數(shù)列知識點總結(jié)

1、必修 第二章數(shù)列知識總結(jié)一、等差數(shù)列1等差數(shù)列定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項；數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N( 或它的有限子集 1,2,L,n 的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值. 它的圖像是一群孤立的點 .它具有如下特征：an 1and , 或 an 2 an 1an 1an (n N )注意：（ 1）證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的五種基本方法（大多用在客觀題上）：利用定義：證明 an1and （ 常數(shù) ）利用中項性質(zhì)：證明2anan 1 an 2(n N )通項公式法： anpn q （ p、q 為常數(shù)） an 為等差數(shù)列前 n

2、項和公式法：SnAn 2Bn （A 、B 為常數(shù)） an 為等差數(shù)列 an 成等比數(shù)列且 an0lg an 為等差數(shù)列（ 2）證明數(shù)列an不是等差數(shù)列的常用方法：找反例.(如驗證前三項不成等差數(shù)列 ) .（ 3）若 an 1ann, a1a, nN，則 an 不是等差數(shù)列 ,求 an 可用累加法an (anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a2a1 ) a1, n 2.2通項公式及其變式ana1 (n 1)d dn (a1d)變式： anam(nm) d a1an (n 1)d danamdanam （聯(lián)想點列 (n, an )所在直線的斜率）nmnm3前 n 項和公式及其變式n(a1

3、an )na11 n( n1)d ；Sn21 n(n2變式 : Snan n1)d聯(lián)想 : an是以 an 為首項 ,d 為公差的等差數(shù)列 .d n22d )n Sn(a1 Sn22d(n1)a1Sn是以 a1 為首項d 為公差的等差數(shù)列n2聯(lián)想：n, 2 Sna12ana1a2Lan聯(lián)想：算術(shù)平均數(shù)nn4等差中項若 a, b, c 成等差數(shù)列，則b 稱 a 與 c 的等差中項，且 bac an25重要性質(zhì) (等差數(shù)列中 )（ 1）對稱性質(zhì)：若m+n=p+q(m.、 n、 p、qN ),則 aman a paq ；特別地：當m+n=2p 時 aman2ap ;(2）若 d 為 an 的公差，則

4、其子數(shù)列 ak , akm, ak 2 m,L , 也成等差數(shù)列，且公差為md ；（ 3）片段和性質(zhì)：Sm , S2mSm , S3mS2m ,也成等差數(shù)列，且公差為m2d ；（ 4）若 an , bn都是等差數(shù)列 ,則 kan, kan p, kanpbn 都為等差數(shù)列；（ 5）若項數(shù)為 2n(n)則 S偶S奇S奇an； S2 nn( anan 1 );nd ；anS偶1若項數(shù)為 2n-1 (nN* )則 S奇S偶an ； S奇n； S2 n 1(2 n1)an .S偶n 1評注 : 有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定 . 若總項數(shù)為偶數(shù)，則“

5、偶數(shù)項和”“奇數(shù)項和”總項數(shù)的一半與其公差的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”“偶數(shù)項和”此數(shù)列的中項.6常用結(jié)論、技巧，減少運算量（注意對稱設(shè)元，整體消參，設(shè)而不求）（ 1）設(shè)元技巧：如三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad, a, ad ；四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a3d, ad , ad , a3d .（ 2）在等差數(shù)列中，求Sn 最值：方法一：建立Sn 的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為n 的二次函數(shù)求；方法二：若 a10, dan 00時, Sn 有最大值，這時可由不等式組來確定 n；an1 0若 a10, dan 00時 , Sn 有最小值，這時可由不等式組來確定 n.an 1 0（ 3）基本量計算：等差數(shù)列

6、中有五量( a1 , n, d , an , Sn ) 、三式（一個通項公式，兩個求和公式），一般可以“知三求二”通過列方程（組）求關(guān)鍵量a1 和 d，問題可迎刃而解 .（ 4）幾個重要結(jié)論 a pq, aqp( p q)a p q0 Spq, Sqp( p q)Sp q( p q) SpSq ( p q)Sp q0 Sm nSmSnmnd二、等比數(shù)列定義與特征：定義： _.它具有如下特征：an1q(q 為不為零常數(shù) )an 2an1（ nN* ）an或者 aan 1n注：（ 1）證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：利用定義： an 1q (q 為不為零常數(shù) )an利用等比中項：an21anan

7、 2通項公式法 : ancqn (c0)前 n 項和法 : Snkq nk( k0) an 成等差數(shù)列 can 為等比數(shù)列（ 2）證明數(shù)列an 不是等比數(shù)列的常用方法：找特例 .2通項公式： ana1qn 1 ；變式： anamqn m ；qnman（ n>m; m 、nN）am3前 n 項和公式：sna1 (1 qn ) a1an q ( q 1) ；1 q1q（ 1）注意：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1 的關(guān)系，必要時分類討論 .（ 2）當公比 q1 時，Sn1qnSm1qm4等比中項若 a，G , b 成等比數(shù)列，則G 為 a, b 的等比中項，即Gab , ab0 .5

8、性質(zhì)在等比數(shù)列an 中，有（ 1）若 m+n=p+q， m ,n, p ,qN , 則 amanap aq ；當 m+n=2p 時， a aa2 ；m np（ 2）若 an, bn 成等比數(shù)列 ,則 | an |kan,an2anbn, 1, an也成等比數(shù)列；anbn（ 3）若 q 為 an 的公比，則其子序列ak , ak m ,ak 2 m,L也成等比數(shù)列 ,公比為 qm ；(即序號成等差數(shù)列的項按原次序構(gòu)成新的等比數(shù)列)qm .（ 4）片段和 : Sm , S2 m Sm , S3mS2m ,也成等比數(shù)列，且公比為6常用結(jié)論、技巧：qmSnqn Sm S3nqn S2 nq2 n Sn

9、（ 1） Sm n SmSnSnS2 n（ 2）前 n 項和公式，一定要分q=1 或 q1 兩種情況(3) 設(shè)元技巧：三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為a , a, aq ；q四個數(shù)成等比數(shù)列，不能設(shè)為a, a, aq, aq3 ，只有當 q>0 時才可以q3q(4) 等比數(shù)列 an 的單調(diào)性當 a10, q1 或 a1 < 0,0q1時，等比數(shù)列an 為遞增數(shù)列；當 a10,0 q1 或 a1 < 0, q1時，等比數(shù)列an 為遞減數(shù)列；當 q1 時，等比數(shù)列an為常數(shù)列 ;當 q0 時，等比數(shù)列an為擺動數(shù)列 .(5) 有限項等比數(shù)列中，設(shè)“偶數(shù)項和”為 S偶 ，“奇數(shù)項和”為

10、S奇若總項數(shù)為偶數(shù)2n，則 S偶qS奇 ；若總項數(shù)為奇數(shù)2n1， S奇a1 qS偶 .三、數(shù)列求和的方法：公式法(1)等差數(shù)列 an 的前 n 項和公式（三種形式）;(2)等比數(shù)列 an 的前 n 項和公式（三種形式）;(3) 幾個重要公式135L(2 n 1) (n 1)2122232 L n21 n(n 1)(n 2)6132333L n3n2 (n 1)24倒序相加法:在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)， 則?？煽紤]選用倒序相加法， 發(fā)揮其共性的作用求和 （這也是等差數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)方法） 如 :在 1 n和 n1之間插入n 個正數(shù)，

11、使這n+2 個數(shù)成等比數(shù)列，求所插入的n 個數(shù)之積3錯位相減法：適用于bncn的數(shù)列；其中bn成等差數(shù)列,Cn成等比數(shù)列.記 Snb1c1b2 c2Lbn 1cn 1bn cn ；則qSnb1c2Lbn 1cnbn cn 1 .（這也是等比數(shù)列前n 和公式的推導(dǎo)方法之一）4裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和. 常用裂項形式有：11)1n1n( nn11111 n( n k ) k( n n k )n( n11111)(n 2)2n(n 1)( n 1)(n2) anSnSn 1 (n 2)5. 分組求和：適用于 cn an bn

12、，而 an 、 bn 的和易求得 .四、求一般數(shù)列通項公式的類型及方法：1應(yīng)用公式（等差、等比數(shù)列）；S1( n1)2已知Sn 求an 可用anSnSn 1(n2),是否分段,需要驗證( 數(shù)列的通項、數(shù)列的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前 n 項和公式的關(guān)系 )3累加法：適用于差后等差或差后等比的數(shù)列；an (anan 1) (an 1 an 2 ) L (a2a1 ) a1 ；如：已知數(shù)列an滿足 an 1an2n, a13, 求 an ；已知數(shù)列an滿足 an 1an2n , a13, 求 an .4累積法：適用于分式給出的遞推式，累積后可以消去中間項，ananan 1La2a1,n 2.an 1an 2a1如：已知數(shù)列 an 滿足 an 1 anan 1 已知數(shù)列an滿足ann2 ,a1=1,求 an ；n2n ,a1=1,求 an .5構(gòu)造特殊數(shù)列法：（ 1）利用遞推關(guān)系寫出數(shù)列的前幾項，根據(jù)前幾項的特點觀察、歸納猜想出an 的表達式，然后用數(shù)學歸納法證明.（ 2）將遞推關(guān)系式進行變形 ,然后運用累加、累積、迭代、換元轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列（等差、等比數(shù)列）；如：已知數(shù)列an滿足 an 13an2, a11, 求 an ；已知數(shù)列an滿足 an1 an 12n1,a1 1,求 an .2五、數(shù)列的應(yīng)用 (三個模型 )凡