高等數(shù)學課后習題及解答

1、高等數(shù)學課后習題及解答1. 設(shè) u=a-b+2c，v=-a+3b-c.試用 a，b， c 表示 2u-3v.解 2u-3v=2（ a-b+2c） -3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一個四邊形的對角線互相平分，試用向量證明它是平行四邊形.證如圖 8-1 ， 設(shè)四邊 形 ABCD中 AC 與 BD 交于 M ， 已知AM = MC ， DM故MB .ABAMMBMCDMDC .即 AB / DC 且|AB |=|DC | ，因此四邊形ABCD是平行四邊形.3. 把 ABC的 BC邊五等分，設(shè)分點依次為D1，D2，D3，D4，再把各分點與點A 連接.試以 AB=c, BC=

2、a 表向量證如圖 8-2 ，根據(jù)題意知1D1 A,1D2 A,D3 A,DA.41D3 D4BD11a,5a,D1D2a,551D2D3a,5故 D1 A=- （ ABBD1）=-a- c5D2 A=- （ ABDA=- （ ABBD2BD）=-）=-2 a- c53 a- c3DA4=- （ AB3BD4）=-54a- c.54.已知兩點M1（0，1，2）和 M2（1，-1，0） .試用坐標表示式表示向量 M1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2=（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.5.

3、 求平行于向量a=（6， 7， -6）的單位向量 .a解向量a 的單位向量為，故平行向量a 的單位向量為aa1=（ 6，7， -6）=6 , 7 ,6，a1111 1111其 中 a6272(6)211.6. 在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？A（1，-2，3），B（ 2， 3，-4）， C（2，-3，-4）， D（-2，-3， 1）.解A 點在第四卦限，B 點在第五卦限，C 點在第八卦限，D 點在第三卦限 .7. 在坐標面上和在坐標軸上的點的坐標各有什么特征？指出下列各點的位置：A（ 3， 4， 0），B（ 0， 4，3），C（ 3，0，0），D （ 0，-1， 0）.解在坐標面上

4、的點的坐標，其特征是表示坐標的三個有序數(shù)中至少有一個為零，比如xOy 面上的點的坐標為（x0， y0，0），xOz 面上的點的坐標為（x0，0， z0）， yOz 面上的點的坐標為（0， y0，z0） .在坐標軸上的點的坐標， 其特征是表示坐標的三個有序數(shù)中至少有兩個為零，比如x 軸上的點的坐標為（x0，0，0），y 軸上的點的坐標為（ 0，y0， 0）， z 軸上的點的坐標為（0，0，z0）.A 點在 xOy 面上， B 點在 yOz 面上， C 點在 x 軸上， D 點在 y 軸上.8. 求點（ a，b， c）關(guān)于（ 1）各坐標面；（2）各坐標軸；（ 3）坐標原點的對稱點的坐標.解（ 1）

5、點（ a， b，c）關(guān)于xOy 面的對稱點（a，b， -c），為關(guān)于 yOz面的對稱點為（ -a，b，c），關(guān)于 zOx面的對稱點為（ a，-b，c）.（ 2）點（ a， b， c）關(guān)于x 軸的對稱點為（a，-b， -c），關(guān)于y軸的對稱點為（ -a， b，-c），關(guān)于 z 軸的對稱點為（-a，-b， c）.（ 3）點（ a，b， c）關(guān)于坐標原點的對稱點是（-a，-b， -c）.9. 自點 P（0x0，y0，z0）分別作各坐標面和各坐標軸的垂線，寫出各垂足的坐標 .解設(shè)空間直角坐標系如圖8-3，根據(jù)題意， P0F 為點 P0 關(guān)于 xOz面的垂線，垂足F 坐標為(x0，0，z0）； P0D

6、為點 P0 關(guān)于 xOy 面的垂線，垂足D 坐標為( x0，y0，0）； P0E 為點 P0 關(guān)于 yOz 面的垂線，垂足 E坐標為(0，y0，zo ) .P0A 為點 P0 關(guān)于 x 軸的垂線，垂足A 坐標為( xo，0,0）；P0B 為點P0 關(guān)于 y 軸的垂線， 垂足 B 坐標為(0,y0 ,0) ；P0C為點 P0 關(guān)于 z 軸的垂線，垂足C 坐標為(0,0, z0 ) .10.過點 P（0x0，y0，z0）分別作平行于z 軸的直線和平行于xOy 面的平面，問在它們上面的點的坐標各有什么特點？解如圖 8-4，過 P0 且平行于z 軸的直線l 上的點的坐標，其特點是，它們的橫坐標均相同，

7、縱坐標也均相同.而過點P0 且平行于xOy 面的平面上的點的坐標，其特點是，它們的豎坐標均相同.11. 一邊長為a 的正方體放置在xOy 面上，其底面的中心在坐標原點， 底面的頂點在x 軸和 y 軸上，求它各頂點的坐標.2解如圖 8-5，已知AB=a，故 OA=OB=a ，于是各頂點的坐2標分別為A(2 a，0，0) ，B（ (0,222a，0），C（-a，0，0），D 22（0，-2 a ，0），E（22 a ，0，a ），F(xiàn)（0，22 a ，a ），G（-22 a ，20， a ），H（ 0，-2 a ， a ）.212. 求點 M（4， -3， 5）到各坐標軸的距離.解點 M 到 x 軸

8、的距離為d1=(3) 25234 ， 點 M 到 y軸 的 距 離 為d2=425241 ， 點M到z 軸 的 距 離 為d3=42(3) 2255.13.在 yOz 面上，求與三點A（3， 1， 2），B（4， -2，-2），C（0， 5，1）等距離的點 .解所求點在yOz 面上，不妨設(shè)為P（ 0，y，z），點 P 與三點 A，B， C等距離，PA32( y1)2(z2)2 ,PB42( y2)2(z2)2 ,PC( y5)2( z1)2 .由 PAPBPC 知，32( y1)2( z2)242( y2) 2( z2)2( y5) 2( z1) 2 ，9( y1) 2( z2) 216( y

9、2) 2( z2)2 ,9( y1) 2( z2) 2( y5) 2( z1)2.即解上述方程組，得y=1， z=-2.故所求點坐標為（0，1， -2）.14.試證明以三點A（4， 1， 9）， B（10，-1，6），C（ 2， 4，3）為頂點的三角形是等腰直角三角形.證由AB(104)2(11)2(69)27,AC(2BC(24)210)2(41) 2(41)2(39)27,(36)29872知 AB2AC 及 BC2ABAC2.故 ABC為等腰直角三角形.15. 設(shè)已知兩點為M1（4，2 ，1），M 2（3，0，2），計算向量的模、方向余弦和方向角.M 1M 2解向量M 1M 2=（3-4

10、， 0-2 ， 2-1） =（-1，-2 ， -1），其模M 1M 2（ -1）2（ -2）21242 .其方向余弦分別為 cos=-1， cos=-221，cos=.22方向角分別為2,3,.34316. 設(shè)向量的方向余弦分別滿足（1）cos=0；（2）cos=1；（ 3） cos=cos=0，問這些向量與坐標軸或坐標面的關(guān)系如何？解（1）由 cos=0 得知，故向量與x 軸垂直，平行于2yOz面.（2） 由 cos=1 得知=0，故向量與y 軸同向，垂直于xOz面.（3） 由 cos=cos=0 知，故向量垂直于x 軸和 y 軸，2即與 z 軸平行，垂直于xOy 面.17. 設(shè)向量 r 的

11、模是 4，它與 u 軸的夾角為，求 r 在 u 軸上的投影 .31解已知|r |=4 ，則 Prj ur=| r |cos=4?cos3=4×2=2.18. 一向量的終點在點B（2，-1，7），它在 x 軸、y 軸和 z 軸上的投影依次為 4， -4 和 7，求這向量的起點A 的坐標.解設(shè) A 點坐標為（ x，y， z），則AB =（ 2-x，-1-y，7-z），由題意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，因此A 點坐標為（ -2， -3， 0）.19. 設(shè) m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k.求向量 a=4m+3n-

12、p 在 x 軸上的投影及在y 軸上的分向量 .解a=4m+3n-p=4（ 3i+5j+8k）+3（ 2i-4j-7k） -（ 5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在 x 軸上的投影為13，在 y 軸上的分向量為7j.1. 設(shè)a3ij2k,bi2 jk ，求（1） a余弦.b及ab；（2）（ -2a）3b及a2b；（3） a,b 的夾角的解（ 1） ab（3，- 1，-2）（1,2，- 1）3ijk1 （ - 1）2（ -2）（ - 1）3，ab31122 =（5,1,7） .1（2） (2a)3b6(ab)6318a2b2(ab)2(5,1,7)ab(10,2,14)3（3 cos(a

13、,b)a b332(31)2(2)21222(1)21462212. 設(shè) a, b,c 為單位向量，滿足abc0,求abbcca.解已知 abc1, abc0,2故（ abc）（ ab c）0 .22即 abc 2ab2bc2ca0.因此abbcca122（ ab 223c）- 23.已知 M1（ 1，-1，2），M2（ 3,3,1）M 3（ 3,1,3）.求與同時垂直的單位向量.M1M 2 , M 2 M 3解M 1M2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2） =（2，4， -1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1） =（ 0，-2， 2）由于 M 1M 2取為M 2 M 3與M 1M2

14、, M2M 3同時垂直，故所求向量可a（M 1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM 2M 3 = 20jk41 =（6，-4，-4），22M1M 2知aM 2 M 3621(6,4,4)(4)2(3,4)22,682).2172171717174. 設(shè)質(zhì)量為100kg 的物體從點M1（3,1,8）沿直線移動到點M2（1,4,2），計算重力所作的功（坐標系長度單位為m，重力方向為z 軸負方向） .解M 1M2 =（ 1-3,4-1,2-8）=（ -2，3， -6）F=（ 0,0，-100×9.8） =（ 0,0，-980）W=F?M 1M2 =（0,0，-9

15、80）?（ -2,3， -6 ）=588（0J）.5. 在杠桿上支點O的一側(cè)與點O的距離為x1 的點 P1 處，有一與OP1成角1 的力 F1 作用著；在O的另一側(cè)與點O的距離為x2 的點 P2 處，有一與OP2成角2 的力 F2 作用著（圖 8-6 ），問1 ， 2 ，x1，x2，F(xiàn)1 , F2符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？解如圖 8-6 ，已知有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，又由對力矩正負符號的規(guī)定可得杠桿保持平衡的條件為F1即F1x1 sin1x1 sin1F2 x2 F2 x2sin sin20 ，2.6. 求向量 a（4，-3,4）在向量 b（2,2,1）上的投影.

16、ab( 4,3,4)(2,2,1)6解Prjbab2 .22221237. 設(shè)a(3,5,2),b(2,1,4)，問與有怎樣的關(guān)系，能使ab與 z 軸垂直？解ab =（3,5 ，-2 ）+（2,1,4 ）=（ 32,5,24）.要ab與 z 軸垂直，即要（ab ）（0,0,1 ），即（ab） ?（0，0,1 ）=0，亦即（ 32,5,24）?（0,0,1 ）=0，故（24）=0，因此2時能使ab與 z 軸垂直.8. 試用向量證明直徑所對的圓周角是直角.證如圖 8-7 ，設(shè) AB是圓 O的直徑，C點在圓周上，要證 ACB=，2只要證明ACBC0 即可. 由ACBC=( AOOC)( BOOC)=

17、 AOBOAOOC2OCBOOC2=AOAOOCAOOC2OC0 .故 ACBC , ACB為直角.9. 已知向量 a2i3 jk, bij3k和ci2 j，計算：（1） (ab)c(ac)b（2）(ab)(bc)（3）(ab)cab(2,3,1)(1,1,3)8，ac(2,3,1)(1,2,0)8，解（1）(ab)c(ac)b8(1,2,0)8(1,1,3)(0,8,24)8i24k .（2） ab=（2，-3,1）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），bc=（ 1， -1,3） +（ 1， -2,0） =（ 2， -3,3），ijk(ab)(bc)344(0,1,1)jk .233ij

18、kOAOB103(3,3,1) ，013（3） (ab)c2113121302.10. 已知 OAi3k,OBj3k ，求 OAB的面積.解由向量積的幾何意義知SOAB=12OAOB ，OAOB(3) 2(3)2119SOAB19211. 已知 a( ax , ay , az ), b(bx ,by , bz ), c(cx , cy ,cz ) ，試利用行列式的性質(zhì)證明：(ab)c(bc)a(ca)b證因為 (ab)caxbx cxayby cyazbz , (b czc)abxcx axbycyaybzcz az(ca)bcxax bxcyay byczaz ，bz而由行列式的性質(zhì)知axa

19、yazbxbybzcxcyczbxbycxcyaxaybz cx cz = ax az bxcyczayaz ， 故bybz(ab)c(bc)a(ca)b.2212. 試用向量證明不等式：aaab2222123123a1b1a2b2a3b3 ，bb其中 a1, a2 ,a3 , b1, b2 ,b3 為任意實數(shù). 并指出等號成立的條件. 證設(shè)向量 a（ a1 , a2 , a3 ）， b（ b1, b2 ,b3 ）.由aba b cos(a,b)a b ，從而a1b1a2b2a3b322a1a2a1222a 3b1b2a2a32b3，當 a1, a2 , a3與 b1, b2 ,b3 成比例，

20、即b1b2時，上述等式成立.b31. 求過點（ 3,0，-1）且與平面 3x7 y程.解所求平面與已知平面3x7 y5z125z120 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取為n=（3，-7，5），設(shè)所求平面為3x7 y5zD0.將點（ 3，0， -1）代入上式得D=-4.故所求平面方程為3x7 y5z40 .2.求過點 M0（ 2，9， -6）且與連接坐標原點及點M0 的線段OM0 垂直的平面方程 .解OM 0(2,9,6）.所求平面與OM 0垂直，可取 n= OM 0 ，設(shè)所求平面方程為2x9 y6zD0.將點 M0（ 2，9， -6）代入上式得D=-121.故所求平面方程為2x9

21、 y6z1210.3.求過（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三點的平面方程.x1y1z1解由2121211111210 ，得 x3 y2z0 ，即為所求平面方程.注設(shè) M（ x,y,z）為平面上任意一點，M i( xi ,yi , zi)(i1,2,3) 為平面上已知點 .由M1M(M 1M 2M 1M 3)0, 即xx1x2x1x3x1y y1y2y1y3y1z z1z2z10,z3z1它就表示過已知三點Mi（ i=1,2,3）的平面方程 .4. 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：（1）x=0;（2） 3y-1=0;（3）2x-3y-6=0;（4） x-3

22、y=0;（5）y+z=1;（ 6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（ 1）（ 7）的平面分別如圖8 8（a）（ g） .（1）x=0 表示 yOz 坐標面.（2）3y-1=0 表示過點（0, 1,0）且與 y 軸垂直的平面 .3（3）2x-3y-6=0 表示與 z 軸平行的平面 .（4）x-3y=0 表示過z 軸的平面 .（5）y+z=1表示平行于x 軸的平面 .（6）x-2z=0 表示過 y 軸的平面 .（7）6x+5y-z=0表示過原點的平面.5. 求平面 2x2yz50與各坐標面的夾角的余弦.解平面的法向量為n=（2，-2，1），設(shè)平面與三個坐標面xOy，yOz，zOx的夾角分

23、別為1,2 ,3 .則根據(jù)平面的方向余弦知coscosnk(2,2,1)(0,0,1)1 ,1n k22(2)21213cos2cosni( 2, n i2,1)3(1,0,0)2 ,13cos3cosnj( 2,nj2,1)3( 0,1,0)2.136. 一平面過點（1，0，-1）且平行于向量a試求這個平面方程.(2,1,1) 和b(1,1,0) ，解所求平面平行于向量a 和b，可取平面的法向量ijknab211(1,1,3) .110故所求平面為 1( x1)1( y0)3( z1)0，即xy3z40 .7. 求三平面 x3y交點.z1,2xy z0,x2 y2z3的解聯(lián)立三平面方程x3y

24、 2xyx2yz 1,z0,2z3.解此方程組得x1, y1, z3.故所求交點為（ 1， -1，3） .8. 分別按下列條件求平面方程：（ 1）平行于xOz面且經(jīng)過點（ 2，-5， 3）；（ 2）通過 z 軸和點（ -3，1， -2）；（ 3）平行于x 軸且經(jīng)過兩點（4， 0，-2）和（ 5，1， 7） .解（ 1 ）所求平面平行于xOz 面，故設(shè)所求平面方程為ByD0.將點（ 2，-5，3）代入，得5BD0，即D5B.因此所求平面方程為By5B0，即 y50.（2） 所求平面過z 軸，故設(shè)所求平面為AxBy0 .將點（ -3，1，-2）代入，得3AB0，即B3A.因此所求平面方程為Ax3A

25、y0，即 x3y0.（3） 所求平面平行于x 軸，故設(shè)所求平面方程為ByCzD0.將點（ 4，0， -2）及（ 5， 1， 7）分別代入方程得2CD0及CD , B 2B7CD0.9 D .2因此，所求平面方程為9 Dy2D zD0 ， 2即9 yz20.9.求點（ 1,2,1）到平面x2 y2z100 的距離.解利用點的距離公式M 0 ( x0 ,yo , zo )到平面AxByCzD0dAx0By0Cz0DA2B 2C 2122211031.1222223x3y1. 求過點（ 4，-1，3）且平行于直線21z1 的直線方程 .5解所求 直線與已 知直線平行 ， 故所求直線的方向向 量s(2

26、,1,5)，直線方程即為x4y1z3.2152. 求過兩點M 1(3,2,1) 和M 2 (1,0,2) 的直線方程 .解取所求直線的方向向量sM 1M 2(13,0(2),21)(4,2,1) ，因此所求直線方程為x3y2z1.4213. 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線xy2 xyz1,z4.解根據(jù)題意可知已知直線的方向向量ijks111(2,1,3).211取 x=0，代入直線方程得yz1,yz4.35解 得 y3 , z25 .這2樣就得到直線經(jīng)過的一點（0,2）.因此直線的對稱式方程為2參數(shù)方程為35.x0y2z2213x2t ,y 3t , 2z 53t.2注由于所取的直線上的點可以

27、不同，因此所得到的直線對稱式方程或參數(shù)方程得表達式也可以是不同的.4.求過點（ 2， 0，-3）且與直線x2 y3x5 y4z70,2z10垂直的平面方程 .解根據(jù)題意， 所求平面的法向量可取已知直線的方向向量，即ijns1235k4(16,14,11),2故所求平面方程為16( x16x2)14y14( y0)11z6511(z3)0.0.即5 x5. 求直線3x3y3z92 yz10,2 x2 y與直線03x8 yz230,z180的夾角的余弦 .解兩已知直線的方向向量分別為is153jk33(3,4,211), s2ijk221381(10,5,10),因此，兩直線的夾角的余弦cos(c

28、os s1, s2 )s1s2 s1 s2310451100.32x2 y42(1) 2102(z7,3x5)21026 y3z8,6. 證明直線2xy與直線z7平2xyz0行.證已知直線的方向向量分別是ijs11221ki1(3,1,5), s2312jk63(119,3,15),由 s23s1知兩直線互相平行.7. 求過點（0,2,4）且與兩平面x方程.2 z1和 y3z2平行的直線解所求直線與已知的兩個平面平行，因此所求直線的方向向量可取ijksn1n2102(2,3,1),013故所求直線方程為x02y2z4.31注本題也可以這樣解：由于所求直線與已知的兩個平面平行，則可視所求直線是分

29、別與已知平面平行的兩平面的交線，不妨設(shè)所求直線為x 2za,y 3zb.將點（ 0，2， 4）代入上式，得a8, b10.故所求直線為x 2z8,10.x4y3z5x4y231z521y 3z8. 求過點（ 3， 1，-2）且通過直線解利用平面束方程，過直線的平面方程 .的平面束方程為x4y352( y3z)0,2將點（ 3，1， -2）代入上式得11 .因此所求平面方程為20x4y35211 ( y3z)0,202即9. 求直線8x9yxy3z22z590.0,與平面 xyz10的夾角.xyz0i解已知直線的方向向量s11jk13( 2,4,112), 平面的法向量 n(1,1,1).設(shè)直線

30、與平面的夾角為, 則sincos(n, s)sn214(1)(2)(1)0,即0.s n2242(2)212(1)2(1)210. 試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系；x3y4（1）27xyzz 和 4x2 y32z3 ；（2）3和3x2y277z8；（3） x23y2z13 和x 4y z3.解設(shè)直線的方向向量為s，平面的法向量為n ，直線與平面的夾角為, 且sincos(n, s)sn .s n（1） s(2,7,3), n(4,2,2),sin(2) 22)4(7)(7)232(2)423(2)(2)2(0,2)2則0.故直線平行于平面或在平面上，現(xiàn)將直線上的點A（-3，-4，0）代入

31、平面方程，方程不成立.故點 A 不在平面上，因此直線不在平面上，直線與平面平行.（2） s(3,2,7), n(3,2,7), 由于 sn 或sin332(3(2)2)272(2)32771,(2)272知，故直線與平面垂直.2（3） s(3,1,4), n(1,1,1), 由于 sn0或sin3 11 1(4)10,3212(4)2121212知0, 將直線上的點A（ 2，-2， 3）代入平面方程，方程成立，即點 A 在平面上 .故直線在平面上. 11.求過點（ 1,2,1）而與兩直線x2 yxyz10,和z 102 xyxyz0,z0平行的平面的方程.解兩直線的方向向量為is111jk21

32、(1,11i2,3), s221jk11(0,1,111),i取ns1s21jk23(1,1,1),011則過點（ 1,2,1），以 n 為法向量的平面方程為1( x即1)1( y2)xyz0.1( z1)0,12.求點（ -1,2,0）在平面x2yz10上的投影 .解作過已知點且與已知平面垂直的直線.該直線與平面的交點即為所求 .根據(jù)題意，過點（-1,2,0）與平面 x2yz10垂直的直線為x1y212z0 ,1將它化為參數(shù)方程x1 t , y2 2t, zt , 代入平面方程得1t2(22t )(t )10,2整理得t.從而所求點（ -1,2,0）在平面 x2y 3z10 上的投影為（5,

33、 2 , 2 ）.333xyz10,13.求點 P（ 3，-1，2）到直線2xyz40的距離.i解直線的方向向量s12jk11(0,3,113).在直線上取點（ 1，-2， 0），這樣，直線的方程可表示成參數(shù)方程形式x1, y23t , z3t.（1）又，過點P（3，-1，2），以 s(0,3,3) 為法向量的平面方程為3( y1)3( z2)0,即yz10.（2）1將式（1）代入式（2）得t，于是直線與平面的交點為 （1,21 , 3 ），22故所求距離為d(31)2(11)22(23)2232 .214. 設(shè) M0 是直線L 外一點， M 是直線 L 上任意一點，且直線的方向向量為 s，試

34、證：點M0 到直線L 的距離M 0Msd.s證如圖 8-9，點 M0 到直線 L 的距離為d.由向量積的幾何意義知M 0Ms 表示以M 0M， s為鄰邊的平行四邊形的面積.而M 0Mss表示以s 為邊長的該平面四邊形的高，即為點 M0 到直線L的距離.于是M 0Msd.s15. 求直線2 x4 yz3xy2z0,在平面 4x90y z1上的投影直線的方程 .解作過已知直線的平面束， 在該平面束中找出與已知平面垂直的平面，該平面與已知平面的交線即為所求.設(shè)過直線2x4 yz3xy2z0,的平面束方程為902x4yz(3xy2z9)0,經(jīng)整理得(2由(23133)x(4)4(4) y(12) z9

35、0.)(1)(12)10,得.代入平面束方程，得1117x因此所求投影直線的方程為17x31y31y37z37z1170.1170,4xyz1.16. 畫出下列各平面所圍成的立體的圖形.（1） x0, y0, z0, x2, y1,3x4 y2z120;（2） x0, z0, x1, y2, zy .4解（ 1）如圖 8-10（ a）；（2）如圖8-10（b） .1.一球面過原點及A（ 4，0， 0）， B（ 1，3， 0）和 C（0，0， -4）三點，求球面的方程及球心的坐標和半徑.2解設(shè)所求球面的方程為( xa) 2( yb) 2( zc) 2R，將已知點的坐標代入上式，得a2b2c2R2

36、 ,（1）(a4)2( a1) 2b2c2(b3) 2R2 ,2c2R2 ,（2）（3） （3）a2b2( 4c) 2R，（4）聯(lián)立（ 1）（ 2）得a2, 聯(lián)立（ 1）（4）得 c2, 將a2代入（2）（ 3）并聯(lián)立得b=1，故 R=3.因此所求球面方程為( x2)2( y1) 2( z2) 29,其中球心坐標為(2,1,2), 半徑為 3.2. 建立以點（ 1，3， -2）為球心，且通過坐標原點的球面方程.解設(shè)以點（ 1，3， -2）為球心， R為半徑的球面方程為( x球面經(jīng)過原點，故R2從而所求球面方程為1) 21)2( 03) 2(02) 214,1) 2( y3) 2( z2) 21

37、4.(0( x( y3) 2( z2) 2R2,3. 方 程 x2y2z22 x4 y2 z0表示什么曲面？解將已知方程整理成( x1)2( y2)2( z1) 2(6) 2,所以此方程表示以（1，-2，-1）為球心，以6 為半徑的球面 .4. 求與坐標原點O 及點（ 2,3,4）的距離之比為1:2 的點的全體所組成的曲面的方程，它表示怎樣的曲面？解設(shè)動點坐標為（x, y, z），根據(jù)題意有( x0)2( y0)2( z0)2化簡整理得( x2)2( y3)2( z4)21 ,2( x2)2( y3241)2( z4)232( 229)2 .3它表示以（,1,3）為球心，以29為半徑的球面 .

38、3325. 將 xOz坐標面上的拋物線轉(zhuǎn)曲面的方程 .z 5x繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋解以y2z2代替拋物線方程z25x中的 z，得(y2z2 ) 25x，即y2z25x.注xOz 面上的曲線F ( x, z)0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為F ( x,y2z2 )0.6. 將 xOz坐標面上的圓轉(zhuǎn)曲面的方程 .x2z29 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋解以x2y2代替圓方程x2z29 中的 x ，得(即x2x2y2 )2z29,y2z29.7. 將 xOy 坐標面上的雙曲線4x29 y236分別繞 x 軸及 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解以y2z2代替雙曲線方程4x29 y236中的 y，得該雙曲線繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為4 x2即4 x2229(9( y2y2z2 z2 )2)236.236,以xz代替雙曲線方程4x9 y36 中的 x，