八年級(jí)數(shù)學(xué)因式分解提優(yōu)材料(共53頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項(xiàng)式的公因式的確定方法是： （1）當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次冪。 （2）系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。下面我們通過(guò)例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正

2、數(shù)，在提出“”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。 解： （2）有時(shí)將因式經(jīng)過(guò)符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，是在因式分解過(guò)程中常用的因式變換。 解： 2. 利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程 例：計(jì)算 分析：算式中每一項(xiàng)都含有，可以把它看成公因式提取出來(lái)，再算出結(jié)果。 解：原式 3. 在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用 例：不解方程組，求代數(shù)式的值。 分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結(jié)果。 解： 把和分別為3和帶入上式，求得代數(shù)式的值是。 4. 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例：

3、證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。 分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，接著只需證明每一項(xiàng)都是10的倍數(shù)即可。 對(duì)任意自然數(shù)n，和都是10的倍數(shù)。 一定是10的倍數(shù)5、中考點(diǎn)撥： 例1。因式分解 解： 說(shuō)明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒(méi)有公因式，若沒(méi)有，看是否能通過(guò)變形轉(zhuǎn)換得到。 例2分解因式： 解： 說(shuō)明：在用提公因式法分解因式前，必須對(duì)原式進(jìn)行變形得到公因式，同時(shí)一定要注意符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡(jiǎn)。題型展示： 例1. 計(jì)算： 精析與解答： 設(shè)，則 說(shuō)明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算，若直接計(jì)算，運(yùn)算量必然很大。其中2000、2001重復(fù)出現(xiàn)，又有的特點(diǎn)，可通過(guò)設(shè)未

4、知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡(jiǎn)求值，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。 例2. 已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值。 分析：常規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比較麻煩。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式。 解：是及的公因式 也是多項(xiàng)式的二次因式 而 b、c為整數(shù) 得： 說(shuō)明：這是對(duì)原命題進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式，從而簡(jiǎn)便求得。 例3. 設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解： 都是大于1的自然數(shù) 是合數(shù) 說(shuō)明：在大于1的正數(shù)中，除了1和這個(gè)數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只

5、能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式： （1） （2）（n為正整數(shù)） （3） 2. 計(jì)算：的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4. 證明：能被45整除。 5. 化簡(jiǎn)：，且當(dāng)時(shí)，求原式的值。2、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補(bǔ)充：歐拉公式： 特別地：（1）當(dāng)時(shí)，有 （2）當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。 運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。 用

6、公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解【分類解析】 1. 把分解因式的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式進(jìn)行分解，最后得到，故選擇B。說(shuō)明：解這類題目時(shí)，一般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特征，通過(guò)添加項(xiàng)湊成符合公式的形式。同時(shí)要注意分解一定要徹底。 2. 在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用 例：已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求的值。 分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，可假設(shè)另一個(gè)因式，再用待定系數(shù)法即可求出的值。 解：

7、根據(jù)已知條件，設(shè) 則 由此可得 由（1）得 把代入（2），得 把代入（3），得 3. 在幾何題中的應(yīng)用。 例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。 分析：因?yàn)轭}中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。 解： 為等邊三角形。 4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用 例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。 分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來(lái)，然后進(jìn)行變形和討論。 解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為（為整數(shù)） 則 由此可見(jiàn)，一定是8的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥： 例1：因式分解：_。 解： 說(shuō)明：因式分解時(shí)，先看有沒(méi)有公因式。此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公

8、式分解徹底。 例2：分解因式：_。 解： 說(shuō)明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示： 例1. 已知：， 求的值。 解： 原式 說(shuō)明：本題屬于條件求值問(wèn)題，解題時(shí)沒(méi)有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。 例2. 已知， 求證： 證明： 把代入上式， 可得，即或或 若，則， 若或，同理也有 說(shuō)明：利用補(bǔ)充公式確定的值，命題得證。 例3. 若，求的值。 解： 且 又 兩式相減得 所以 說(shuō)明：按常規(guī)需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值。3. 若

9、是三角形的三條邊，求證：4. 已知：，求的值。 5. 已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求 （1）的值；（2）的值。4、用分組分解法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運(yùn)用公式。使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時(shí)，必須有預(yù)見(jiàn)性。能預(yù)見(jiàn)到下一步能繼續(xù)分解。而“預(yù)見(jiàn)”源于細(xì)致的“觀察”，分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。 應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時(shí)它在代數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。 下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解?！痉诸惤馕觥?. 在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明題中的應(yīng)用

10、例1. 把多項(xiàng)式分解因式，所得的結(jié)果為（ ） 分析：先去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，然后分組搭配，繼續(xù)用公式法分解徹底。 解：原式 故選擇C 例2. 分解因式 分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；此題也可把，分別看作一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解法1： 解法2： 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例：已知三條線段長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足 證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形 分析：構(gòu)成三角形的條件，即三邊關(guān)系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊” 證明： 3. 在方程中的應(yīng)用 例：求方程的整數(shù)解

11、 分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問(wèn)題，直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y，故可考慮借助因式分解求解 解： 4、中考點(diǎn)撥 例1.分解因式：_。 解： 說(shuō)明：觀察此題是四項(xiàng)式，應(yīng)采用分組分解法，中間兩項(xiàng)雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應(yīng)把后三項(xiàng)結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 解： 說(shuō)明：前兩項(xiàng)符合平方差公式，把后兩項(xiàng)結(jié)合，看成整體提取公因式。 例3. 分解因式：_ 解： 說(shuō)明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。5、題型展示： 例1. 分解因式： 解： 說(shuō)明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號(hào)，再分組，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公

12、式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解：ab+cd= 說(shuō)明：首先要充分利用已知條件中的1（任何數(shù)乘以1，其值不變），其次利用分解因式將式子變形成含有ac+bd因式乘積的形式，由ac+bd=0可算出結(jié)果。 例3. 分解因式： 分析：此題無(wú)法用常規(guī)思路分解，需拆添項(xiàng)。觀察多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí)，它的值為0，這就意味著的一個(gè)因式，因此變形的目的是湊這個(gè)因式。 解一（拆項(xiàng)）： 解二（添項(xiàng)）： 說(shuō)明：拆添項(xiàng)法也是分解因式的一種常見(jiàn)方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚥鹨淮雾?xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，看看是否可解？【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 填空題： 2. 已知：3. 分解因式：4. 已知：，試求A的表達(dá)式。 5. 證明：5、用十字相乘法把二次

13、三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】 對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。 對(duì)于二次三項(xiàng)（a、b、c都是整數(shù)，且）來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù)滿足，并且，那么二次三項(xiàng)式即可以分解為。這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來(lái)確定。 下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸惤馕觥?1. 在方程、不等式中的應(yīng)用 例1. 已知：，求x的取值范圍。 分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分

14、解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 分析：應(yīng)當(dāng)把分成，而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2，可能分解成，或者分解成，由此分為兩種情況進(jìn)行討論。 解：（1）設(shè)原式分解為，其中a、b為整數(shù)，去括號(hào)，得： 將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得： 解得： 此時(shí)，原式 （2）設(shè)原式分解為，其中c、d為整數(shù)，去括號(hào)，得： 將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得： 解得： 此時(shí)，原式 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例. 已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積。 分析：要求長(zhǎng)方形的面積，需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。 解： 或 又 解得：或 長(zhǎng)方形的面積為15cm2或 3、

15、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。 分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。 證明一： 是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)） 是7的倍數(shù) 而2與7互質(zhì)，因此，是7的倍數(shù)，所以是49的倍數(shù)。 證明二：是7的倍數(shù)，設(shè)（m是整數(shù)） 則 又 x，m是整數(shù)，也是整數(shù) 所以，是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥 例1.把分解因式的結(jié)果是_。 解： 說(shuō)明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。 例2. 因式分解：_ 解： 說(shuō)明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)，否則由于不慎將造成錯(cuò)誤。5、題型展示 例1. 若能分解為

16、兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在兩種情況： 由（1）可得：，由（1）可得： 故選擇C。 說(shuō)明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過(guò)待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。 例2. 已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。 求證： 證明： 說(shuō)明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。 例3. 若有一因式。求a，并將原式因式分解。 解：有一因式 當(dāng)，即時(shí)， 說(shuō)明：由條件知，時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個(gè)因式是，分解時(shí)盡量出現(xiàn)，從而分解徹底?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：（

17、1） （2）（3）2. 在多項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式的因式？3. 已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. 已知：，求的值。7、因式分解小結(jié)【知識(shí)精讀】 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。 1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式； 6. 題目中沒(méi)有指定數(shù)的范

18、圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無(wú)公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；下面我們一起來(lái)回顧本章所學(xué)的內(nèi)容?！痉诸惤馕觥?1. 通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，分別看

19、成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過(guò)變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過(guò)程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說(shuō)明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式

20、，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥： 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說(shuō)明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：_ 解： 說(shuō)明：利用等式化繁為易。題型展示： 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 解： 說(shuō)明：代數(shù)證明問(wèn)題在初二是較為困難的問(wèn)題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說(shuō)明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4. 求證

21、：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。10、分式的運(yùn)算【知識(shí)精讀】 1. 分式的乘除法法則 ； 當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先進(jìn)行因式分解再約分。 2. 分式的加減法 （1）通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡(jiǎn)公分母。 求最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵，它的法則是： 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最高的。 （2）同分母的分式加減法法則 （3）異分母的分式加減法法則是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再?/p>

22、減。 3. 分式乘方的法則 （n為正整數(shù)） 4. 分式的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，函數(shù)等方面有重要應(yīng)用。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題： （1）注意運(yùn)算順序及解題步驟，把好符號(hào)關(guān)； （2）整式與分式的運(yùn)算，根據(jù)題目特點(diǎn)，可將整式化為分母為“1”的分式； （3）運(yùn)算中及時(shí)約分、化簡(jiǎn)； （4）注意運(yùn)算律的正確使用； （5）結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式。下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)分式的四則運(yùn)算。【分類解析】 例1：計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 分析：原式 故選C 說(shuō)明：先將分子、分母分解因式，再約分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，計(jì)算就復(fù)雜了，我們可以用替換待求式中

23、的“1”，將三個(gè)分式化成同分母，運(yùn)算就簡(jiǎn)單了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本題先化簡(jiǎn)，然后代入求值。化簡(jiǎn)時(shí)在每個(gè)括號(hào)內(nèi)通分，除號(hào)改乘號(hào)，除式的分子、分母顛倒過(guò)來(lái)，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個(gè)字母的代數(shù)式來(lái)表示另一個(gè)字母，帶入化簡(jiǎn)后的式子求值。這是解決條件求值問(wèn)題的一般方法。 解： 故原式 例4：已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且，那么的值是多少？ 分析：已知條件是一個(gè)復(fù)雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數(shù)，進(jìn)行簡(jiǎn)化。 解：由已知條件得： 所以 即 又因?yàn)?所以 例5：化簡(jiǎn)： 解一：原式 解二：原式 說(shuō)明：解法一是一般方法，但遇到的問(wèn)題是通分后分式加法的結(jié)果中分子是一個(gè)四

24、次多項(xiàng)式，而它的分解需要拆、添項(xiàng)，比較麻煩；解法二則運(yùn)用了乘法分配律，避免了上述問(wèn)題。因此，解題時(shí)注意審題，仔細(xì)觀察善于抓住題目的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?例1、計(jì)算： 解：原式 說(shuō)明：分式運(yùn)算時(shí)，若分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先因式分解。 例2、已知：，則_。 解： 說(shuō)明：分式加減運(yùn)算后，等式左右兩邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。中考點(diǎn)撥： 例1：計(jì)算： 解一：原式 解二：原式 說(shuō)明：在分式的運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和因式分解的使用會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程。此題兩種方法的繁簡(jiǎn)程度一目了然。 例2：若，則的值等于（ ） A. B. C. D. 解：原式 故選A【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 已知：，則的值等于（

25、） A. B. C. D. 2. 已知，求的值。3. 計(jì)算：4. 若，試比較A與B的大小。 5. 已知：，求證：。11、公式變形與字母系數(shù)方程【知識(shí)精讀】 含有字母系數(shù)的方程和只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的兩邊，這個(gè)式子的值不能為零。 公式變形實(shí)質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的方程 對(duì)于含字母系數(shù)的方程，通過(guò)化簡(jiǎn)，一般歸結(jié)為解方程型，討論如下： （1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于x的一元一次方程，解為： （2）當(dāng)時(shí)，分以下兩種情況： <1>若，原方程變?yōu)椋瑸楹愕葧r(shí)，此時(shí)x可取任意數(shù)，故原方程有無(wú)數(shù)個(gè)解； <2>若，原方程變?yōu)椋@是個(gè)矛盾等

26、式，故原方程無(wú)解。 含字母系數(shù)的分式方程主要有兩類問(wèn)題：（一）求方程的解，其中包括：字母給出條件和未給出條件：（二）已知方程解的情況，確定字母的條件。 下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)公式變形與字母系數(shù)方程 【分類解析】 1. 求含有字母系數(shù)的一元一次方程的解 例1. 解關(guān)于x的方程 分析：將x以外字母看作數(shù)字，類似解一元一次方程，但注意除數(shù)不為零的條件。 解：去分母得： 移項(xiàng)，得 2. 求含字母系數(shù)的分式方程的解 例2. 解關(guān)于x的方程 分析：字母未給出條件，首先挖掘隱含的條件，分情況討論。 解：若a、b全不為0，去分母整理，得 對(duì)是否為0分類討論： （1）當(dāng)，即時(shí)，有，方程無(wú)解。 （2）當(dāng)，即時(shí)，解之，

27、得 若a、b有一個(gè)為0，方程為，無(wú)解 若a、b全為0，分母為0，方程無(wú)意義 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，公分母，所以當(dāng)時(shí)，是原方程的解。 說(shuō)明：這種字母沒(méi)給出條件的方程，首先討論方程存在的隱含條件，這里a、b全不為0時(shí)，方程存在，然后在方程存在的情況下，去分母、化為一元一次方程的最簡(jiǎn)形式，再對(duì)未知數(shù)的字母系數(shù)分類討論求解。當(dāng)a、b中只有一個(gè)為0時(shí)，方程也存在，但無(wú)解；當(dāng)a、b全為0時(shí)，方程不存在。最后對(duì)字母條件歸納，得出方程的解。 3. 已知字母系數(shù)的分式方程的解，確定字母的條件 例3. 如果關(guān)于x的方程有唯一解，確定a、b應(yīng)滿足的條件。 分析：顯然方程存在的條件是：且 解：若且，去分母整理，得 當(dāng)且僅當(dāng)，即

28、時(shí)，解得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解 應(yīng)滿足的條件：且 說(shuō)明：已知方程有唯一解，顯然方程存在的隱含條件是a、b全不為0，然后在方程存在的條件下，求有解且唯一的條件。因?yàn)槭欠质椒匠?，需?yàn)根后確定唯一解的條件。 4. 在其它學(xué)科中的應(yīng)用（公式變形） 例4. 在物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)了公式，其中所有的字母都不為零。已知S、t，試求a。 分析：利用字母系數(shù)方程完成公式變形，公式變形時(shí)要分清哪個(gè)量是被表示的量，則這個(gè)量就是未知數(shù)，其它的量均視為已知量，然后按解字母系數(shù)方程求解。 解： 5、中考點(diǎn)撥 例1. 填空：在中，已知且，則_。 解： 例2. 在公式中，已知P、F、t都是正數(shù)，則s等于（ ） A. B. C.

29、D. 以上都不對(duì) 解： ，故選A 說(shuō)明：以上兩題均考察了公式變形。6、題型展示： 例1. 解關(guān)于x的方程 解：原方程化為： 即 說(shuō)明：本題中，常數(shù)“3”是一個(gè)重要的量，把3拆成3個(gè)1，正好能湊成公因式。若按常規(guī)在方程兩邊去分母，則解法太繁，故解題中一定要注意觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，才能找到合適的辦法。 例2. 解關(guān)于x的方程。 解：去括號(hào)： 說(shuō)明：解含字母系數(shù)的方程，在消未知數(shù)的系數(shù)時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)未知數(shù)的系數(shù)不等于0，如果方程的解是分式形式，必須化成最簡(jiǎn)分式或整式。 例3. 已知，求z。（） 分析：本題是求z，實(shí)質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的分式方程，應(yīng)確定已知量和未知量，把方程化歸為的形式，便可求解。

30、解： 又 【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 解關(guān)于x的方程，其中。2. 解關(guān)于x的方程。3. a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程的解等于零？4. 已知關(guān)于x的方程有一個(gè)正整數(shù)解，求m的取值范圍。 5. 如果a、b為定值，關(guān)于x的一次方程，無(wú)論取何值，它的根總是1，求a、b的值。12、分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。 2. 解分式方程的一般步驟： （1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程； （2）解這個(gè)整式方程； （3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一

31、般不要求檢驗(yàn)。 3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用?！痉诸惤馕觥?例1. 解方程： 分析：首先要確定各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘，解完后記著要驗(yàn)根 解：方程兩邊都乘以，得 例2. 解方程 分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個(gè)分式的分母發(fā)現(xiàn)的值相差1，而分子也有這個(gè)特點(diǎn)，因此，可將分母的值相差1的兩個(gè)分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個(gè)分式，利用分式的等值性質(zhì)求值。 解：原方程變形為：

32、方程兩邊通分，得 經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每個(gè)分式都相當(dāng)于一個(gè)假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)式之和。 解：由原方程得： 即 例4. 解方程： 分析：此題若用一般解法，則計(jì)算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。 解：原方程變形為： 約分，得 方程兩邊都乘以 注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識(shí)。因此要學(xué)會(huì)根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用特殊方法解分式方程。5、中考題解： 例1若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根

33、是：化簡(jiǎn)原方程為：把代入解得，故選擇D。 例2. 甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹？ 分析：利用所用時(shí)間相等這一等量關(guān)系列出方程。 解：設(shè)甲班每小時(shí)種x棵樹，則乙班每小時(shí)種（x+2）棵樹， 由題意得： 答：甲班每小時(shí)種樹20棵，乙班每小時(shí)種樹22棵。 說(shuō)明：在解分式方程應(yīng)用題時(shí)一定要檢驗(yàn)方程的根。6、題型展示： 例1. 輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和

34、水流速度 分析：在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是“船實(shí)際速度=水速+靜水速度”，有順?biāo)⒛嫠?，取水速正、?fù)值，兩次航行提供了兩個(gè)等量關(guān)系。 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，水流速度為y千米/小時(shí) 由題意，得 答：水流速度為3千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為17千米/小時(shí)。 例2. m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？ 解：方程兩邊都乘以，得 整理，得 說(shuō)明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽車，又過(guò)b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果關(guān)于x的方程 A. B

35、. C. D. 3 3. 解方程：4. 求x為何值時(shí)，代數(shù)式的值等于2？ 5. 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做1天后，再由兩隊(duì)合作2天就完成了全部工程。已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？13、分式總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】 【分類解析】1. 分式有意義的應(yīng)用 例1. 若，試判斷是否有意義。 分析：要判斷是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因式分解，即可判斷與零的關(guān)系。 解： 即 或 中至少有一個(gè)無(wú)意義。 2. 結(jié)合換元法、配方法、拆項(xiàng)法、因式分解等方法簡(jiǎn)化分式運(yùn)算。 例2. 計(jì)算： 分析：如果先通分，分子運(yùn)算量較大，觀察

36、分子中含分母的項(xiàng)與分母的關(guān)系，可采取“分離分式法”簡(jiǎn)化計(jì)算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因?yàn)?，所以最?jiǎn)公分母為：，若采用去分母的通常方法，運(yùn)算量較大。由于故可得如下解法。 解： 原方程變?yōu)?經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。 3. 在代數(shù)求值中的應(yīng)用 例4. 已知與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值。 分析：要求代數(shù)式的值，則需通過(guò)已知條件求出a、b的值，又因?yàn)?，利用非?fù)數(shù)及相反數(shù)的性質(zhì)可求出a、b的值。 解：由已知得，解得 原式 把代入得：原式 4. 用方程解決實(shí)際問(wèn)題 例5. 一列火車從車站開出，預(yù)計(jì)行程450千米，當(dāng)它開出3小時(shí)后，因特殊任務(wù)多停一站，耽誤30分鐘，后來(lái)把速度提高了0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到

37、達(dá)目的地，求這列火車的速度。 解：設(shè)這列火車的速度為x千米/時(shí) 根據(jù)題意，得 方程兩邊都乘以12x，得 解得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根 答：這列火車原來(lái)的速度為75千米/時(shí)。 5. 在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)中，都會(huì)遇到有關(guān)公式的推導(dǎo)，公式的變形等問(wèn)題。而公式的變形實(shí)質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程。 例6. 已知，試用含x的代數(shù)式表示y，并證明。 解：由，得 6、中考原題： 例1已知，則M_。 分析：通過(guò)分式加減運(yùn)算等式左邊和右邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。 解： 例2已知，那么代數(shù)式的值是_。 分析：先化簡(jiǎn)所求分式，發(fā)現(xiàn)把看成整體代入即可求的結(jié)果。 解：原式 7、題型展示： 例

38、1. 當(dāng)x取何值時(shí)，式子有意義？當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式子值為零？ 解：由 得或 所以，當(dāng)和時(shí)，原分式有意義 由分子得 當(dāng)時(shí)，分母 當(dāng)時(shí)，分母，原分式無(wú)意義。 所以當(dāng)時(shí)，式子的值為零 例2. 求的值，其中。 分析：先化簡(jiǎn)，再求值。 解：原式 【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義？2. 有一根燒紅的鐵釘，質(zhì)量是m，溫度是，它放出熱量Q后，溫度降為多少？（鐵的比熱為c）3. 計(jì)算：4. 解方程：5. 要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要超過(guò)3天?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成。問(wèn)規(guī)定日期是多少天？ 6. 已知，求的值。3、三角形

39、及其有關(guān)概念【知識(shí)精讀】 1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 2. 三角形中的幾條重要線段： （1）三角形的角平分線（三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心） （2）三角形的中線（三條中線的交點(diǎn)叫重心） （3）三角形的高（三條高線的交點(diǎn)叫垂心） 3. 三角形的主要性質(zhì) （1）三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊； （2）三角形的內(nèi)角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； （4）三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角； （5）三角形具有穩(wěn)定性。 4. 補(bǔ)充

40、性質(zhì)：在中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則。 三角形是最常見(jiàn)的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種，而且是最簡(jiǎn)單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 5. 三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用【分類解析】 例1. 銳角三角形ABC中，C2B，則B的范圍是（ ） A. B. C. D. 分析： 因?yàn)闉殇J角三角形，所以 又C2B， 又A為銳角，為銳角 ，即 ，故選擇C。 例2

41、. 選擇題：已知三角形的一個(gè)外角等于160°，另兩個(gè)外角的比為2:3，則這個(gè)三角形的形狀是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 無(wú)法確定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一個(gè)角已知，另兩個(gè)角的比也知道，因此三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。 解：三角形的一個(gè)外角等于160° 另兩個(gè)外角的和等于200° 設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x，3x 解得： 與80°相鄰的內(nèi)角為100° 這個(gè)三角形為鈍角三角形 應(yīng)選C 例3. 如圖，已知：在中，求證：。 分析：欲證，可作ABC

42、的平分線BE交AC于E，只要證即可。為與題設(shè)聯(lián)系，又作AF/BE交CB的延長(zhǎng)線于F。 顯然EBCF，只要證即可。由可得證。 證明：作ABC的角平分線BE交AC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF/BE交CB的延長(zhǎng)線于F 又BE平分ABC，EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即2ABAF 又 ，又 例4. 已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長(zhǎng)的與之間。 分析：首先應(yīng)根據(jù)已知條件，運(yùn)用邊的不等關(guān)系，找出最小邊，然后由周長(zhǎng)與邊的關(guān)系加以證明。 證明：如圖，設(shè)的三邊為a、b、c，其中， 因此，c是最小邊， 因此，即 故最小邊在周長(zhǎng)的與之間。中考點(diǎn)撥： 例1. 選擇題：如圖是一個(gè)任意

43、的五角星，它的五個(gè)頂角的和是（ ） A. 50B. 100C. 180D. 200 分析：由于我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角、外角的知識(shí)，所以需要我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形角的問(wèn)題。 解： 所以選擇C 例2. 選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7，則第三邊x的范圍是（ ） A. 大于2B. 小于12C. 大于2小于12D. 不能確定 分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有，即 所以應(yīng)選C 例3. 已知：P為邊長(zhǎng)為1的等邊內(nèi)任一點(diǎn)。 求證： 證明：過(guò)P點(diǎn)作EF/BC，分別交AB于E，交AC于F， 則AEPABC60° 在中， 是等邊三角形 題型展示： 例1. 已知：如圖，在中，D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上

44、任意一點(diǎn)。求證： （1）BECBAC； （2）ABACBEEC。 分析：在（1）中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在（2）中，添加一條輔助線，轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出。 證明：（1）BED是的一個(gè)外角， 同理， 即 （2）延長(zhǎng)BE交AC于F點(diǎn) 即 例2. 求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。 已知：如圖，在中，是的外角，AF、BF分別平分EAB及ABD。 求證：AFB45° 分析：欲證，須證 AF、BF分別平分EAB及ABD 要轉(zhuǎn)證EABABD270° 又C90°，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和 問(wèn)題得證 證明：EABABCC ABDCABC ABCCCAB180°，C90° AF、BF分別平分EAB及ABD 在中，【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 已知：三角形的三邊長(zhǎng)為3，8，求x的取值范圍。 2. 已知：中，D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，使，求和間的關(guān)系為？ 3. 如圖，中，的平分線交于P點(diǎn)，則 （ ） A. 68°B.