微積分的進步應(yīng)用

1、第八章微積分的進一步應(yīng)用第一節(jié)泰勒公式1.寫出下列函數(shù)在x =0點的帶佩亞諾余項的泰勒展式:2(1)e2x -1 2x (2x-|l2x(2)cos x2(2x)nn0 x .n!k 1 2 22彳 x4x8x12, (-1)k(x2)二 1 2!4!6!(2k 一2)!234n2!o X4k*(3) ln(1 _x)- -x_xxxo xn.2 34n126 22L(- 3)"-2 - n T) n n(4) 2 =(1 x) 1 -2x xx o x .(1 x)22!n!3x 2x 12小421(5) x x 3x x 3 - 4(1 - x)x-1x-12 丄丄。J；丄丄22

2、 山 一1 (一2) 一 3)_一1 n*1)/、n n=x +x+3_4 1+x+x +(_x)+o(x )I 2!n!'丿丿，=-1-3x-3x2 -4x3 - | I -4xn o xn .33(6)sin x sin x -41 sin3x 一 3 亡(-1)玄 1 一 仁：(-1)才対 13、： C1)n(32n -1)x2n 1 44 nzo (2n 1)!4n£(2n 1)!4 n=o(2n 1)!11 丄 1丄 13 2x-1 x 1 一3 1 x1 -2x11 -x x2 -x3 11(T)nxn o(xn)31-3<3x (1-22)x2 (-1 -

3、23)x331詩八-2 呼” ”曽"。(xn)IN (-1)n -2nxno xn .(8)ln 盤 W x)n(fx 111 x 1-2xl3x (1 -22)x2 (-1 -23)x3 川(-1)n-2nxn o xn dx川晉八。八2. 寫出下列函數(shù)在x = 0的泰勒公式至所指的階數(shù):sin x 3、(1) e ,(x);3解: s in x=xo(x3),!X33esinx=eX°(X)=1 xx33!X3=1 Ix o(x )!x3 o(x3) = 1 X 二 3!2X+ 2!X 嗎 o(x3)2!2；! o(x3).>* 2x #3、x 巧 o(x)3!o

4、(x3)6In cosx,( x );2 x 解: cos X =1 - 2!4!6! 0(x6)，In 11 -：I 2!4!6召 o(x6)2!2 x+ _4!6!f X4 X+6 、 Xf 2 'X4 X+6、XI 2!4!6!丿1A 2!4!6!丿36 xo(x6)2!2 x46JX4!4 X126!6X-o(x ).45+2 4!6X o(x6)24(3)亠,(x4); sin x解：sin x3x二 x -3!x55 sin5!0(x)，xx23!5!0(x4)"；x4 +o(x4).3!3601 - X X2,(x4).2解: x1 -Xx2= x2L1 -X

5、x2 三1-丄(-x + x2) +屮擰-魯宀災(zāi)2)-1)(-x x2)22!o(x2)32 X X4二 xo(x ).2 83. 求下列函數(shù)在x=1的泰勒展開式：(1) 1 nx=ln(1 x-1)=(x-1)-川(T)n(xT)n o (x-1)n .23n/c、x X3I丄xjlI / 八 Inax1)2Inax1)n八n(2) a =a =aa =a_1na_(x1)+十=十o(x 1).< 2! n! 丿3 2P(x) =X3 -3X2 3x 5.解：P(x)y=6,P'(x) X=3x26x+3y=0,P''(x)y=6x6y = 0,P'&#

6、39;'(x)y=6y = 6. 于是 P(x)=6 .0(x1)得(x1)2 ：(x-1)3 =6 (x-1)3.1!2!3!4. 確定常數(shù)a,b使得x > 0時，(1)f(x) =(a bcosx)sin x-x為x的5階無窮??； f (xHeX解：(1)由于-1 aX為X的三階無窮小。1 bx2435cosx =1 _ X Xo(x4),sin x = x _ X Xo(x5)2!4!3!5!于是bx2 bx44a b cosx = a bo(x )2!4!那么i'a + b b 35(a bcosx)sin xx = (a b T)xx O(x ).V 3!2!丿

7、若要使f (X)為X的5階無窮小，那么必有a b-1 =0a b b 門0.3!2!易解得a = 4, b -.3 3x a I a f(x)二eX1 -23f、X X3aia22333= 1+ x+一 十一 +o(x) .1 l(1bx+bx -b x +o(x)2!3!b I b丿(12 ' 2 3=(1+ba)x +, 一b + ab x +O(x ).12 丿因此若要使f(x)為x的三階無窮小量，必有1 b -a =01 2b2 ab = 0211容易解得a,b .225. 利用泰勒公式求極限:G 1 )(1)lim - T (x sin x /sin x x=limx 10

8、xsin xx3 x55xo(x ) -x3!5!4 6x x ,6、 o(x ) 3!5!3 -o(x3) 3!5!241 o(x4)3!5!=0.=limx_0x3,3e 1 - x (2)lim -x)0 sin 2x61 x3 xo(x6) 一仁X3. 2!=limx 衛(wèi) c (2x)3/ 3、2xo(x )IL 3!6x / 6 o(x ) 2! ' *=limx)°26x6 o(x6)2! o(1)261 o(1)丄128nb+丄2丿 i n=lim nln i 1n-?：I丄丄In 1丄 n 2. nIn 1 -n 1(4)lim上泌學(xué)x 卩 2ln(1x2)1

9、 - cos x o(x) = lim2廠x e 2 x2 o(x2)= lim l n 1 1n 廠 12nn11o -nn11=limln 11 -八：12n=limx )0(X221- 1-刁+o(x2)2 x2 o(x2)n1 +o(1 ) 1 f 1 ；= lim 7+-ln 1 + 1=1. r 12 I n 丿Jim_ 3x3 3x-、x2-2x = Jim.x31 x1± o! x(1 3( 1 y一和V 3xlx丿丿I 2=1.6設(shè)f(X)在原點的鄰域二次可導(dǎo),且1叫(1) 求f(0), f '(0), f ''(0);(2) 求鄉(xiāng).解:(1

10、)由泰勒公式可得：由于lim亦血xt I3xo(x3)x f (0) f '(0)x f (0) x2 o(x2)1 2! 3xf ”(0)93.3.x o(x )一 2 2 '丿3xf ''(0) 2, 223 f(O)x f '(0)x=lim x_0琴=0,那么可知f(0)二3, f '(0) =0, f ”(x) =9.3-3 °Lx 亍 o(x2)7設(shè)f(x)在實軸上任意次可導(dǎo)，令F(x) = f(x2),求證:F”,乜(2n)!f(n)(0)n!證明：由于f (x)在實軸上任意可導(dǎo)且 F(x) = f(x2),故可知函數(shù)f

11、(x )與F(x)可以在x = 0處進 行任意階泰勒展開，那么F(x)汀(0)F'(0)x00)x2 川 x2n2!(2n)!宀川皿Xn!f (x2 f (0) f '(0)x2f ''(0)(n)2!即得F(2n1)(0) 2n-11 丄 /2Htx + o(x(2n 1)!F (n*)(0)2n F (0) 2n 2, 2n 2、x o(x ).(n 1)(n - 1)!根據(jù)多項式相等即其對應(yīng)系數(shù)相等，由F(xH f (x2),可知F(2n 1)(0) F(2n) (0)(2n)!0,f(n) (0)(2n)!n!),F(2n)(0)F(2n °(

12、0) =0,(2n)!n!于是有1 1 丄III2!1 1 1.(n +1)!*( n+2”+( n+3)J 川1+丄+山)+ lll 蘭(n +1)!1n+2(n +3)( n+2) 丿(n +1)!1n+1 (n +1)1 1 1 1 1n由以上估計可以知道n 但是£ 1L(n 1)! y(n 1)n(n 1)! 1 n!nn +1! e-Sn是(0,1)上的一個小數(shù)。8. 設(shè)P(x)為一 r次多項式,(1) 若P(a),P'(a)j|,P(n)(a)皆為正數(shù),證明：P(x)在(a,：)上無根； 若P(a),P'川I ,P(n)(a)正負(fù)號相間,證明：P(x)在(

13、：,a)上無根.證明：對于多項式我們可以進行任意階的泰勒展開，由于多項式P(x)是n次的,故有P(a)=O,i . n,于是有 P(x)=P(a) P'(a)(x-a) 學(xué)(x-a)2 | P 字(x 一 »川川川川川川(*). 2!n!(1)若P(a),P'(a),|l,P(n)(a)皆為正數(shù)，那么當(dāng)x(a：)時(*)式中各項皆為正，于是此時 P(x) 0恒成立，因此無根。若 P(a),P'(a)川 l,P(n)(a)正負(fù)號相間，由于當(dāng) x (-：,a )時,(x - a),( x - a)2,|)l ,(x - a)n 也 是正負(fù)號相間的，于是此時(*)式

14、中各項皆同號，因此無根。、 1 1e 日9. 求證：(1)e =11,(0 心：1)；2! n! (n +1)!(2)e是無理數(shù)。證明：1)將ex展開為帶柯西余項的泰勒展式:2X 彳 xx exe 1 x2!n!1e",(0 ： v ：1).n! (n 1)!(2) .首先我們要肯定e是一個小數(shù)；使用反證法，設(shè)e=q,其中m, n都是正整數(shù)，且(m,n)=1,n顯然必有n 1.1 1令Sn =11-,我們來估計e-Sn的值:2! n!« 11co 1e _ Snvi! id! ii!%T)!mT；n! e _Sn = n! -_n i=0 i!n !g i!可以肯定(n -

15、 1)!m-v是一個整數(shù)，矛盾。故假設(shè)錯誤，于是e是無理數(shù)。10設(shè)f(x)在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f'(a) =f'(b) =0,則存在c(a,b)使得4 f“(c) x |f(b)-f(a).(b-a)證明：分別在x = a, x二b處對函數(shù)f (x)進行二階泰勒展開，可得f"(©)2f(x)十)f'(a)(x_a) h(x_a) f "(壬)f(x) =f (b) f '(b)(xb) 2 (x-b)2將x = 乎帶入兩式，再將所得相減，又注意到f '(a) = f '(b) = 0可得整理即得即是0&quo

16、t;(a)-f(b)亠(口-a)2-2! ' 2 2! ' 2f "( J-f "( 2)(b a)2(b-a). 8取 f ''(c)二 max f"( ) , f "( 2),那么有件1)-卩(三2)|8f(b)-f(a) =f(b)-f(a)二(b-a)2 ' (b-a)2,8f ''(c)-4(b-a)2f(b)-f(a).11.設(shè)f (x)在£1點附近二次可導(dǎo),且f ”(a) = 0,由微分中值定理有f(a h) - f (a)二 f '(a ，h)h,0 ：1, 求證：

17、lim 二1.MP2證明：由題意可知：f(a+h) = f(a) + f'(a + 8h)hi|HM|MH|)|M|)H|Hi|M)|(A).f (a) (x 一 a)2 o (x 一 a)2 .將f (x)在x二a附近二階泰勒展開：f(x f (a) f '(a)(x-a) ?h2于是有 f (a h) = f (a) hf '(a) f ''(a) o h y = In x , y =0,(0.1 £ x c10);解：如圖(2),所圍面積為1 10S= ln xdx ln xdx = 9.9ln10 -8.1 ： 14.6956.0.1J

18、1 ,對比(A)可得h22f'(a f)h=hf' R'' 0 h ;整理后有J'(a 訕)- f'(a) _ f “(a)2 o 1(h),兩邊關(guān)于h > 0取極限可得f '(a 汕)- f '(a)即有二f ''(a) =，由于f "(a)- 0,于是此時有八1.1故有l(wèi)im .M02第二節(jié)微積分在幾何與物理中的應(yīng)用1求下列各曲線所圍成的圖形面積:y2 =4(x 1),y2 =4(1-x);解：如圖兩曲線的交點為(0, -2),(0, 2)圖形面積為s = -|104 Zdy32(3) y 二

19、x, y = x sin x,(0 : x ：二)；解：解方程x=xsin2x,可得(0,0),(二，二)兩個交點(如圖示).那么所圍圖形面積為 n2nS= ° (x sin x -x)dx =.2 y = 2x, x = 5;3解：如圖(4).所圍面積為:20：. 21.0819.2(5) y =x , y = x 5;解：解方程xx 5,可得兩個交點，其橫坐標(biāo)分別為 1±2?X1,2 二于是所圍圖形面積為x2 dx 2:16.039.1亠211_221X 5-22 2 2(6) x3 y3 =a3.解：設(shè)x=aco：,其中t. ()0,1,這只是對應(yīng)于丄面積的圖形曲線，

20、如圖(5)所示。所圍圖 y =asin t243 二 a2形面積為annS = 4 0 ydx = 4。彳 asin3 td a cos t = 12a2 o2 sin41 cos2 tdt :82求下列用極坐標(biāo)表示的曲線所圍圖形的面積:雙扭線r2二a2cos2； 解：如圖(6),所圍面積為:兀a2aLos2 d 2 亠極堊標(biāo)下圖形極坐標(biāo)下圏形r=asi n 3()=asi n(3)=acos3 二asi n(3)=asi n3()2 2 2 25 二.3-于是此圖形分別關(guān)于，=-,=-對稱,因此所圍圖形面積為6 6 2_ 2S=6s = 6L- 6 asin3 ?d .2 04三葉玫瑰線：r

21、 =asi n3；解：這樣的題當(dāng)我們不知道如何畫出它的圖形時，我們首先要求出曲線與極徑的極大極小值的交點，這是為了求出所圍圖形的某一部分的積分上下限；然后利用圖形的對稱性，得到所圍圖形中一共有幾塊這樣子的部分。SJT比如這題,當(dāng) =0,r = 0,此時極徑最??；當(dāng) 時，r = a，此時極徑最大。由于6r =asi n 3()=asi n(3)=acos3 = asi n( 3：)=asi n3()6 2 2 65555二.r =asi n 3()=asi n(3)=acos3 = asi n( 3J=asi n3()6 2 2 63兀 川.9兀泊小.9兀，卅.3兀，小蚌線：r 二 acosF

22、： b.解:S = |j：(acosB+bfd8 = b23求下列用參數(shù)方程表示的曲線所圍圖形的面積:x =2ty”t解：圖形從t =0到t = 2構(gòu)成一閉合曲線,于是所求面積為815b223 IS= ydx = (2t -t “2-2t)dt擺線：x = a(t _sint) ,(o匕 蘭2兀)及x軸;=a(1 cost)2応| 2応2応2解： S=y(t)Cx'(t)dt = J a(1 cost)a(1cost)dt =(a(1cost)dt =3a2兀.圓的漸開線:解：x = a(cost t sin t),(0 <t蘭2兀)及半直線x = a,( y蘭0),其中a a

23、0.y = a(sin t -t cost)jy(t)&(t)dt |ftsintcostt2cos2t )dt =2 二 |a(sin t -1 cost )Jat costdt 0.2、4 二ji +a2.A4.直線y=x把橢圓x2，3y2 =6y的面積分成兩部分A（小的一塊）和B（大的一塊）,求r的值 解：橢圓的面積為A勺面積為于是所求值為SA33"xdx- 02dxJI2、3B S -SAJT235求r =3cosr和r =1 cost所圍的公共部分的面積 解：解方程組=3cos j=1 cos，W可得虧那么所求面積為S=2cos，d.2-3cos dr36求下列旋轉(zhuǎn)

24、體的體積：2 2(1)橢圓冷-當(dāng)=1,繞x軸;a b解：可以解得顯式為那么旋轉(zhuǎn)所得體積為y2 =b2b22 a4: b2a3 y = sin x, y 二 0,(0 空 x 玄黒),i 繞 x軸,ii.繞y軸;2解：iV 二二 o sin 江 3233iiV =2二 0 a (t -sint)(1cost) dt = 6二 a ;iii.作平移：y=y，2a,x=x,則曲線方程為 x = a(t-sint), y =-a(1 cost),及y =-2a于是做求體積為V =二 o 4a2 - a2 1 cost $ a 1 -cost dt 二 7- 2a3.7求下列各曲面所圍成的幾何體的體積:

25、 (1)求截椎體的體積，其上下底皆是橢圓，橢圓的軸長分別為AB和a,b,而高為h;xdx =廳；1 -22 J2 兀 hx badx2ab aB Ab 2ABh.0 . h. h6iiV =二 p 二-2arcsinx arcsinx dx =-6，亠 4二-厶:12.876旋輪線 x =a(t -si nt), y =a(1 - cost),(0 叭乞 2二),y =0i.繞x軸,ii.繞y軸,iii.繞直線y = 2a.片2兀 3323解:解：ia (1 - cost) dt =5二 a ;兀h 22x+a 丨 dx =(b +ab+a). h3.正圓臺，其上下底分別是半徑為 a,b的圓，

26、而其間距離為h. 解: V 28.已知球半徑為R,試求高為h的球冠體積(h _ R). 解: V I i R2 -x2 dx =二 3Rh h .39求下列曲線的弧長:2y =x2,0 _x _1;解: s=冷藥dx擰卜2飛“47894.y =ex,1 乞 x e2;:4.78515.S 2 in 2,1 e2 -1"e41(3) . x y =1;解：解出顯式為于是弧長為y=1- x =1 - 2 . x x,s= f1 + U-A ldx".62323. "x(4)星形線 x = acos3t, y = a sin3t,(0 _t _ 2二);-3cos2ts

27、inN 亠3sin2tcost It =6a.圓的漸開線 x=a(cost ts in t), y = a(s in ttcost),a 0,0 玄t 玄 2二;2兀 J222応2解: s= aj(-sint+sint+tcost) + (cost-cost+tsint) dt = atdt = 2a兀.r3二 a sine3,(a o);3解: s=a ：sin八sincos''-3 I 33 丿3a 二.心臟線 r =a(1 cos“,(0 廠 < 2- , a 0);解：s=a62ns2 Io2亠 i 1 cos" d J - 8a.10. 求下列各曲線在

28、指定點的曲率和曲率半徑:(1)xy =4,點(2,2);解：曲率公式為1 y'2 2因此k =x33,那么6 X于是曲率半徑為2、2.k(2,2)122II12*.2. y =1 nx,點(1,0).解：曲率為y''i y'2x=1那么曲率半徑為2.2.11. 求下列曲線的曲率與曲率半徑:(1)拋物線 y2 =2px,( p 0);解：可以求得y = . 2 px, y' - 2p2j2pxKyII亍，于是曲率為2px 22P32px 22Pp/2px p2 2 2x p 2曲率半徑為1 2x p廠p2 彳對于該題,也可求得x=,x- 2 2 2 2|(

29、3asintcos t) +(3asin tcost)9a2sin2tcos t39a2 sin21 cos21 2 =,xll = -,于是曲率為2p3 .P2 y2 p2p p pkyp31心、p丿2 2雙曲線冷一爲(wèi)=1;a b解：設(shè)x = a cost y =ib sin t，則有y' = ib cost, y" - -ib sin t,x' - -asint,x" - -a cost, 那么曲率為I |y'x"-x'y"| |acost|_ibcosasintLibsin t|iab|k 333,2,2 2 2.2

30、 2 2 2 2.2 2 2 2x' y' 那么曲率半徑為3as in tcost.a sin t - b cos t 2a sin t - b cos t 23那么曲率半徑為1a2sin 2t -b2 cos21 2kiab本題中i表示虛數(shù)單位。2 2 2 .星形線xk y3 =a3. 解：設(shè)x hcos：、那么有y =asin tx'二-3asintcos2t,x” = 6asin21cost-3acos31,223y'=3asin tcost,y” = 6asintcos t-3asin t;于是可知曲率為ky'x“x'y”1|3as in

31、 tcost3asin21cost (6asin21 cost -3acos31 )+ 3asint cos2t(6asin tcos21 -3asin3112. 求下列參數(shù)方程給出的曲線的曲率和曲率半徑: (1)旋輪線 x = a(t -sin t), y = a(1 -cost),( a 0);解：可以求得x，= a(1 - cost), x" = a sin t; y' = a si nt, y'' = a cost,于是有y“x'_x”y'3"_ 1 ；a2,2 11 -cost 'cost -1|3a 2 - 2co

32、st 2a2cost(1 - cost) - a2sin2t3-a2(1cost)2a2sin21 2那么曲率為k= ，曲率半徑為 丄=a2i/5J1 -cost.a22/ - costk橢圓 x=acost,y=bs in t,(a,b 0);解：可以求得x' = -a si nt, x” 二-a cost; y'二 bcost, y ” = -bs int于是有y“x'x”y'absin2t abcos tk =3-3x'2 y'2 2a2 sin2t b2 cos21 2abab那么曲率為k3，曲率半徑為a2 sin2t b2 cos2t

33、23 >2 2222a sin t b cos t 232 . 2 2 2 2a sin t b cos t 2ab(3) 圓的漸開線 x = a (cost ts in t), y = a(si nt -t cost).解：可以求得x'=a(-s int si nt t cost) =atcost,x” = acost-ats int; y' = a (cost - cost tsi nt) = ats in t, y” = asi nt at cost,于是有y”x' x”y'2 2222 222a tsintcost a t cos t -a tsi

34、ntcost a t sin tk =3x'2 y'2 23 2丄 2 22丄 22 2a t sin tat cos t 22/a t=F3a t1at;1 1那么曲率為"石,曲率半徑為-=at.13. 求下列以極坐標(biāo)表示的曲線的曲率半徑: 心臟線 r 二 a(1 cosR,a 0;解：極坐標(biāo)下曲線的曲率公式為-3r2 r'2 至r2 +2r'2_rr “,證明可見14題。可以求得r 二-asinv,r” = -acost.于是曲率半徑為3a2(1 cost)2 a2sin222a (1 cos) 2a sina (1 cos "cos32

35、 2coE=la、,1 cos33 aa2 3 3cosr雙扭線 r2 = 2a2 cos2,a 0;解：可以求得IIr =(2a2cos2日,r' = _T2a sin2日，Jcos2°2cos2日J(rèn)cos2日+第門2日,“cos=_ 2aos, cos2=cos2r 2于是曲率半徑為2a2cos2日 +2a2sin 因cos2日丿2a2 cos2日 +4a2 sin 2日 +(2a2 cos2日邁a1 十 cos23cos2日(cos2日 F2a2 cos22日 +4a2 sin2 2日+ 72a2血a(1 +cos2日:cos2 2舄Icos2-6a2cos2-2 -

36、2a3、2a6a2cos2：3 . cos2-(3)對數(shù)螺線 r =ae'3(，. 0).( _. _)/ (*.* )解：可求得那么曲率半徑為31 r2 r '2 2= 2 , ,2k r +2r' -rr2r 二，ae ,r ae ；a2e2 "2，a2e2 Jae = 2ae 'd3 a3e 12 2a2e2'，1 214. 設(shè)曲線是用極坐標(biāo)方程r =r(R給出,且二階可導(dǎo)，證明它在點二處的曲率為2 2r 2r'rrk3r2 r'2 2解:設(shè)那么y =r si n&y'二 r cos： r'sinx

37、” =-r cost - r'sin- r'sin)r”cosv -r”cosv - 2r'sin -rcosyy''二rsin v r'cos ： r'cos： r ''sin - r''sin 2r'cos)-rsin 于是曲率為y“x'_x”y'3"x'2 y'2 2 (r''sin 日 +2r 'cos日-r sin 日)(一r sin 日 +r'cos 日)(r "cos日-2r'sin 日rcos

38、日 rcos日 + r'sin日32 2 2(rsin 日 +r'cos日)+(rcos日 +r 'sin 日)r2 +2r '2_rr=315證明：拋物線y =ax2 bx c在定點出的曲率半徑最小證明：可以求得y'二 2ax b, y” = 2a,那么曲率為ky''2ak _3_3 .(1 + y'2 j(1+(2ax + b 行顯然當(dāng)土?xí)r候-最?。灰字獮閽佄锞€y = ax2+bx + c定點的橫坐標(biāo)。解：可以求得y' =4(x_1),y“=4;于是曲率為k Ivl4331 y'2 21 16(x1)2 216

39、.求曲線y =2(x -1)2的最小曲率半徑。k17.求曲線y=ex上曲率最大的點。( 解：易解得y那么可以求得當(dāng)時候，丄取得最小值為-4.二ex, y'' = ex,那么曲率為y''lx:33 一1y'2 21 e2x 2e2x±e?x(1+e2x j2xe2x4 x 6x1 3e 3e e解dk二o可得dt1 1 3t 3t2 t3' q,又由于ddtk=-,因此可知，當(dāng)t =1時候，k值最大。 t 丄 9.322當(dāng)W時，可以解得罟;即曲線y=ex上曲率最大的點為ln 21、T.2).以下各題做得稀里糊涂(-.-)(*?*)<

40、<-?->>還有待有興趣者將其完善!18.求下列平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積：(-?-)(1)y 二 sin x,0 乞 x 乞二，繞x軸;解:由于 y' = cosx, 則所求面積為sin x、1 cos2 xdx 二 20”2 arcsinh(1) :-14.4236.(2) x =a(t -sint), y =a(1 -cost), a 0,0 二t < 2-,繞直線 y = 2a;(-?-) 解：可以求得=2a s in-dt,2于是2兀一tS=2(0 a(1+cost )2asin?dt =2 2 X2 與"（a b）繞x軸;（-？-）

41、a b解：設(shè) x=acost, y=bsint,于是ds 二.xt2 yt2dt 二 a2sin2t b2 cos2 tdt,o、（a2 _b2）s b2ds = b：8 a3 b33 a2 -b2那么2-sin22 2 2 2=2二 bsint . a sin t b cos tdt = 4b'：x = acos't, y = asin3t,繞x軸;(? ) ： ：-?-，解：可以求得 3a s in t cos tdt ds = x； yt2dt-3asin t costdt那么有713S=2 二2as in t3as in t cos tdt42二-4 a sin t3a

42、sin t costdt =23（8-2） a2二10(5) r2 =2a2cos2n*y = a cos2）sinds =acos2解：可以求得于是JtS=±2ja2sin寸d -2二a2（2_、2）.以下各題沒有給出答案！ ！不會做呀<vx?x>>19.求下列曲線段的質(zhì)心：1(1)半徑為r,弧長為-二：(乞二)的均勻圓弧;2對數(shù)螺線r =aeF(a0,k0)上由點(0, a)到點L,r)的均勻弧段；以A(0,0), B(0,1), C(2,1), D(2,0)為頂點的矩形周界，曲線上任意一點的密度等于該點到原點距離的2倍； x 二 a(t -sin t), y

43、= a(1 -cost),0 一 t 一 2二，a 0,密度為常數(shù)。20已知一拋物線段y = x2( -仁x汨)，曲線段上任意一點處的密度與該點到原點的距離成正 比,x =1處的密度為5,求此線段的質(zhì)量。21軸長10m,密度分布為'(X)=(6 0.3)kg/m,其中x為距軸的一個端點的距離,求軸的質(zhì)量22. 求半球Oz乞 R -x _y的質(zhì)心。23. 求錐體i x2 y2 _ z _ h的質(zhì)心和繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量。24. 求拋物體x2 y2 < z< h的質(zhì)心和繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量第三節(jié)微分方程初步1.求下列微分方程的通解:1.求下列微分方程的通解:(1)xy'-yln

44、 y =0;解：整理可得二ylny dx即dy dxyln y x兩邊積分有dy = dyy ln yx整理即得ln y二Cex,（C為常數(shù)）八慝；解：整理可得dy_ Ldx 一 I 1 - x2即dydx1 y2 一1 x2兩邊積分有dy _ dx整理即得arcsiny = arcsinx C（C為常數(shù)）.解：整理可得2dy 3x 5xdx5即25dy = 3x 5x dx兩邊積分有5dy = 3x2 5x dx整理即得32X丄X丄yC.52（C為常數(shù)）.(3)3x2 5x -5yO;解：整理可得dyxy 2dx x 1即dy xdx y x2 1兩邊積分有一叭 xdxyx 1整理即得Cy =2Jx2 +1xydx (x2 1)