數列求與7種方法

1、數列求和的基本方法和技巧(配以相應的練習)一、總論：數列求和7種方法：利用等差、等比數列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和二、等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數列求和的二個基本方法。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法等差數列求和公式：S1、n(a1 a.)“ n(n -1)na1d22、等比數列求和公式：Sn二a1 (1 - q )1-q(q=1)a1 " anq1 -q(q = 1)3、1n(n 1)24、Sin八k1 2k呂1n(n 1)(2 n

2、 1)65、nSn 八 k3k A1 2Fn(n 1)例1已知x二n項和.解：由等比數列求和公式得Sn 二 X X2X3 xn(利用常用公式)1 1x(1 xn)1 -x2(1莎)_ 1丄 12n2例2設 S"=1+2+3+ +n，n N*，求 f(n)=gs；的最大值解：由等差數列求和公式得Sn1 n(n 1), Sn = 1 (n 1)(n2)2 2（利用常用公式）f (n)二Sn(n ' 32) Sn 1n2n 34n 64164 n 34n1即n= 8時,f (n ) max50二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數

3、列項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列23n /例 3求和：Sn =1 3x 5x 7x 亠 亠（2n -1）x 解：由題可知，（2n- 1）xn'的通項是等差數列2n 1的通項與等比數列 xn設 xSn =1x 3x2 5x3 7x4 心：(2nn-1)x得(1 -x)& =1 2x 2x2 2x32x4：2xn一(2n - 1)xnan bn的前 n的通項之積（設制錯位）（錯位相減）再利用等比數列的求和公式得：（1 -x）Snn J1 X=1 2x(2n - 1)xn1 - xc (2n -1)xn (2n 1)xn (1 x)Sn =(1 - X)2例4求

4、數列2 ,弓，£ ,；2 ,前n項的和2 22 23 2nQ n匚的通項是等差數列2n的通項與等比數列2幺.自.22232n46 紐2223 241 22-得(/Sn J222 n -12o _, n 十2Sn =4 _解：由題可知,丄的通項之積2設Sn2* 1222+ + + .+23 24少n2n（設制錯位）（錯位相減）7)-1-1 I -，求數列 an的前n項和S.答案：爲二弘2忙1$ _ 22心二弘2” _ 2" +11 3 521練習題22“2廠2s的前n項和為心=3一警答案：I練習題1 已知三、逆序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個

5、數列倒過來排列(反序)數列相加，就可以得到 n個(a! an).例 5求證：C0 3C： 5C；(2n 1)C： = (n 1)2n證明：設 Sn =C0 3C1 5C2 - (2n. 1)C： .把式右邊倒轉過來得Sn =(2 n 1)C： (2 n-1)C：3C： C；又由Cm可得Sn =(2n 1)C0 (2n 1)C： W C； .+得 2Sn =(2n+2)(C0 +U + +C；-1 +C；) = 2(n+1) 2n，再把它與原(反序)(反序相加)(1)(2)Sn =(n 1) 2n已知函數:-證明：LI+/+/ 10丿110丿的值.解:(2)(i)先利用指數的相關性質對函數化簡，

6、后證明左邊=右邊利用第(i)小題已經證明的結論可知，< 1>(9廣5)+/=/+/ = =/ +/而vOj而f/ Q X則ST 2 +/ 10 J兩式相加得:四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例7求數列的前n項和：11,4,-y 7,u 3n -2 ,a aa1 1 1 解：設 Sn = （11）（4）（ 27）亠 亠（3n - 2）aaa將其每一項拆開再重新組合得1 1 1Sn = （1a1 .2j) - (1 4 7 囂囂 3n _ 2)a(3n-1)n(3n1

7、)n=n=-21_丄J an+(3n-1)n =a例8求數列n(n+1)(2n+1)的前n項和.當a= 1時,Sn（分組）（分組求和）解：設 ak =k(k 1)(2k1) =2k33k2 k1 -na - a (3n -1)n a -12nnSn = k(k 1)(2k 1) =、(2k3 3k2 k)k =1k W將其每一項拆開再重新組合得nnnSn= 2k3 3' k2' kk=1k=1k=1=2(1323n3) 3(1222 n2)(1 25)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 2（分組）（分組求和）2n(n 1)2(n 2)五、裂項法求

8、和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)sinltan(n 1)、-tanncosn cos(n 1)(3)ann(n 1)(4)(2n)2可 一(2n1)(2n 1)=1(丄2 2n12n 1(5)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)ann(n 1)12n2(n1) -nn(n 1)12nn -1n2 (n 1)2，則Sn=1 -(n 1)2n(7)(8)an例9求數列1 , ,.OZn rn 1 的前

9、n 項和.解：設an（裂項）_.廠廠 + 一l1、2.2.3、n（裂項求和）=C2 - J) (3 -、2)( n 1 -、n)例10在數列an中,an-，又 ban an 1求數列bn的前n項的和.(An B)(An C) C - B(An B An Can解:（裂項）站丄）n二數列b n的前n項和Sn1=8(1 )=(2009年廣東文)20.(本小題滿分1 13)(38nn 114分)11一4)(n1n-1)(裂項求和)1已知點(1,_)是函數f(x)二ax(a 0,且a = 1 )的圖象上一點，等比數列an的前n項和為f(n)3c,數列bn(bn0)的首項為c,且前n項和Sn滿足SnS*

10、=Sn+Sn1(n_2).(1)求數列an和bn的通項公式;1 1000(2)若數列 前n項和為Tn,問Tn>-000的最小正整數2009n是多少？bnbn 10.【解析】(1)ai 二1f 1 "c ,a2|Lf 2 _c.-f 1 -ca3ILf3 -c. 一 ILf 2 -cJ=27又數列ian f成等比數列,as1二1 -c，所以327a1又公比q 2 =，所以3-n 42 i1an :n 3 3QSn-Sn 八一云.5 ,S ,Sn2又 bn 0 ,. Sn0,Sn - . Sn=1 ；數列-.瓦？構成一個首相為1公差為1的等差數列，,Snn-1 1=n ,Sn當 n

11、2，bn2 2=Sn -Sn=n -<n T 2n -1 ；bn - 2n -1(b1b21b2b3bsb41 -2.32 3bnbn 11 3 3 5 5 72 2n -1 2n 1(2n-1) 2n 1亠 -,2 2n 1 2n 12n 12009 得滿足Tn的最小正整數為112.2009+練習題1.17I44x71(劃-2)x (翻 +1)+424 3»5 46一 一.1h 111 )一答案：丄34-2h+3 J練習題2。求數列通項公式的常用方法(1) 求差(商)法練習數列a?滿足Sn Sn 1 =5an 1,印=4，求3注意到an 4 = Sn彳- Si，代入得 邑=

12、4 又3=4 ,.、Sn *是等比數列，S = 4“Sn；n 2時，an =Sn 卡4 = = 3-4n4(2) 疊乘法如：數列：an中，a4 =3,旦口 = ，求anan n +1an J 23an-又 a3,-an(3) 等差型遞推公式由 an-an4、= f(n), Q a。，求 an，用迭加法a?a1 = f(2)'a3 a2 f (3)n =2時, j兩邊相加得an -Q = f (2) + f+ f(n)an -an4 二 f (n)二 an 二a。f(2)f(3)f (n)練習數列:an /中，a1 =1,an =3nand n - 2，求a.an(已知數列春滿足aV，an"anJ ，求 an on n解：由條件知：an 1 -an二飛n+n n(n+1) n n+1分別令n =1,2,3,(n 一 1)，代入上式得(n 一1)個等式累加之，即(a 3 ) 3 -2) (&4 3) '(an an)1 U(- -)n -1 n1 1 1 1 1"2)+(廠 3)+(3 蔦)1所以 an -a1 =1 -1n11,-a1, an 122(4) 等比型遞推公式d為常數,可轉化為等比數列,設