各種等腰三角形難題

1、各類等腰三角形難題例1. 在ABC中,AB=AC,且A=20,在為AB上一點,AD=BC,連接CD.試求:BDC的度數(shù).分析:題中出現(xiàn)相等的線段,以此為突破口,構造全等三角形.解:作DAE=B=80,使AE=BA,(點D,E在AC兩側)連接DE,CE.AE=BA;AD=BC;DAE=B.DAECBA(SAS),DE=AE;DEA=BAC=20.CAE=BAE-BAC=60,又AE=AB=AC.AEC為等邊三角形,DE=CE;DEC=AEC-DEA=40.則:CDE=70;又ADE=80.故ADC=150,BDC=30.例2.已知,如圖:ABC中,AB=AC,BAC=20.點D和E分別在AB,A

2、C上,且BCD=50,CBE=60.試求DEB的度數(shù).本題貌似簡單,其實不然.解:過點E作BC的平行線,交AB于F,連接CF交BE于點G,連接DG.易知GEF,GBC均為等邊三角形.FEG=EFG=60;AFG=140,DFG=40;BCG=50;CBD=60.BDC=50=BCD,則BD=BC=BG;又ABE=20.故BGD=80,DGF=180-BGD-FGE=40.即DGF=DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.DGEDFE(SSS),得:DEG=DEF=30.所以,DEB=30.例3.已知,等腰ABC中,AB=AC,BAC=20,D和E分別為AB和AC上的點,且ABE=10,A

3、CD=20.試求:DEB的度數(shù).本題相對于上面兩道來說,難度又增加了許多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,連接BM,DM,則CMB=CBM=50.作DGBC,交AC于G,連接BG,交CD于F,連接FM.易知BCF和DGF為等邊三角形,CM=CB=CF.CMF=CFM=80,GMF=100.GFM=GFC-CFM=40;FGM=A+ABG=40.即GFM=FGM;FM=GM;又DF=DG,DM=DM.則DMFDMG,DMG=DMF=50.故DMC=130=EMB;又DCM=EBM=20.DMCEMB,DM/MC=EM/MB;又DME=BMC=50.DMECMB,DEM=CBM=50

4、.又BEC=ABE+A=30.所以,DEB=DEG-BEC=50-30=20.例4.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。 思路點撥：欲證M是BE的中點，已知DMBC，所以想到連結BD，證BDED。因為ABC是等邊三角形，DBE ABC，而由CECD，又可證E ACB，所以1E，從而問題得證。證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點所以1 ABC又因為CECD，所以CDEE所以ACB2E即1E所以BDBE，又DMBC，垂足為M所以M是BE的中點 （等腰三角形三線合一定理）例5.如圖，在ABC中，BA

5、C=90，AB=AC，ABC的平分線交AC于D，過C作BD垂線交BD的延長線于E，交BA的延長線于F，求證：BD=2CE 思路點撥：根據(jù)已知條件，易證BFEBCE，所以BF=BC，所以F=BCE，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，CE=FE，再證明ABDACF，證得BD=CF，從而證得BD=2CE證明：ABC的平分線交AC于D，F(xiàn)BE=CBE，又BE=BE，BECF，BEF=BEC，BFEBCE（ASA），CE=EF，CF=2CE，BAC=90，且AB=AC，F(xiàn)AC=BAC=90，ABC=ACB=45，F(xiàn)BE=CBE=22.5，F(xiàn)=ADB=67.5，又AB=AC，ABDACF（AAS），BD=C

6、F，BD=2CE例6. 如圖，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE過O且平行于BC，已知ADE的周長為10cm，BC的長為5cm，求ABC的周長 思路點撥根據(jù)題意先證明BDO和CEO是等腰三角形，再結合等腰三角形的性質(zhì)得BD=OD，CE=EO，根據(jù)已知ADE的周長為10cm，再加上BC的長即可得ABC的周長解：BO平分ABC，CO平分ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC，EOC=OCB，DBO=DOB，ECO=EOC，BD=OD，CE=EO（等角對等邊）AD+DE+AE=10cm，AD+BD+CE+EA=10cm，又BC的長為5cm，所以ABC的周長是：

7、AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm例7.TA共獲得： 評分共：0 條 三角形ABC，AB=AC，邊BC的中點為D（1）畫圖：作一個等邊三角形DEF，使頂點E,F分別在邊AB和AC上（2）你所作的等邊三角形DEF的邊EF與BC平行嗎？理由是什么？（3）是否可能作一個等邊三角形DEF，使它的邊EF與BC不平行？如有可能，指出角A的度數(shù)；如不可能，說出理由解：見圖作法：在三角形ABC內(nèi)部作BDECDF60度，角的兩邊分別交AB、AC于E、F，連接EF則三角形DEF就是所要求作的等邊三角形平行。理由：因為ABAC所以BC因為D是BC中點所以BDCD因為BDECDF60度所以BDECDF（

8、ASA），EDF60度所以DEDF所以三角形DEF是等邊三角形所以BDEDEF60度所以EF/BC可能。A120度證明要點：因為EF與BC不平行，所以AEAF，不妨設AEAF過F作FG/BC，交AB于G，連接DG容易證明BDGCDF所以DGDFDE，BGDCFD由DEDG得DEGDGE所以DEGCFD所以A、E、D、F四點共圓所以AEDF180度所以A120度 例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，連結DE，已知頂角等于20,CBD=60,ECB=50.求ADE的度數(shù) 解：以B為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于G，連接DG， 則：BG=BC，BGC=ACB； 已知：AB=AC

9、，A=20， 則：ABC=ACB=80， BGC=ACB=80， GBC=20， ABG=60； 已知：CBD=60， 則：ABD=20，DBG=40， BDG=BGC-DBG=40，BG=DG； 已知：ECB=50， 則：BRC=180-ABC-ECB=50； 已知：圓孤，ABG=60， 則：BE=BC=BG=DG，BGE為正三角形， EG=BE=BC=BG=DG，EGB=60， DGE=180-BGC-EGB=40；已知：EG=DG, 則：GED=EDG=(180-DGE)/2=70， ADE=180-EDG=110。 例9. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線

10、上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。 分析：欲證M是BE的中點，已知DMBC，所以想到連結BD，證BDED。因為ABC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問題得證。 證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點 所以1ABC 又因為CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點 （等腰三角形三線合一定理）例10. 如圖，已知：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時圖形中三個等腰三角形，構成了內(nèi)外

11、角的關系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關系定理來求。 解：因為，所以 因為，所以； 因為，所以（等邊對等角） 而 所以 所以 又因為 即 所以 即求得 說明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關系的重要橋梁。把邊的關系轉(zhuǎn)化成角的關系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點在后邊的解題中將進一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對等角”是對同一個三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 例11. 已知：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關系，結合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構造

12、它的一半，再證與的關系。 證明：過點A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因為 又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說明： 1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構造角的倍半關系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對線段之間的倍半關系，常采用“截長補短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法，對角間的倍半關系也同理，或構造“半”，或構造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構造出的等角等。 例12已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因為，所以 又因

13、為 所以 又D是BC的中點，所以 所以 所以，所以 說明：證法二：連結AD，通過 證明即可 例13. 如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從要證明的結論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結DE、DF 在和中， 又 而 即例題14：如圖，可以考慮延長BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進而證明，從而可證出。 證明二：延長BD到E，使DEAD，連結CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有 DF

14、平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學習中要善于從不同角度去思考、去體會，進一步提高自身的解題能力。 例15. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。分析：結合三角形內(nèi)角和定理，計算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應用。 解：因為是等邊三角形 所以 因為，所以 所以 在中，因為 所以，所以 所以例16. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上.已知：如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點，BD、CE交于O點。求證：點O在BC的垂直平分線上。 分析：欲證本題結論，實際上就是證明。而O

15、B、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個三角形全等。證明：因為在中，所以（等邊對等角）又因為D、E分別為AC、AB的中點，所以（中線定義）在和 中，所以所以（全等三角形對應角相等）。所以（等角對等邊）。即點O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OBOC”是關鍵的一點。（2）實際上，本題也可改成開放題：“ABC中，ABAC，D、E分別為AC、AB上的中點，BD、CE交于O。連結AO后，試判斷AO與BC的關系，并證明你的結論”其解決方法是和此題解法差不多的。例

16、17. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：。分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關系，觀察圖形，考慮取BC的中點。證明：過點A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，所以 所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補角定義）。所以又因為ED垂直平分AB，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。又因為（直角三角形中 角所對的邊等于斜邊的一半）。所以在和中，所以所以即。例18：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點F，連接BF，再證C

17、EBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個條件。證明：取CD中點F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對應邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對應邊、對應角相等) BFAC (內(nèi)錯角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE說明：關于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B