現(xiàn)代控制理論

1、1.3.3由狀態(tài)空間表達(dá)式到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換由狀態(tài)空間表達(dá)式到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)矩陣的概念傳遞函數(shù)矩陣的概念 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為l令初始條件為零，求拉氏變換式令初始條件為零，求拉氏變換式 l系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為DuCxyBuAxx)U(G()DU(BA)IC()Y()BU(A)I()X(11ssssssssDBA)IC()G(1ss多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 例：初始條件為零 表示多個輸入與多個輸表示多個輸入與多個輸出之間的傳遞關(guān)系出之間的傳遞關(guān)系用矩陣方程表示：)()()()()()()()()()(22212122121111sUsGs

2、UsGsYsUsGsUsGsY)()()()()()()()(212221121121sUsUsGsGsGsGsYsY簡記為： )()()(sUsGsY輸入向量的拉輸入向量的拉普拉斯變換普拉斯變換 輸出向量的拉輸出向量的拉普拉斯變換普拉斯變換 系統(tǒng)的傳遞系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣 整體反映了雙輸整體反映了雙輸入與雙輸出之間入與雙輸出之間的傳遞關(guān)系的傳遞關(guān)系 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：令初始條件為零，則：DuCxyBuAxx)()()()()()()()(11sUssUssYsUssXWDBAICBAIDBAICW1)()(ss sDUsCXsYsBUsAXssX則系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為： )d

3、et()()(1AIAIAIssadjs為為( (sI-A)sI-A)的伴的伴隨矩陣隨矩陣為為( (sI-A)sI-A)的特的特征行列式征行列式 狀態(tài)空間到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換注意：注意： 同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式是非唯同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式是非唯 一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的。一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的。 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征方程:0s AI0s AI系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征根: 的根。)()()()()()()()()()(212222111211sWsWsWsWsWsWsWsWsWsmrmmrrW 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) rm例例1.11 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為已知系統(tǒng)

4、的狀態(tài)空間模型為 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。uxxxxxx0010321100010321321321001xxxy )()()(sUsYsGDBA)IC()U()Y()G(1ssss3211001321100010000000sssssss AI解：根據(jù)求傳遞函數(shù)的公式由給定狀態(tài)空間模型知，123) 12()3(11323)det()(adj)(23221sssssssssssssssAIAIAI00010010DCB123)23(10232sssssssssDBA)IC()U()Y()G(11.3.4 MATLAB實現(xiàn)l本節(jié)將討論如何應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)模型在傳遞函數(shù)與狀態(tài)方

5、程之間的轉(zhuǎn)換。l1）由傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換）由傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換l將閉環(huán)傳遞函數(shù)寫為 使用MATLAB命令 A, B, C, D = tf2ss (num, den)可給出狀態(tài)空間表達(dá)式。 應(yīng)注意，任何系統(tǒng)的空間表達(dá)式都不是唯一的。對于同一系統(tǒng)，可有多個狀態(tài)空間表達(dá)式。上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式。狀態(tài)dennumsssUsY的分母多項式含的分子多項式含)()(l考慮以下傳遞函數(shù) 對該系統(tǒng)，有多個可能的狀態(tài)空間表達(dá)式，其中一1605614)164)(10()()(232sssssssssUsY種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式為uxxxxxx141014561

6、60100010321321 另外一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式為uxxxy0001 321uxxxyuxxxxxx00100010100011605614321321321l應(yīng)用MATLAB中給出的傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間 表達(dá)式的轉(zhuǎn)換函數(shù)，對于以上的系統(tǒng)，MATLAB執(zhí)行上述程序后，結(jié)果為MATLAB Program 1.1num=0 0 1 0;den=1 14 56 160;A,B,C,D = tf2ss(num,den)Program 1.1 將產(chǎn)生矩陣A、B、C和D。A= -14-56 -160 1 0 0 0 1 0B= 1 0 0C= 0 1 0D= 0l2) 由狀態(tài)空間表達(dá)式到傳遞函

7、數(shù)的轉(zhuǎn)換由狀態(tài)空間表達(dá)式到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換lMATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了函數(shù)命令ss2tf()，可以把給定的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。這一函數(shù)的調(diào)用格式為其中，A、B、C、D分別表示系統(tǒng)狀態(tài)方程模型的num,den= ss2tf(A,B,C,D,iu)各個矩陣，iu表示要求的輸入序號，若系統(tǒng)為單有iu=1。系統(tǒng)，則輸入 對于多變量的系統(tǒng)，不能用此函數(shù)一次求出所有信號的整個傳遞函數(shù)矩陣，而必對各個信號逐個求出傳遞函數(shù)子矩陣，最后獲得須整個傳遞函數(shù)矩陣。.MTLAB Program 1.2A=0 1 0; 0 0 1; -5.008 -25.1026 -5.032471;B=0; 25.

8、04; -121.005;C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)num= 0 -0.0000 25.0400 5.0080den= 1.0000 5.0325 25.1026 5.0080%*同樣的結(jié)果也可通過下述命令獲得*num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num= 0 -0.0000 25.0400 5.0080den= 1.0000 5.0325 25.1026 5.0080lMATLAB Program 1.2將產(chǎn)生給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所得傳遞函數(shù)為對于系統(tǒng)有多個輸入與多個輸出的情況，見例1.13。例1.13 考慮一個多輸入-多輸出系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)

9、輸出008. 51026.250325. 5008. 504.25)()(23sssssUsY多于一個時，MATLAB命令：NUM，den = ss2tf (A,B,C,D,iu) 對每個輸入產(chǎn)生所有輸出的傳遞函數(shù)（分子系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂信c輸出相同行的矩陣NUM）。考慮由下式定義的系統(tǒng) 21212121212100001001101142510uuxxyyuuxxxxl 該系統(tǒng)有兩個輸入和兩個輸出，包括4個傳遞函數(shù)：Y1（s）/U1(s)、Y2（s）/U1(s)、Y1（s）/U2(s)和Y2（s）/U2(s)（當(dāng)考慮輸入u1時，可設(shè)u2為零。反之亦然），見下列MATLAB Program 1.3。

10、4個傳遞函數(shù)的MATLAB表達(dá)式如下254225)()(,2545)()(,25425)()(,2544)()(22221212211ssssUsYssssUsYsssUsYssssUsYMTLAB Program 1.3A=0 1； -25-4；B=1 1；01；C=1 0； 0 1；D=0 0； 0 0；num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1)num1=0 140 0-25den1=1 425num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2)num2=01.0000 5.000001.0000 -25.000den2=1 4251.4 由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式由控

11、制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式 )(assK bscs yu)(1as bsk yusK1x2x3x1.1.系統(tǒng)中不含振蕩環(huán)節(jié)的情況系統(tǒng)中不含振蕩環(huán)節(jié)的情況(1)(1)把各個環(huán)節(jié)化為最簡單形式的組合把各個環(huán)節(jié)化為最簡單形式的組合 一階慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)(2)(2)把各個環(huán)節(jié)的輸出選做狀態(tài)變量把各個環(huán)節(jié)的輸出選做狀態(tài)變量)()()()()()()()(1)(1313221sxsubsksxsxsusxsKsxsxassx 1313312211xykubxkxxKuKxKxxxaxx )()()()()()()()()()()(313312211skus

12、bxskxssxsKusKxsKxssxsxsaxssx 32132132100100001xxxyukKxxxbkKKaxxx2.2.系統(tǒng)中含有振蕩環(huán)節(jié)的情況系統(tǒng)中含有振蕩環(huán)節(jié)的情況（1） 把各個環(huán)節(jié)化為最簡單組合把各個環(huán)節(jié)化為最簡單組合, ,若干個一階慣性環(huán)節(jié)，積若干個一階慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié) (2) (2) 對于二階系統(tǒng)對于二階系統(tǒng), ,把它看作一個單位反饋系統(tǒng)的輸出把它看作一個單位反饋系統(tǒng)的輸出 (3) (3) 把各個環(huán)節(jié)的輸出選做狀態(tài)變量把各個環(huán)節(jié)的輸出選做狀態(tài)變量 )()()(1)()()(1)()()(100000001200012assasGsGsGsGsGsGsGsGKasasaKasasK012asasK bs 1yucsds 11as sa0y0K11as sa0y0Kbs 1csk 1x2x3x4x43214321014321 000101000010100001xxxxyuxxxxckbKaaxxxx(4)狀態(tài)空間表達(dá)式為例1