廣州小升初輔導(dǎo)斐波那契數(shù)列的若干表現(xiàn)

1、廣州小升初輔導(dǎo)：斐波那契數(shù)列的若干表現(xiàn)節(jié)選自智康1 對(duì) 1 小升初指導(dǎo)中心中世紀(jì)最有才華的數(shù)學(xué)家斐波那契（1175 年 1259 年）出生在意大利比薩市的一個(gè)商人家庭。因父親在阿爾及利亞經(jīng)商，因此幼年在阿爾及利亞學(xué)習(xí)，學(xué)到了不少當(dāng)時(shí)尚未流傳到歐洲的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)。成年以后，他繼承父業(yè)從事商業(yè)，走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國(guó)和意大利的西西里島。斐波那契是一位很有才能的人，并且特別擅長(zhǎng)于數(shù)學(xué)研究。 他發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)要比歐洲大陸發(fā)達(dá)， 有利于推動(dòng)歐洲大數(shù)學(xué)的發(fā)展。他在其他國(guó)家和地區(qū)經(jīng)商的同時(shí)，特別注意搜集當(dāng)?shù)氐乃阈g(shù)、代數(shù)和幾何的資料?；貒?guó)后，便將這些資料加以研究和整理，編成算經(jīng) （1202 年

2、，或叫算盤書(shū)）。算經(jīng)的出版，使他成為一個(gè)聞名歐洲的數(shù)學(xué)家。繼算經(jīng)之后，他又完成了幾何實(shí)習(xí)（ 1220 年）和四藝經(jīng)（1225 年）兩部著作。算經(jīng)在當(dāng)時(shí)的影響是相當(dāng)巨大的。 這是一部由阿拉伯文和希臘文的材料編譯成拉丁文的數(shù)學(xué)著作， 當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是歐洲人寫的一部偉大的數(shù)學(xué)著作，在兩個(gè)多世紀(jì)中一直被奉為經(jīng)典著作。在當(dāng)時(shí)的歐洲， 雖然多少知道一些阿拉伯記數(shù)法和印度算法，但僅僅局限在修道院內(nèi)，一般的人還只是用羅馬數(shù)學(xué)記數(shù)法而盡量避免用“零”。斐波那契的算經(jīng)，介紹了阿拉伯記數(shù)法和印度人對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根、立方根的運(yùn)算方法，在歐洲大陸產(chǎn)生了極大的影響，并且改變了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的面貌。他在這本書(shū)的序言中寫道：“我把

3、自己的一些方法和歐幾里得幾何學(xué)中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是決定寫現(xiàn)在這本15 章的書(shū)，使拉丁族人對(duì)這些東西不會(huì)那么生疏?！痹陟巢瞧醯乃憬?jīng)中，記載著大量的代數(shù)問(wèn)題及其解答，對(duì)于各種解法都進(jìn)行了嚴(yán)格的證明。下面是書(shū)中記載的一個(gè)有趣的問(wèn)題：例 1 有個(gè)人想知道，一年之內(nèi)一對(duì)兔子能繁殖多少對(duì)？于是就筑了一道圍墻把一對(duì)兔子關(guān)在里面。 已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)小兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開(kāi)始生小兔子。假如一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么，一對(duì)兔子一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)？現(xiàn)在我們先來(lái)找出兔子的繁殖規(guī)律，在第一個(gè)月， 有一對(duì)成年兔子， 第二個(gè)月它們生下一對(duì)小兔，因此有二對(duì)兔子，一對(duì)成年，

4、一對(duì)未成年；到第三個(gè)月，第一對(duì)兔子生下一對(duì)小兔，第二對(duì)已成年，因此有三對(duì)兔子，二對(duì)成年，一對(duì)未成年。月月如此。第 1 個(gè)月到第 6 個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)是：1，2，3，5，8，13 。我們不難發(fā)現(xiàn)， 上面這組數(shù)有這樣一個(gè)規(guī)律：即從第 3 個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和。若繼續(xù)按這規(guī)律寫下去，一直寫到第12 個(gè)數(shù)，就得：1，2，3，5，8，13 ，21 ，34 ，55，89，144 ，233 。顯然，第 12 個(gè)數(shù)就是一年內(nèi)兔子的總對(duì)數(shù)。所以一年內(nèi)1 對(duì)兔子能繁殖成233 對(duì)。在解決這個(gè)有趣的代數(shù)問(wèn)題過(guò)程中，斐波那契得到了一個(gè)數(shù)列。 人們?yōu)榧o(jì)念他這一發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)數(shù)列前面增加一項(xiàng)“1”后得到數(shù)列：1

5、，1，2，3，5，8，13 ，21 ，34 ，55 ，89， 叫做“斐波那契數(shù)列”，這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)都叫做“斐波那契數(shù)”。后來(lái)，在一些小學(xué)刊物也把這個(gè)數(shù)列形象的稱為“兔子數(shù)列” 。在美國(guó)科學(xué)美國(guó)人雜志上曾刊登過(guò)一則有趣的故事：斐波那契數(shù)列在實(shí)際生活中有非常廣泛而有趣的應(yīng)用。除了動(dòng)物繁殖外， 植物的生長(zhǎng)也與斐波那契數(shù)有關(guān)。 數(shù)學(xué)家澤林斯基在一次國(guó)際性的數(shù)學(xué)會(huì)議上提出樹(shù)生長(zhǎng)的問(wèn)題： 如果一棵樹(shù)苗在一年以后長(zhǎng)出一條新枝，然后休息一年。 再在下一年又長(zhǎng)出一條新枝，并且每一條樹(shù)枝都按照這個(gè)規(guī)律長(zhǎng)出新枝。那么，第1年它只有主干，第2 年有兩枝，第 3 年就有 3 枝，然后是 5 枝、 8 枝、 13 枝

6、等等，每年的分枝數(shù)正好是斐波那契數(shù)。生物學(xué)中所謂的 “魯?shù)戮S格定律”，也就是斐波那契數(shù)列在植物學(xué)中的應(yīng)用。下面這些例子，都落實(shí)到與小升初有關(guān)的考題中了。題目的面目各不相同，但最后都露出斐波那契數(shù)列的真面目。例 2 圖 1 是一個(gè)樹(shù)形圖的生長(zhǎng)過(guò)程，依據(jù)圖中所示的生長(zhǎng)規(guī)律，第16 行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是分析與解：有些題目只是表達(dá)的形式不一樣，其實(shí)只要透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)，不同的表達(dá)形式，所要揭示的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是一樣的。這一題的實(shí)質(zhì)是上面提到的生長(zhǎng)樹(shù)，是非常有名的斐波那契數(shù)列。從圖上很容易看出從第一行開(kāi)始，實(shí)心圓點(diǎn)的數(shù)量是這樣排列的：0，1 ，1 ，2，3，5對(duì)于每一個(gè)空心圓點(diǎn)它到下一行只生出一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，

7、而對(duì)于每一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)它到下一行可生出一空一實(shí)兩個(gè)點(diǎn)。到第六行時(shí)我們可看出這一行的五個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行必定能生出5 個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)另五個(gè)是空心圓點(diǎn)， 另外三個(gè)空心圓點(diǎn)還能生出三個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，因此下一行為5+3=8個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，同理下一行的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)為本行的所有實(shí)心加所有空心圓點(diǎn)數(shù)，為8+5=13 不用多說(shuō)，這實(shí)際有一個(gè)非常明顯的規(guī)律： 也就是這一列數(shù)從第三個(gè)數(shù)起任一行的實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)都等于它前兩行個(gè)數(shù)的和。因此結(jié)果很快可推知：0，1，1，2，3，5，8，13，21 ，34 ，55 ，89 ，144 ，233 ，377 ， 610 。第 16 行的實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為610 。另外空心圓點(diǎn)的數(shù)目其實(shí)也是有一定規(guī)律

8、的，可以列出來(lái)看一下： 1，0 ，1 ，1，2 ，3， 5， 8 你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？那么第16 行空心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)又是多少呢？例 3 一個(gè)樓梯共有 10 級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁一級(jí)臺(tái)階或二級(jí)臺(tái)階，最多可以邁三級(jí)臺(tái)階。 從地面到最上面一級(jí)臺(tái)階， 一共可以有多少種不同的走法？（華校思維導(dǎo)引計(jì)數(shù)綜合二）分析與解：這道題同樣可以用找規(guī)律的方法，我們可以先看只有1 級(jí)臺(tái)階的情況開(kāi)始：一級(jí)臺(tái)階，有： 1 種；2 級(jí)臺(tái)階，有： 1、1 ，2，共兩種；3 級(jí)臺(tái)階，可以有： 1、1、1，1、2，2、1，3，共 4 種走法；4 級(jí)臺(tái)階時(shí)，有： 1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3 、1，共 7=4+2+1種；5 級(jí)臺(tái)階時(shí)，有： 1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共 13=7+4+2種；6 級(jí)臺(tái)階時(shí)，得到24=13+7+4種；即： n 級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有的走法種數(shù)是它的前三種走法的和。由此得到， 10 級(jí)臺(tái)階時(shí)為 274 種。另外，還可用加法原理倒推，也比較重要。想上第10 級(jí)臺(tái)階，根據(jù)題意，完成這件事情的方法可