存在與恒成立含答案

1、 存在與恒成立1. 恒成立問題：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2. 存在問題：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3. 恰成立問題：（1）（2）4. 相等問題：（1）（2）5. 綜合問題：（1）（2）（3）（4）（5）（6） （7）（8）（9） （10）考點一.恒成立問題命題點1.參變分離：簡單最值（1）設(shè)函數(shù)f(x)x33x2，若不等式f(32sin )<m對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：令x=32sin 1,5，從而只需m>f(x)max，x1,5，f(x)3x23，令f(x)0，x±1，當x1,5時，f(x)0恒成立，即f(x)在1,5上為減函數(shù)，f

2、(x)maxf(1)4，則m>4（2）設(shè)函數(shù)，若對任意，有，求b的取值范圍。解：由題：f(x)max-f(x)min4，f(x)開口向上，對稱軸為, 最大值必為f(-1)=1-b+c或f(1)=1+b+c，（1）若,即-2b2,則最小值為, 則-2b6。（2）若,即b>2或b<-2,則|f(1)-f(-1)|=|2b|4,得|b|2, 矛盾（舍）。綜合得b：-2,2。命題點2.參變分離：二階求導與洛必達法則秒殺：洛必達法則操作步驟（分離構(gòu)造求導拋棄判斷洛必達結(jié)論）第一步：分離參數(shù)，得到；第二步：構(gòu)造函數(shù)；第三步：證明單調(diào)性；（求，可能需要二次求導，直到可以判斷導數(shù)正負終止，寫

3、出單調(diào)區(qū)間，確定極值點） 第四步：判斷當時，是否為或型）第五步：運用洛必達法則求在處極限；（=，直到代入x=a有意義可求出極限為止。）第六步：求出參數(shù)范圍（1）已知解：，（單調(diào)性不確定則二階求導），（單減），則a>-1.(2)已知解：，（單調(diào)性不確定則二階求導），故g(x)單調(diào)遞增，g(x)g(0)=(由洛必達法則），則a1.（3）已知函數(shù)=ex(exa)a2x，若當x0時成立，求a的取值范圍解：由題意得當時，,當時，令，令，則，則在上遞減，故，故，故，又，故。（4）設(shè)函數(shù)，其中是的導函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由題意得當時，,當時，令，令，則，則在上遞增，故，故，故，又，故。

4、命題點3.斜率型求參數(shù)（1）設(shè)函數(shù)，若對任意b>a>0，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：。（2）設(shè)函數(shù)，若對任意b>a>0，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：。命題點4.直接法求參數(shù)（1）已知函數(shù)，若恒成立，求a的取值范圍。解：，當，原式成立；當，不符合題意，則a-2.（2）設(shè)函數(shù)，如果當x>0時且時，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解：設(shè)，；綜上k0。命題點5.兩函數(shù)法（1）已知函數(shù)，若恒成立，求a的取值范圍。解：，?？键c二。存在性問題（1）設(shè)f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(

5、2)如果對任意的s，t都有f(s)g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等價于：g(x1)g(x2)maxM，g(x)x3x23，g(x)3x22x3x，x02g(x)0g(x)3遞減極(最)小值遞增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，最大整數(shù)M4.(2) 由題：在區(qū)間上，函數(shù)f(x)g(x)max恒成立，由(1)知，在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1.f(x)1恒成立，即xln x1恒成立，則，令h(x)=,=0，,則h(x)在單調(diào)遞增，在（1,2)單調(diào)

6、遞減，故h(x)max=h(1)=1，則a1.（2）函數(shù), , 若對任意 ，均存在，使得, 求a的取值范圍。解：由題：，f(x)在x (0,2恒成立,即=h(x),則a>h(x)max,得,令f(x)=4lnx-x-2,得=-1=,當x (0,2, >0得f(x)單調(diào)遞增,則f(x)<f(2)=4ln2-4<4lne-4=0，當x，>0, h(x)單調(diào)遞增,h(x)max=h(2)=ln2-，則a>ln2-。（3）已知函數(shù)，設(shè)a1函數(shù)g(x)=,若對任意0,1總存在,使成立,求a的取值范圍。解：實際上就是要求g(x)的值域包含（）f(x)的值域 :

7、=，x0,1,當,>0,f(x)增,當,<0,f(x)減,當x=,f(x)min=f()=-4 ，f(0)=-,f(1)=-3 f（x）值域：-4,-3;=3(x+a)(x-a),x0,1,a1，<0,g(x)單調(diào)遞減，g(0)=-2a-3,a，g(1)=1-3-2a-4,即a1或a 綜上1a。 （4）已知函數(shù)f（x）=，若存在實數(shù)t0，2，使對任意的x1，m，不等式f（x）x恒成立，試求正整數(shù)m的最大值解：不等式f（x）x，等價于x，即t即當t0，2，使對任意的x1，m，不等式t恒成立則0在x1，m上恒成立即0在x1，m上恒成立設(shè)（x

8、）=，則（x）=，設(shè)r（x）=（x）=，則r（x）=1xm，r（x）0所以r（x）在區(qū)間1，m上是減函數(shù)又r（1）=4-e-10，r（2）=2-e-20，r（3）=-3-30，故存在（2，3），使得r（）=（）=0當1x時，有（x）0，當x時，有（x）0從而y=（x）在區(qū)間1，】上遞增，在區(qū)間，+）上遞減又（1）=e-1+40，（2）=e-2+50，（3）=e-3+60，（4）=e-4+50，（5）=e-5+20，（6）=e-6-30所以，當1x5時，恒有（x）0；當x6時，恒有（x）0故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5（5）已知f(x)=ln(1+x) ，g(x)=kx 確定k的值 ，使得存

9、在t>0 對任意x (0 ，t)， 恒有丨f(x)-g(x)丨<。解：當k>1時，g(x)>x>f(x),(畫函數(shù)圖象得），丨f(x)-g(x)丨=kx-ln(1+x),令h(x)=kx-ln(1+x)-,則=，當x時，>0,.單調(diào)遞增，故h(x)>h(0)=0,即丨f(x)-g(x)丨>,滿足題意t不存在。當k<1時，存在>0,使得對任意的x(0,),f(x)>g(x),則丨f(x)-g(x)丨=ln(1+x)-kx，令m(x)=ln(1+x)-kx-,則，故當x)時，>0,單調(diào)遞增，則m(x)>m(0)=0.即丨f(x)-g(x)丨>，記與中較小的為，則當x(0,)