2019北京中考專題復(fù)習(xí)--幾何綜合(共25頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 幾何綜合知識框架幾何綜合題型一般以基本圖形（正方形、特殊平行四邊形、等邊、等腰、直角三角形等）為載體，考查運用圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱）分析圖形中基本量之間的數(shù)量關(guān)系的探究過程。涉及初中數(shù)學(xué)九大幾何模型：1、 中點類輔助線2、 角平分線、垂直平分線類輔助線3、 相似模型4、 旋轉(zhuǎn)之手拉手模型5、 旋轉(zhuǎn)之對角互補(bǔ)模型6、 旋轉(zhuǎn)之半角模型7、 旋轉(zhuǎn)之構(gòu)造等邊三角形8、 旋轉(zhuǎn)之費馬點模型9、 最短距離問題解題思路：從復(fù)雜的圖形中“抽”出簡單圖形，在簡單圖形中進(jìn)行邏輯推導(dǎo)，應(yīng)用相關(guān)幾何模型，找到解題思路。知識梳理中點類輔助線見中點-倍長中線：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段

2、，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。在ABC中, AD是BC邊中線。方式1：直接倍長，(圖1)： 延長AD到E，使DE=AD，連接BE 例：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF方式2：間接倍長1) （圖2）作CFAD于F，作BEAD的延長線于E, 連接BE 2) （圖3）延長MD到N，使DN=MD，連接CD例：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.方式3：平行線間線段有中點如圖：ADBE，F(xiàn)為DE中點。可構(gòu)造8字全等 A

3、DFHEF。 例：如圖，在矩形ABCD中，BD=BE，F(xiàn)為DE中點。試探究AF與CF之間的位置關(guān)系。 例：如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，M為AD中點，CEAB。求證：EMD=3MEA。 見多個中點-構(gòu)造中位線： 已知三角形的兩邊有中點，可以連接這兩個中點構(gòu)造中位線； 已知一邊中點，可以在另一邊上取中點，連接構(gòu)造中位線； 已知一邊中點，過中點作平行線可構(gòu)造相似三角形. 例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。見等腰三角形底邊中點-連接頂點與中點，構(gòu)造三線合一 直角三角形斜邊中線：直角三

4、角形中，有斜邊中點時常作斜邊中線；有斜邊的倍分關(guān)系線段時，也常常作斜邊中線如圖，在RtABC中，D為斜邊AB的中點，連接CD，則得CD=AD=BD，從而構(gòu)造出等腰三角形。角平分線、垂直平分線類輔助線角平分線：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的題目輔助線的作法，一般有四種。 由角的平分線上的一點向角的一邊或兩邊作垂線，利用角平分線性質(zhì)。 以角的平分線為軸，將圖形翻折，在角的平分線兩側(cè)構(gòu)造全等三角形。 當(dāng)題設(shè)有角平分線及與角平分線垂直的線段，可延長這條線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一”  過角的一邊上的點，作另一邊的平行線，

5、構(gòu)成等腰三角形“角平分線+平行，必出等腰 ”例：如下圖，在ABC中，A的平分線AD交BC于點D，且AB=AD，CMAD交AD的延長線于點M. 垂直平分線：a、對稱性；b、垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。 例：如圖，Rt ABC中，ACB=90°，AD平分BAC， 作AD的垂直平分線EF交AD于點E，交BC的延長線于點F，交AB于點G，交AC于點H（1）依題意補(bǔ)全圖形（2）求證：BAD=BFG（3）試猜想AB，F(xiàn)B和FD之間的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行證明相似模型平行A字型、8字型：斜交A字型、8字型： 共享型（母子型）： 雙共享型：雙A字型：一線三等角型：旋轉(zhuǎn)之手拉手模型手拉手全等特點：

6、由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點 結(jié)論：（1）ABC ABC （2）BOB=BAB（3）OA平分BOC 例：如圖在直線的同一側(cè)作兩個等邊三角形與，連結(jié)與，證明：（1） （2）（3） 與之間的夾角為（4）（5）（6） 平分（7）手拉手相似特點：由兩個相似三角形所組成，并且一組等角的頂點為公共頂點 結(jié)論：（1）AOCBOD （2）AEB=AOB例：如圖，兩個正方形ABCD與DEFG,連結(jié)CE、AG,二者相交于點H。求：（1）AG=CE （2）AG與CE之間的夾角為多少度？ （3）HD平分AHE旋轉(zhuǎn)之對角互補(bǔ)模型對角互補(bǔ)，鄰邊相等。 （全等型90°）【條件】：AOB

7、=DCE=90°；OC平分AOB【結(jié)論】：CD=CE；OD+OE=OC；當(dāng)DCE的一邊交AO的延長線于D時： 以上三個結(jié)論：CD=CE；OE-OD=OC；（全等型120°） （全等型任意角）【條件】：AOB=2DCE=120°；OC平分AOB【結(jié)論】：CD=CE；OD+OE=OC；對角互補(bǔ)模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形對角互補(bǔ)，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；注意OC平分AOB時，CDE=CED=COA=COB如何引導(dǎo)？旋轉(zhuǎn)之半角模型角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等【條件】：正方形ABCD；EAF=45°；【

8、結(jié)論】：EF=DF+BE；CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也可以這樣：【條件】：正方形ABCD；EF=DF+BE；【結(jié)論】：EAF=45°；【條件】：正方形ABCD；EAF=45°；【結(jié)論】：EF=DF-BE；【條件】：RtABC；DAE=45°；【結(jié)論】：； 若DAE旋轉(zhuǎn)到ABC外部時，結(jié)論仍然成立旋轉(zhuǎn)之構(gòu)造等邊三角形等邊三角形是一個具有豐富性質(zhì)的完美圖形,這些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù),所以尋找、發(fā)現(xiàn)等邊三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵.例：在四邊形ABCD中，ABC=60°，AB=BC，ADC=30°證明：。分析：待證結(jié)論讓我

9、們聯(lián)想到勾股定理，需要通過添加輔助線將AD、CD（作為直角邊）和BD（作為斜邊）集中到一個直角三角形中。例: 如圖，ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD = CE，連接BD，AE相交于點F（1）BFE的度數(shù)是 （2）如果，那么 （3）如果時，請用含n的式子表示AF，BF的數(shù)量關(guān)系，并證明例: 如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CE，連接DE，AE，BD交于點F（1）求AFB的度數(shù)（2）求證：BF=EF（3）連接CF，直接用等式表示線段 AB，CF，EF的數(shù)量關(guān)系旋轉(zhuǎn)之費馬點模型“費馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的

10、點.若給定一個三角形ABC 的話，從這個三角形的費馬點 P 到三角形的三個頂點 A、B、C 的距離之和比從其它點算起的都要小.這個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個.問題：如圖 1，如何找點 P 使它到ABC 三個頂點的距離之和 PA+PB+PC 最?。繄D文解析：如圖 1，把APC 繞 C 點順時針旋轉(zhuǎn) 60°得到APC，連接 PP 則CPP為等邊三角形，CP= PP，PA =PA，PA+PB+PC= PA+ PB+ PP ³ B C點 A可看成是線段CA 繞 C 點順時針旋轉(zhuǎn)60°而得到的定點，BA為定長。當(dāng) B、P、P、A 四點在同一直線上時，PA+PB+P

11、C 最小。APC=A PC=180°-CPP=180°-60°=120°，BPC=180°-PPC=180°-60°=120°，APC=360°-BPC-APC=360°-120°-120°=120°.因此，當(dāng)ABC 的每一個內(nèi)角都小于 120°時，所求的點 P 對三角形每邊的張角都是 120°，所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于 120°時，所求的 P 點就是鈍角的頂點費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三

12、個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換例：四邊形 ABCD 是正方形，ABE 是等邊三角形，M 為對角線 BD（不含 B 點）上任意一點，將 BM 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 600 得到 BN，連接 EN、AM、CM.（1）求證:AMBENB；（2）當(dāng) M 點在何處時，AMBMCM 的值最小，并說明理由； 最短距離問題三角形-兩邊之和大于第三邊型1.直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。2.直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。3.點P是MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使PAB的周長最小。兩點之間的距離-線段最短

13、型4.點P，Q為MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。點到直線的距離-垂線段最短型5. .如圖，點A是MON內(nèi)的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小。典例精講【2018西城期末】如圖1，在RtAOB中，AOB=90°，OAB=30°，點C在線段OB上， OC=2BC，AO邊上的一點D滿足OCD=30°將OCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)度（90°<<180°）得到，C，D兩點的對應(yīng)點分別為點，連接，取的中點M，連接OM（1）如圖2，當(dāng)AB時，=_°，此時OM 和之間的位置關(guān)

14、系為_；（2）畫圖探究線段OM和之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并加以證明 圖1 圖2 備用圖【2018海淀期末】在ABC中，A90°，ABAC （1）如圖1，ABC 的角平分線BD，CE交于點Q，請判斷“”是否正確：_（填“是”或“否”）；（2）點P是ABC所在平面內(nèi)的一點，連接PA，PB，且PBPA 如圖2，點P在ABC內(nèi)，ABP30°，求PAB的大小； 如圖3，點P在ABC外，連接PC，設(shè)APC，BPC，用等式表示，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 圖1 圖2 圖3【2018昌平期末】已知，ABC中，ACB=90°，AC=BC，點D為BC邊上的一點. （1）以點C為

15、旋轉(zhuǎn)中心，將 ACD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BCE，請你畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）延長AD交BE于點F，求證：AFBE； （3）若AC= ，BF=1，連接CF，則CF的長度為 . 【2018豐臺期末】如圖，BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一個以點C為頂點的45°角繞點C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與BA，DA交于點M，N，與BA，DA的延長線交于點E，F(xiàn)，連接AC.（1）在FCE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)FCA=ECA時，如圖1，求證：AE=AF； （2）在FCE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)FCAECA時，如圖2，如果B=30°，CB=2， 用等式表示線段AE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證

16、明.圖2圖1【2018門頭溝期末】如圖27-1有兩條長度相等的相交線段AB、CD，它們相交的銳角中有一個角為60°，為了探究AD、CB與CD(或AB)之間的關(guān)系，小亮進(jìn)行了如下嘗試：（1）在其他條件不變的情況下使得，如圖27-2，將線段AB沿AD方向平移AD的長度，得到線段DE,然后聯(lián)結(jié)BE,進(jìn)而利用所學(xué)知識得到AD、CB與CD(或AB)之間的關(guān)系：_；(直接寫出結(jié)果)（2）根據(jù)小亮的經(jīng)驗，請對圖27-1的情況（AD與CB不平行）進(jìn)行嘗試，寫出AD、CB與CD(或AB)之間的關(guān)系，并進(jìn)行證明；圖27-2圖27-1（3）綜合（1）、（2）的證明結(jié)果，請寫出完整的結(jié)論: _.【2018懷

17、柔期末】在等腰ABC中，AB=AC，將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到BD，使BDAC于H，連結(jié)AD并延長交BC的延長線于點P.(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)若BAC=2，求BDA的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?3)小明作了點D關(guān)于直線BC的對稱點點E，從而用等式表示線段DP與BC之間的數(shù)量關(guān)系.請你用小明的思路補(bǔ)全圖形并證明線段DP與BC之間的數(shù)量關(guān)系.【2018平谷期末】如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC在平面內(nèi)任取一點D，連結(jié)AD（ADAB），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連結(jié)DE，CE，BD （1）請根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；（2）猜測BD和CE的數(shù)量關(guān)系并證明； （3）作射線BD，CE交于點P，把ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EAC=90°，AB=2，AD=1時，補(bǔ)全圖形，直接寫出PB