金陵科技學(xué)院微積分B2知識點

1、微積分B2復(fù)習(xí)要點一 題型 1.填空題( 37=21分)； 2.單項選擇題(36=18分)； 3.計算題(51分)； 4.解答題(10分)二 知識點第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何空間曲面的方程(平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面)例 求球心為點，半徑為R的球面方程例 平面直角坐標系中 的圖形是 圓 ，空間直角坐標系中 的圖形是 圓柱面 。例 XOZ面上繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后的旋轉(zhuǎn)體方程為 。第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 1.二元函數(shù)的定義域；例1 求函數(shù)的定義域. 解 要使有意義, 應(yīng)有, 即.故 例2 求的定義域. 解 要使有意義, 應(yīng)有,故 .例3 求函數(shù)的定義域。解 要使有意義, 應(yīng)有, 即 ,故 2.二元

2、函數(shù)的極限的計算； 定義 如果對于任意給定的正數(shù)，總存在一個正數(shù)，使得當時，恒成立，則稱當趨于時，函數(shù)以A為極限。記作 或 例 求 解 當時，由于無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量，所以3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計算；（1）一階偏導(dǎo)數(shù)的計算；（2）全微分的計算；概念：函數(shù)的全微分為例求函數(shù)的全微分解因為，所以（3）多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算；概念：設(shè)，若在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，而在對應(yīng)點處可微，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，且 例已知，求解由鏈式法則有用同樣的方法，可得（4）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算；例：設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，試求（5）抽象函數(shù)求導(dǎo)例 求復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和。解 令，則變?yōu)?，?fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。練習(xí)

3、：設(shè)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求6.可微、偏導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系; 7.多元函數(shù)極值的計算。概念：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,若對于該鄰域內(nèi)異于的點,有(或),則稱為函數(shù)的一個極大值(或極小值).例；求函數(shù)的極值。 解：解，得。 而 對，知 為極小值點。且極小值為-2。第九章 二重積分 1.二重積分的計算(直角坐標,極坐標)；例（1），其中由所圍成（2）求是由直線與曲線所圍成（3）計算，其中由曲線及所圍成解 畫出積分區(qū)域的圖形 積分區(qū)域的不等式組表示為 ，所以（4）(5) 2. 交換積分次序；例 交換二重積分的積分次序。解：由二次積分的上、下限知積分D的圖形是與在之間的部分，則 若先對后對積分，此時積分

4、區(qū)域可表示為 因此，我們可以交換積分次序= 例（1） (2) +3.二重積分的性質(zhì)與應(yīng)用。例 設(shè)D由所圍成，求平面圖形D的面積。第十章 微分方程與差分方程1.微分方程的相關(guān)概念；2.一階線性微分方程的通解和特解的計算；方程 (1)稱為一階線性微分方程(注意其特點為它對于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次方程)當時，方程(1)為齊次的，當不恒等于零時，方程(1)為非齊次的 (2)稱為方程(1)對應(yīng)的齊次方程，它是可分離變量型 . 例 求方程的通解分析 (常數(shù)變易法)這是的一階非齊次線性方程它有兩種解法：常數(shù)變易法與公式法解法一 (常數(shù)變易法)先求對應(yīng)齊次方程的通解,用常數(shù)變易法，把換成，即令,代入所給非齊次

5、方程，有,于是,解法二 (公式法)直接由給出，其中2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解和特解的計算。二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解,特解概念：若 中為常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次微分方程。解題步驟：（1）寫出微分方程對應(yīng)的特征方程，并求解出特征根（2）根據(jù)特征方程的兩個根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程的通解：特征方程的兩個根微分方程的通解兩個不相等的實根兩個相等的實根一對共軛復(fù)根（3）將初始條件代入（2）中的通解中求解出通解中的（4）將代入到通解里去，得到題目要求的特解。例題：求微分方程滿足初始條件，的特解。解： 所給微分方程的特征方程為其根是兩個不相等的實根，因此所求通解為 （1）從而

6、 （2）將初始條件，代入（1）、（2）得：，從而所以，原微分方程的特解為例題：求方程滿足初始條件：的特解解 對于求滿足初始條件的特解的這類方程，應(yīng)先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程對應(yīng)的特征方程為：即為重根(1) 再對(1)的兩邊關(guān)于t求導(dǎo):(2)把代入(1)的把代入(2)得，為所求例題： 求微分方程：通解解 所給方程的特征方程為：為一對共軛復(fù)根(這里)3. 可降階的二階微分方程的通解與特解的計算類型1：令 則 ，于是可將其化成一階微分方程。特點 含有，不含。例 求微分方程滿足初始條件的特解。解 所給方程是型的。設(shè)，代入方程并分離變量后，有。兩端積分，得，即 。又由條件，得，于是所求得特解為 。類型2：令 則 ，于是可將其化為一階微分方程。特點 不顯含。例 解微分方程滿足初始條件，的特解。解 令，將代入原方程中得 分離變量并積分得 由初始條件，得，所以 則 ，即 分離變量并積分得 再由初始條件，得，所以方程滿足初始條件的特解為 .第十一章 無窮級數(shù) 1. 級數(shù)的性質(zhì)；2. 會判斷級數(shù)(正項級數(shù)；交錯級數(shù)；任意項級數(shù))的斂散性3. 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的計算；4