廠上繳利稅數(shù),依題意有P(=k)=,
6、P(=k)=(k=1,2,3,4)E=(70+50+80+40)=60E=(55+65+55+65)=60E2=(702+502+802+402)=3850E2=(552+652+552+652)=3625D=E2-(E)2=250,D=E2-( E)2=25由上述計算可知,兩廠上繳利稅的期望相等,說明平均水平相同;而甲廠的方差大于乙廠的方差,說明乙廠的波動性小,生產(chǎn)穩(wěn)定;甲廠的波動性大,導(dǎo)致生產(chǎn)不穩(wěn)定。說明:本題考查利用離散型隨機變量的方差與期望的知識,分析解決實際問題的能力。例6、(1)設(shè)隨機變量具有分布列為P(=k)=(k=1,2,3,4,5,6),求E、E(2+3)和D。(2) 設(shè)隨機
7、變量的分布列為P(=k)= (k=1,2,3,n),求E和D。(3)一次英語測驗由50道選擇題構(gòu)成,每道有4個選項,其中有且僅有一個是正確的,每個選對得3分,選錯或不選均不得分,滿分150分,某學(xué)生選對每一道題的概率為0.7,求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。解:(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+x6P6=1+2+3+6=3.5E(2+3)=2E+3=10D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(x6-E)2P6=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(6-3.5)2=17.5(2) E=(1+2+n)=D=E2-(E)2=(n2-1)(3)設(shè)為該生選對試題個數(shù),為成績。則(50,0.7),=3E=500.7=35;D=500.70.3=10.5故E=E(3)=3E=105D=D(3)=9D=94.5說明:可根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差的概念、公式及性質(zhì)解答。三、課堂小結(jié):1、利用離散型隨機變量的方差與期望的知識,可以解決實際問題。利用所學(xué)知識分析和解決實際問題
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