江蘇省大學(xué)生力學(xué)競賽教練員培訓(xùn)研討會(huì)

1、江蘇省大學(xué)生力學(xué)競賽教練員培訓(xùn)研討會(huì)江蘇省大學(xué)生力學(xué)競賽教練員培訓(xùn)研討會(huì)動(dòng)載荷動(dòng)載荷2022年年2月月20日日材料力學(xué)南京航空航天大學(xué) 鄧宗白2一、動(dòng)靜法一、動(dòng)靜法動(dòng)載荷動(dòng)載荷三、強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算三、強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算二、桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形二、桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形3一、動(dòng)靜法一、動(dòng)靜法將遍布于構(gòu)件整個(gè)體積內(nèi)的慣性力附加在構(gòu)件上，構(gòu)件在作用力與慣性力的共同作用下保持動(dòng)力平衡狀態(tài)，把動(dòng)載荷問題作為靜載荷來處理，這就是動(dòng)靜法動(dòng)靜法，或稱為達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理。1 1、勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)動(dòng)荷系數(shù)：動(dòng)應(yīng)力：)1 (gaKdstddK注：若不考慮重力的影響daKg動(dòng)靜法4有一鋼

2、桿長為 ， 端固定一重量為 的物體， 端剛性固聯(lián)在小車上，如圖所示。桿自身重度為 ，當(dāng)小車沿斜面方向以等加速度 前進(jìn)時(shí)，試求桿 端截面處的最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力。QLCBaB例1動(dòng)靜法5解： 桿自重 為軸向均布載荷BC1q1qA重物 的慣性力 是與 反向的集中載荷QPaQPag 桿的慣性力 是與 反向的均布載荷BC2qa2Aqag 桿受橫力如圖（c）所示。BCcoscosxQPPag2coscosxAqqag22211coscos22BxQAMP Lq LaLaLgg(2)cos2aLQALg動(dòng)靜法6 桿受軸力如圖（d）所示。BCsin(1sin)yaFQPQPQg12sin(1sin)Aaq

3、qqAaAgg(1sin)(1sin)BaaNFqLQALgg()(1sin)aQALgmaxBBNMAW,maxBBtNMAW2()(1sin)()cos2QaQLALaLAgWWg 2,max()(1sin)()cos2cQaQLALaLAgWWg 動(dòng)靜法72 2、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)22dvrKrgg動(dòng)荷系數(shù)：（1）平面運(yùn)動(dòng)（2）空間運(yùn)動(dòng)物體在一個(gè)平面內(nèi)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其向心加速度一般為一個(gè)常量。物體在空間內(nèi)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其向心加速度通常是一個(gè)變量。動(dòng)靜法8圖示開口圓環(huán)， 端與剛性桿 連接， 桿繞通過 點(diǎn)的鉛垂軸以等角速度 作水平轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：材料的密度為 ，彈性模量為 ，圓環(huán)平均半徑為 ，環(huán)桿橫

4、截面直徑為 ，試求 點(diǎn)的徑向位移和該截面的轉(zhuǎn)角（只考慮彎曲效應(yīng)）BABABAERdC例2動(dòng)靜法9解：單位弧長上的慣性力:段弧長上的慣性力:ds2AqRgdqqRd任意圓心角 對(duì)應(yīng)橫截面上的彎矩為2200( )sin()sin()(1 cos )MdqRqRdqR用單位力法求解在 點(diǎn)加一徑向單位力C點(diǎn)徑向位移為C0( )sinMR022200( )( )1(1 cos ) sinrMMRdqRRRdEIEI2401 coscos2 04qREI動(dòng)靜法10在 截面加一單位力偶，如圖（d）所示C0( )1M截面的轉(zhuǎn)角為C022200( )( )1(1 cos ) 1cMMRdqRRdEIEI 223

5、324423242264dRRqRRgdEIgEdE動(dòng)靜法11圖示重為 、長為 的桿件 ，可在鉛垂平面內(nèi)繞 點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)此桿以等角速度 繞鉛垂軸 旋轉(zhuǎn)時(shí)，試求：（1） 角的大??；（2）桿上的最大彎矩。WLABAy例3動(dòng)靜法12解：（1）桿 重力AB( )Wq xL慣性力2( )( sin)Wt xxLg勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)滿足平衡方程 ，即0AM00( )sin( )cos0LLq x dxxt x dxx200sinsincos0LLWWxdxxdxLLg222sinsincos023WLWLLLgsin0（舍去）23cos2gL23arccos2gL動(dòng)靜法13（2）在垂直桿軸向的分量重力的分量

6、慣性力的分量在垂直桿軸向的支反力 為( )sinsinWq xL22( )cossincossin22WWxt xxLgLgR1( )sin( )cos2Rq xLLt L21sinsin222WWLLLLLg2sinsin24WLWg桿內(nèi)彎矩：2211( )sinsin2223WWxxM xRxxxLLg3222sinsinsinsin24212WLWxWWxxxgLLg動(dòng)靜法14又23cos2gL223sin1 ()2gL故22223( )()1 ()44WxgM xLxLL由( )0M xx22340XLxL將 代入，得最大彎矩為有極小值，為 0；,( )xL M x有極大值，,( )3

7、LxM x3Lx 222max22233()1 ()1 ()4332272WLLgWLgMLLLL動(dòng)靜法15二、桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形二、桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形1 1、沖擊物垂直下落沖擊、沖擊物垂直下落沖擊、沖擊物水平以速度沖擊、沖擊物水平以速度沖擊211dstHK 211dstvKg v2dstvKg桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形22/11dstHvgK dTVU11dstTKU 16題型分類：（）靜不定結(jié)構(gòu)和組合變形的沖擊；（）非線性結(jié)構(gòu)的沖擊；（）突然剎車引起的沖擊；（）考慮被沖擊桿件質(zhì)量的沖擊；（）其他。注：沖擊問題的求解關(guān)鍵是能量守恒原理。注：沖擊問題的求解關(guān)鍵是能量守恒原理。桿件受沖

8、擊時(shí)的應(yīng)力和變形17圖（a）所示重為 的重物自高位 處自由下落沖擊于薄壁圓環(huán)頂點(diǎn) ，已知 為常數(shù)，求 點(diǎn)的最大動(dòng)位移的計(jì)算式。PhEIAA一、靜不定結(jié)構(gòu)和組合變形的沖擊桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形例418解：當(dāng)環(huán)頂端A處作用靜力P時(shí)，求 。取1/4圓環(huán)AD段，如圖（b）所示。1DMX( )1M( )(1 cos )2PMr /2210(1 cos )Pr2(1)22FPrrdEIEI /21102l lrdrEIEI由正則方程（D截面處的轉(zhuǎn)角為0）11110FX解得：111Pr()2X桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形19由莫爾定理，頂端A的垂直位移：22/2330cos1Pr ()2 PrPr24()0.

9、1494ArdEIEIEI 頂端A點(diǎn)的最大動(dòng)位移：33213.42Pr(11)(11) 0.149PrdAsthEIhEI 桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形20圖示折桿 在 段的自由端截面 處有一重物 自高度 處下落。已知 ， ， ， ， ， ，試按第三強(qiáng)度理論計(jì)算結(jié)構(gòu)受沖擊時(shí) 段的最大動(dòng)應(yīng)力。ABCDCDDHQ100QN30dmm210EGPa0.4GE1200Lmm250HmmAB例5桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形21解： 段彎曲變形引起 點(diǎn)的位移為：段扭轉(zhuǎn)變形引起 點(diǎn)的唯一為 ，先求ABD331( )2324LQQLEIEIABD2桿 的 截面受扭矩：ABC12CTQL兩端支反力偶：1124TATBC

10、MMTQL32124222216TAACpppLLMQLLLLQLGIGIGI桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形22段彎曲變形引起 點(diǎn)的位移為 ，先求ABD32ABQRRABMM如圖（c）所示，當(dāng) 時(shí)， ，撓曲線一般方程式為：0 x 0,0yy3231()22662AQxQLEIyM xx當(dāng) 時(shí)， ，得xL0y 3321022668AQLQLM L 18AMQL 1228CAQLMMQL桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形23將 ， 的值代入，得2Lx AM2311( )( )2 8223 2cQL LQLEIy 3192cQLyEI 33192QLEI 點(diǎn)靜位移D3331232416196stpQLQLQLEIG

11、IEI3111()2412.8192QLEI334100 120064111()210 10302412.81922.587()mm桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形2422 250111214.942.587dstHK 桿的彎曲和扭轉(zhuǎn)作和變形， 截面為危險(xiǎn)截面。ABCmax18MQLmax14TMQL22223313211()()84rTMMQLQLWd332 100 12001112.65()3044MPa maxmax314.94 12.65189()ddstdrKKMPa桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形25有一懸臂梁 ，長度為 ，抗彎剛度為 ，梁本身自重可忽略不計(jì)。在自由端 下方有一彈簧，與之相距一鉛垂

12、的間隙 ，當(dāng)在梁自由端作用一靜載 時(shí)，梁正好與彈簧接觸，若將 突然放在自由度上，則梁接觸彈簧后使彈簧壓縮 。求彈簧剛度值 。ABLEIBQQ/2K例6桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形二、非線性結(jié)構(gòu)的沖擊26解： 加載后重物 勢能減少：Q32VQ梁的變形能：221111139()2228dstQQUQ彈簧變形能：222221112224ddddUQQQ桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形27能量守恒原理：12TUU2391284dQQQ232dQQ彈簧剛度：2232312ddQQQK又33QLEI故39EIKL桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形28圖示兩相同梁AB、CD，自由端間距 ，當(dāng)重為Q的物體突然加于AB梁的B點(diǎn)時(shí)，求

13、CD梁C點(diǎn)的撓度 。f3/(3)QlEI例7 （第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題）桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形29解： 重物降下的位能為 變成兩桿的應(yīng)變能。()VQ f桿1 211 ()2fWc桿22212fWc33lcEI即221()()2Q fffc由題 ，代入后得即Qc222 ()22fff2222ff桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形30圖示兩根完全相同的懸臂梁，抗彎剛度為 ，在自由端兩者有一間隙 ，今有一重物P從高度 落下，試求重物對(duì)梁的最大沖擊力？假設(shè)：兩梁變形均在彈性范圍內(nèi)，沖擊物為剛體，被沖擊梁質(zhì)量不計(jì)，在沖擊過程中，兩梁共同運(yùn)動(dòng)。EIh例8桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形31解：當(dāng)梁受到最大沖擊

14、力作用時(shí)，上梁的最大撓度為 ， 下梁的最大撓度為 ，根據(jù)能量守恒原理，有dd 22d11()()22ddkkP h 即：22()()02ddkkkPPh 所以：22d1()()2(2)2PPPhkR 設(shè)兩梁中間的相互作用力為F，則：ddFFk ()dFk 消去F得最大沖擊力：d33(2)(2)ddEIFkl 桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形32在懸臂鋼梁的端部裝一吊車，將重物以勻速 下放（如圖）。今吊車突然制動(dòng)，求鋼繩中的動(dòng)應(yīng)力。設(shè)梁長為，抗彎剛度為，繩長為，繩的橫截面積為，鋼的彈性模量為，重物的重量為，梁與車的質(zhì)量不計(jì)。vlEIaAEQ例9桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形三、突然剎車引起的沖擊33解：將梁與

15、繩看成一彈性系統(tǒng)，該系統(tǒng)的柔度系數(shù)（載荷與 柔度系數(shù)相乘即給出載荷作用點(diǎn)的變形）為：設(shè)制動(dòng)前系統(tǒng)的變形量為 ，制動(dòng)后系統(tǒng)的變形量為 （圖（b）。根據(jù)能量守恒原理，制動(dòng)前、后能量相等，于是：式中 為制動(dòng)后繩中的動(dòng)拉力。由胡克定律知：33laCEIEAcCQddCQ2111()222dccddQvQQQgcddQ（a）（b）桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形34將（b）式代入（a）式，得：222111()222ddQvQ CQCQCQCQg即：2222()0ddv QQQQQCg22(1)(1)dcvvQQQCQgg故繩中的動(dòng)應(yīng)力為：231()3dvKQlQagEIEA 式中 是繩中的靜應(yīng)力，。/cQ Ad

16、dcK動(dòng)荷系數(shù)：桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形35圖（a）所示均質(zhì)懸臂梁重為 ，在自由端受到重物 自高度為 的自由落體的沖擊。如果考慮桿件的質(zhì)量，試求動(dòng)荷系數(shù)的表達(dá)式。11Pm gPmgh例10桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形四、考慮被沖擊桿件質(zhì)量的沖擊36解：懸臂梁自由端受P作用時(shí)的撓曲線方程為：33232333333()()32222BPlxxxxwwEIllll （1）求相當(dāng)質(zhì)量1m2221110111 33()()()222140lBBdwmdwdwmdxmdtldtdt所以：1133144mm（2）求沖擊物與相當(dāng)質(zhì)量的共同速度1v記02vgh桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形37由動(dòng)量守恒011()mvmm

17、 v10133144mvvmm（3）求動(dòng)荷系數(shù)dK21111()2211111111(1/)22dstststmm vThKm mGmg 式中：33stmglEI2211101111()221/mGhTmm vmvmmmm桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形38求：1、梁內(nèi)最大沖擊正應(yīng)力 ；,maxd將梁設(shè)計(jì)成兩段等長的階梯梁（兩段各長），梁高保持不變，各段梁寬度可按要求設(shè)計(jì)。在梁內(nèi)最大沖擊正應(yīng)力不變的條件下，按最省材料原則，階梯梁在靠自由端一段寬，靠固定端一段寬，則/2lh1b2b3、階梯梁比等截面梁節(jié)省材料（分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)表示）2、比值；12/bb矩形等截面懸臂梁高 ，寬 ，長 。重Q的重物從高 處落到

18、自由端并附著它。梁的重量不計(jì)，E為材料的彈性模量， 為截面軸慣性矩。hblI360/(3)HQlEIHQhb/2l/2lAhb2hb1HB例11（第四屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題）桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形五、其他類型的沖擊39解：）33stQlEI22 601111201/3dstHK maxmax2212020/6ddstQlQlKbhbh）max22/6AddQlKb hmax21/2/6BddQlKbhmaxmaxAdAd2221662ddQlQlKKb hbh12/1/2bb 故得：桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形HQhb/2l/2lAhb2hHBb140）Vbhl等1223224llVbh

19、b hb hl階梯maxmaxdAd2266ddQlQlKKbhb h2ddKbbK31112bhI 32212b hI HQhb/2l/2lAhb1hb2HB212II桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形41/2121122120/2llstlQxQxx dxx dxEIEI階梯3331( /2)( ) )332Q lQllEIEI331272424QlQlEIEI3217()1224QlEI3238QlEI322232 6081111 32011 3203dQlEIIbKEI QlIb QhbQL1I2I1x2x桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形422211 32020bbbb2221 320(201)bbbb

20、22221 320400()401bbbbbb2360940010bb22233313441440bhlb hlbbbVVVbhlbhlbb 2ddKbbK由有則桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形43如圖所示，由相同材料和相同截面尺寸的等直桿組成的桁架當(dāng)重物從H的高度下落到D點(diǎn)時(shí)，動(dòng)力放大系數(shù)（最大沖擊載荷與對(duì)應(yīng)靜載荷之比）為10。若將桁架各桿的截面面積提高50%，而保持結(jié)構(gòu)其余幾何參數(shù)，重物下落的高度和位置不變，則：1、動(dòng)力放大系數(shù)為多少？ 2、在安全因數(shù)相同的條件下，重物的許用重量提高多少？（用百分?jǐn)?shù)表示）（忽略桁架質(zhì)量及沖擊過程的能量損失，并設(shè)結(jié)構(gòu)為線彈性）例12 （江蘇省第三屆大學(xué)生力學(xué)競賽試題

21、）桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形44解: 1、設(shè)動(dòng)力放大系數(shù)為K，則：211stHK 其中 為D點(diǎn)靜位移。將K=10代入上式得：st280stH因桁架為線彈性結(jié)構(gòu)，靜位移與桿橫截面面積A成反比。stPBA其中B、P與截面面積無關(guān)，桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形45設(shè)橫截面面積增加后的桁架D點(diǎn)的靜位移為 ，動(dòng)力放大系數(shù)為 ，許用載荷為 ，則*st*K*P*2/()1.53ststBPBPAA故*223:2ststststHH*2120stH*11 12012K *1.5stPBA 桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形462、桁架最大動(dòng)應(yīng)力與動(dòng)載荷 成正比，與桿橫截面面積成反比dP,maxddPKPCCAA其中：C與 和

22、A無關(guān)。dP當(dāng)新舊桁架許用最大動(dòng)應(yīng)力相等時(shí)安全因數(shù)相同* 1.5KPK PCCAA*5 4PP* 25% PPP*,max1.51.5dddPK PCCAA桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形47鋼桿以速度 水平撞擊剛性壁，若桿的彈性模量 密度 。假設(shè)沖擊時(shí)，桿的軸向應(yīng)力線形分布，A端為零，B端最大，試求桿的最大軸向沖擊力。v=3m/s210EGPa37800/kg m例13桿件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形48解：由能量守恒2222max001( )( )222llxxmvAdxAdxEEl其中，設(shè)A端為坐標(biāo)起點(diǎn)，桿長為 ，橫截面面積為A。l用密度表示質(zhì)量解出最大軸向應(yīng)力mAl2max3210.3E vMPa桿件

23、受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形49三、強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算三、強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：其中， 為重力， 為彈簧系數(shù)， 為干擾力， 為阻尼力。系統(tǒng)的固有頻率阻尼系數(shù)2222sind xdxgHnxptdtdtQQCsinHptdxRrdtstgCgQ2grnQ強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算50設(shè)把干擾力 按靜載荷的方式作用于彈性系統(tǒng)上的靜位移為放大系數(shù)：振幅：振動(dòng)的動(dòng)荷系數(shù)：2 22211 () 4() ()pnpH2HHgHQCHB11HdstHKQ maxddstK強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算51圖示矩形截面（ ）梁，在跨中 有 的重物作強(qiáng)迫振動(dòng)，已知 ， ， ， ，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該梁振動(dòng)時(shí)允許的最大振幅

24、。50 60C0.1PkN1Lm124900 10Im70EGPa 120MPaB例14強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算52解：取相當(dāng)系統(tǒng)如圖示，則：11110pX其中：113LEI2116pPLEI 1316XPL222331 3(2)16343 32323 32stcLPLPLPLfPLEI 370.0145768PLmEI強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算533max1233 100 1 3 10()62.51616 900 10AstPLMPaW maxmaxmax()(1)()(1)62.5 1200.0145AAdststBBMPamaxmax ()12062.50.01450.0133()62.5AststAstBm 強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算54等截面鋼架簡支如圖（a）所示，集中質(zhì)量為 的重物置于豎桿離梁為 處，在圖示平面內(nèi)的上下振動(dòng)頻率與左右搖擺的振動(dòng)頻率在什么條件下是一樣的？（已知 、 ，并忽略鋼架自重，求 之值）rmmEI: l r例15強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)力計(jì)算55解： 由 ，上下振動(dòng)時(shí)tg3148stmglEI左右擺動(dòng)時(shí)，利用疊加法求得：322()312strr lmgEIEI