實(shí)數(shù)幾個(gè)基本定理

1、關(guān)于實(shí)數(shù)幾個(gè)基本定理黃翔中山大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)04級(jí)定理一 實(shí)數(shù)基本定理（戴德金實(shí)數(shù)連續(xù)性定理）實(shí)數(shù)系R按戴德金連續(xù)性準(zhǔn)這是連續(xù)的，即對(duì)R的任意分劃A|B，都存在唯一的實(shí)數(shù) r,它大于或等于下類 A的每一實(shí)數(shù)。 小于或等于上類B中的每一個(gè)實(shí)數(shù)。定理二 單調(diào)有界有極限 單調(diào)上升（下降）有上（下）界的數(shù)列必有極限存在。定理三 確界定理在實(shí)數(shù)系R內(nèi)，非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界存在。定理四 區(qū)間套定理 設(shè)an,bn是一個(gè)區(qū)間套，則必有唯一的實(shí)數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間套里，即ran ,bn 。n呂定理五Borel有限覆蓋定理 實(shí)數(shù)閉區(qū)間a,b的任一個(gè)覆蓋 E，必存在有限的子覆蓋。定理六Bol

2、zano-Weierstrass緊致性定理有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理七 Cauchy收斂原理 在實(shí)數(shù)系中，數(shù)列xn有極限存在的充分必要條件是：任給；>0,存在N，當(dāng)n>N，m>N時(shí)，有 焉xm| £名。定理一 一三是對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的描述， 定理四 一定理六是對(duì)實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性的描述，定理七是對(duì)實(shí)數(shù)完備性的描述。上述七個(gè)定理都描述了實(shí)數(shù)的連續(xù)性（或稱完備性），它們都是等價(jià)的。下面給出其等價(jià)性的證明： 定理一=定理二：設(shè)數(shù)列Xn單調(diào)上升有上界。令 B是Xn全體上界組成的集合，即B=b| Xn豈b, -n，而A=RB,則A|B是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃。事實(shí)上，由 Xn有上界知B

3、不 空。又 Xn單調(diào)上升，故X- - A，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又a - A,b二B ， 則n。，使a ： Xn° < b，即A、B不亂。故A|B是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃。根據(jù)實(shí)數(shù)基本定理,存在唯一的rR使得對(duì)任意a A，任意b B，有a乞r乞b。下證lim xn = r。事實(shí)上,n對(duì)一； 0，由于r - ； A，知N，使得r - ； ： Xn。又Xn單調(diào)上升。故當(dāng)n>N時(shí),有r - ； ： xN - xn。注意到rB，便有xn - rr ;。故當(dāng)n>N時(shí)有2 2rg£xn £r + e，于是 xn r £ g。這就證明了nmxn

4、汀若Xn單調(diào)下降有下界,r，則則令yn = "Xn，則Yn就單調(diào)上升有上界，從而有極限。設(shè)極限為lim xn =lim(-yn) = -lim yn = -r。定理二證完。 nnn_定理二=定理三：只需證明在實(shí)數(shù)系 R內(nèi)，非空的有上界的數(shù)集必有上確界存在。設(shè)數(shù)集X非空，且有上界。則 b R，使得對(duì)-xX，有x_b。又幕R是全序集，.對(duì)- x,y R，x乞y與x y有且只有一個(gè)成立。故-r R, X。 X ,有X。豈r與x° . r有且只有一個(gè)成立。故r是X的上界與r不是X的上界有且只有一個(gè)成立。 X有上界，. 實(shí)數(shù)是X的 上界。若不存在實(shí)數(shù)不是 X的上界，則由上知，-實(shí)數(shù)都

5、是X的上界，這顯然與 X非空矛盾。故ai,d R，使得ai不是X的上界，bi是X的上界。貝UX。 X使得a,：x。乞b。用a, ,bi的中點(diǎn)色一bl二等分ai,bi，如果引b1是X的上界，則取2 2a2 = a4,b2 = a1 £ b1 ；如果_-不是X的上界，則取a2 = 1 ? ,b2 = b,。繼續(xù)用生皂二等分a2，b2，如果a皂是X的上界，則取as =a2,b32 b2 ;如果a2b222不是x的上界，則取22 2 2a2b2a3,匕3 = b?。如此繼續(xù)下去，便得到兩串序列2an,bn。其中an都不是X的上界且單調(diào)上升有上界（例如 b）, bn都是X的上界且單調(diào)下降有下界

6、（例如 a-）。并且bn - an = bl ：ai T 0 （當(dāng)nT旳時(shí)）。由a.單調(diào)上升2有上界知有：存在，使得- -lim an。下證1 = supX。事實(shí)上；lim a. - -, 對(duì) nJfXiV& >0,2N $>0，當(dāng)nA N名時(shí)有P - & <an。又丁 an都不是X上界二對(duì)每一個(gè),x ； X，使得 aN. 1 ： x ；。故對(duì) 一 ； 0,X，使得 - -:aN / ： x ；。若x0 X ,使得 x:，則由 bn = an b12；1知 lim._bn = im._an'嘰篤： 二:。故n0 0 ,使得x0bn0。又bn都是X的上界

7、，故對(duì)x X有x遼bn°< x0。而x0 X ,故x° : x°，這是不可能的。故對(duì) -x X，有x°豈：。綜上、即有,=supX。即X 有上確界存在。定理三二定理四：由條件知集合 A=an| n= 1,2,非空，且有上界(例如 b,)。故由確界定理知A有上確界，記為：。則對(duì)-an A，有an乞:。同理可知集合B 二bn |n =1,2,有下確界，記為 1。則對(duì)-bn B，有 bn _ 一：。又；im (g - a.) =0，由上可知bn - a* 一。兩邊取極限，令n有0 _ - -。又顯然_ 。否則由于a是A的上確界，則2ani A，使得a&#

8、169; a 0 ；同理mb% B，使得bn2 ，則有 bn <a < P < an。又由區(qū)間套的構(gòu)造可知，對(duì)寸n,N+，記k=max (n,m),則有an蘭ak蘭bk <bm。故有a蘭bn2，矛盾。故必有P o故P =a，記為r。則對(duì)Pn迂N+， 有an乞r空bn。下證具有這一性質(zhì)的點(diǎn)是唯一的。用反證法，如果還有另一r- r，使得QOru Can,bn。由于 an Er,rYbn對(duì)一切 n成立，故 r r 蘭bn an,n= 1,2，,令 n £n t血，得r r = 0 ,與r學(xué)r矛盾。故這樣的r是唯一的，即存在唯一的實(shí)數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間里，即r

9、an ,bn 。n=1定理四二定理五：用反證法。設(shè)e是區(qū)間a,b的一個(gè)覆蓋，但a,b沒有E的有限子覆蓋。 記a,bi =a,b,二等分a,b，則必有一區(qū)間沒有 E的有限子覆蓋(否則把兩區(qū)間的E的有限子覆蓋的元素合起來(lái)構(gòu)成一新的集合E',則E'是a,b的E的有限子覆蓋，即 a,b有E的有限子覆蓋與反證假設(shè)矛盾)，記其為a2,b2。二等分a2,b2，則必有一區(qū)間沒有 E的有限子覆蓋，記為a3,b3。如此繼續(xù)下去，得到一組實(shí)數(shù)的閉區(qū)間序列an,bn, n=1,2，滿足(i)時(shí)&©, n = 1,2，；d a1(叫冋-和哄二=0。故an,bn構(gòu)成一個(gè)區(qū)間套，且每個(gè)an

10、 ,bn都沒有E的有限子覆蓋。則由區(qū)間套定理有存在唯一的實(shí)數(shù)r,使得nan,bn。又 n a,bn ¥由覆蓋的定義有G , ) E，使得(，：)，即r :：。又由上區(qū)間套定理的證明可知 r = supA = inf B，其中 A =an |n = 1,2, , B =bn | n = 1,2, 。故 an A ,使得:-:an - r , -ibn - B，使得 r < bn < -。設(shè) k 二 maxri| ,n2，貝U:-<ani - ak _r _bk _bn2 ： 一：，即有 G , ）覆蓋ak,bk。這與an,bn（ n=1,2,）沒有E的有限子覆蓋的構(gòu)造

11、矛盾，故a,b必有E的有限子覆蓋。定理五=定理六：設(shè)數(shù)列xn有界，即實(shí)數(shù)-la,b，且a<b，有xn a,b,n =1,2,。用反證法，如果xn無(wú)收斂子數(shù)列，則對(duì)-x ：二a,b, TC x, ： x）, x ：= （： x, ： x），使得只有有限個(gè) Xn C x, :x）。（如果不然，即-t a,b，對(duì)-（二，：），c （二，:），有（，：）中有無(wú)限1i個(gè)xn。選定xn （c -1, c 1），再選n2 n，使xn- （c ,c）。這是辦得到的，因1 2 21111為（c - ，c ）包含數(shù)列的無(wú)限多項(xiàng)。再取 n3 n2，使Xn3 （c - ，c ）。如此繼續(xù)下22331 1去，便得

12、到xn的一子數(shù)列Xnk。令kT旳，則有匚）蘭四乂入蘭Fm（C+）。1 1又何（一1）問2匸），kimxnc與反證假設(shè)矛盾）。又以這樣的Cx,7nk作為元素組成的集合顯然是a,b的一覆蓋，記為 E。則由Borel有限覆蓋定理知a,b有E 的有限子覆蓋。而E中的每個(gè)元素都只包含xn的有限項(xiàng)，有限個(gè)有限的數(shù)相加仍為有限數(shù)，故a,b只包含xn的有限項(xiàng)。這與xn a,b, n=1,2，矛盾，故xn必有收斂子數(shù)列，即有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理六=定理七：必要性：設(shè)在實(shí)數(shù)系中，數(shù)列xn有極限存在，則 一 ； 0, N 0,使得只要n > N，有xn - a v % （記”墜乂“ = a）。因此只要n

13、 > N , m > N，就有 Xn Xm蘭Xn a' +|xm -玄£靂十% = E。必要性得證。充分性：設(shè)在實(shí)數(shù)系中，數(shù)列 Xn滿足：一；0， N 0，當(dāng) n A N,m A N時(shí)，有Xn -Xm| V E，即Xn是基本列。先證焉是有界的。事實(shí)上，取 % =1，則 mN A0，使得當(dāng) n A N ,m A N 時(shí)，有 x. - Xm v % =1。取定一 n> N，則 有 Xn.= Xn-Xn。+Xn°| 蘭 Xn-+ X.。< +|Xn°|。取 M=|XJ, XJ"' , Xn| +|Xn0 ，則有Xn M（

14、 n =1,2，）。這就證明了 Xn是有界的。再證明Xn有極限存在。由Bolzano-Weierstrass緊致性定理可知xn有子數(shù)列xnk，使得lim xnk存在，記為a。下證lim Xn =a。事實(shí)上,寸名>0，由題設(shè)知三Ni > 0，當(dāng)n > Ni, Ni時(shí)，有Xn - Xm £ %。又丁 kmxnk =a，二 Hko，只要 nk >nko，就有 Xnk -a<% 。取 N = max(Ni, n)，則只要n a N，選取nk > N，就有Xn a蘭Xn Xnk + Xnk - a £ % + % = g。這就證明了 nimXn &

15、quot;。即Xn有極限存在。充分性得證。綜上，定理七證完。定理七=定理一：對(duì)任意給定的實(shí)數(shù) R的分劃A|B , ； A、B非空，.可任取點(diǎn)aAQ B。又；分劃滿足不亂，.a-i:b1。用a1, b|的中點(diǎn) 空b1二等分a1,b| ，2如果 aibB，則取a2二 aib =aibl；如果 ai bl. a。則取2 2 2ai bia丁，5 5。分劃滿足不漏對(duì)任意實(shí)數(shù)，或者屬于A，或者屬于B。故叭A或吩壬B。繼續(xù)用屮二等分&，如果貯H B，則取a3二a?：二也 b2 ；如果生 如 A，則取a如4二b?。如此繼續(xù)下去，2 2 2便得到兩串序列an,bn。其中an A單調(diào)上升有上界（例如 b

16、i）， bn B單調(diào)下降有b a下界（例如ai），并且bn -an1 n丄一；0 （當(dāng)n；心時(shí)）。下面用柯西收斂原理來(lái)證明2lim an存在。事實(shí)上如果不然，則日名0 >0，VN，三nN > N,mN > N，有anN -amN蘭5。不妨設(shè)n” -mN，由an單調(diào)上升有anN -aN - anN - amN - ；o。；對(duì)一 N上式都成立（N）， 取N =i, nn比，N'，并把所得的不等式相加得 anN. -印k；o。其中 k為不等式的個(gè)數(shù)。故 anN. =ai +k%T十吃，當(dāng)kT血時(shí)。而由N的取法可知對(duì)每一個(gè) k都有相應(yīng)的N '與之對(duì)應(yīng)，即有相應(yīng)的 nN.與之對(duì)應(yīng)。故對(duì) _m 0， n0 0 ,使得an0>an>M。即an無(wú)界，與有界矛盾。故liman存在，記為r。下證對(duì)00 a n n-a A,b B，有a空r空b。這等價(jià)于證明對(duì) -a :：: r,b . r，有a A,b B。事實(shí)上，b - ai一a ： r，由lit an 二 r 知-n，使 a ： a 二 A。故 a A。而對(duì)一 b . r，由 bn 二 an - 一 n12 n知lim bn = r。故 n2，使b bnB