高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理題型總結(jié)

1、二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)歸納 1二項(xiàng)式定理及其特例：（1），（2）2二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：3常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性 4二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和5二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是，,，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是,例當(dāng)時(shí),其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱(chēng)性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（） 直線(xiàn)是圖象的對(duì)稱(chēng)軸（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

2、中間兩項(xiàng)，取得最大值（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和:，令，則 題型講解 例1 如果在(+）n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列,求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)解：展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,，,由題意得2×=1+，得n=8設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T=C··x，則r是4的倍數(shù),所以r=0,4,8,有理項(xiàng)為T(mén)1=x4,T5=x，T9=點(diǎn)評(píng)：求展開(kāi)式中某一特定的項(xiàng)的問(wèn)題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r例2 求式子(x+2）3的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)解法一：(x+2）3=（|x+2）（x+2）(x+2)得到常數(shù)項(xiàng)的情況有:三個(gè)括號(hào)中全取2，得(2)3;一個(gè)括號(hào)取x,一個(gè)括號(hào)取，一個(gè)括號(hào)取2,得CC（2

3、）=12，常數(shù)項(xiàng)為（2）3+(12）=20解法二：（x|+2）3=（）6設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則T=C·（1）r·（）r·|x=（1）6·C·x|，得62r=0，r=3T3+1=（1）3·C=20例3 求(1+x+x2+x3）（1x）7的展開(kāi)式中x4的系數(shù)；求（x+4）4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；求（1+x）3+（1+x)4+(1+x)50的展開(kāi)式中x3的系數(shù)解：原式=（1x）7=(1x4）（1x）6，展開(kāi)式中x4的系數(shù)為(1）4C1=14（x+4）4=，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C·（1）4=1120方法一:原式=展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C

4、方法二：原展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C點(diǎn)評(píng)：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開(kāi)式形式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵例4 求展開(kāi)式中的系數(shù)解：令點(diǎn)評(píng)：是展開(kāi)式中的第項(xiàng),注意二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是,第4項(xiàng)的系數(shù)為，二者并不相同例5 求展開(kāi)所得的多項(xiàng)式中,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)解:依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又，構(gòu)成首項(xiàng)為0，公差為6，末項(xiàng)為96的等差數(shù)列，由得，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：有理項(xiàng)的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求展開(kāi)式中的系數(shù)解法一:故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故展開(kāi)式中的系數(shù)為240,解法二： ，要使指數(shù)為1,只

5、有才有可能，即，故的系數(shù)為，解法三：，由多項(xiàng)式的乘法法則,從以上5個(gè)括號(hào)中,一個(gè)括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，其它四個(gè)括號(hào)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則積為的一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題通常有兩個(gè)解法：化三項(xiàng)為二項(xiàng)，乘法法則及排列、組合知識(shí)的綜合應(yīng)用例7 設(shè)an=1+q+q2+q(nN，q±1),An=Ca1+Ca2+Can（1）用q和n表示An;（2)（理)當(dāng)3<q<1時(shí),求解:（1）因?yàn)閝1,所以an=1+q+q2+q=于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2)=1（）n因?yàn)?<q<1,且q1，所以0<| &

6、lt;1所以=例8 已知，求分析：在已知等式的左邊隱含一個(gè)二項(xiàng)式,設(shè)法先求出n解：在中，令得 點(diǎn)評(píng)：記住課本結(jié)論：, 注意所求式中缺少一項(xiàng)，不能直接等于例9 已知，求解： 令時(shí),有，令時(shí)，有 點(diǎn)評(píng)：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見(jiàn)不鮮，特別在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達(dá)式）中的某些字母賦予一定的特殊值,從而達(dá)到便于解決問(wèn)題的目的望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中舉一反三例10 求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)解:設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，即又故系數(shù)最大項(xiàng)為點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)不同二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)也即中間項(xiàng):當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

7、中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)相等且為最大小結(jié)：1在使用通項(xiàng)公式T=Cbr時(shí)，要注意：通項(xiàng)公式是表示第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，T五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè),求另外幾個(gè)元素的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般是利用通項(xiàng)公式,把問(wèn)題歸納為解方程(或方程組）這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且rn2證明組合恒等式常用賦值法課堂練習(xí) 1已知（13x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9，則|a0+a1+|a2+a9|等于A29 B49 C39 D1解析：x的奇

8、數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值,a0+a1+|a2+a9|=a0a1+a2a3+a9已知條件中只需賦值x=1即可答案:B2 2x+）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是A6B12C24D48解析：（2x+)4=x2（1+2）4,在（1+2）4中，x的系數(shù)為C·22=24答案：C3（2x3）7的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是A14B14C42D42解析:設(shè)(2x3）7的展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)是T=C（2x3）（）r=C2·（1）r·x,當(dāng)+3(7r)=0，即r=6時(shí),它為常數(shù)項(xiàng)，C（1)6·21=14答案：A4一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡,只要有一只燈泡壞了,整串燈泡就不亮,則

9、因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A20 B219C220D2201解析：C+C+C=2201答案：D5已知(x）8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A28B38C1或38D1或28解析：T=C·x8r·（ax1)r=（a）rC·x82r，令82r=0，r=4，（a）4C=1120a=±2當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則(12）8=1，當(dāng)a=2時(shí)，令x=1,則（12)8=38答案：C6已知(x+x）n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開(kāi)式中x5的系數(shù)是_(以數(shù)字作答）解析：(x+x）n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，令x

10、=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128,n=7設(shè)該二項(xiàng)展開(kāi)式中的r+1項(xiàng)為T(mén)=C(x）·（x）r=C·x,令=5即r=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C=35答案:357若（x+1)n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN），且ab=31，那么n=_解析:ab=CC=31，n=11 答案：118（x）8展開(kāi)式中x5的系數(shù)為_(kāi)解析：設(shè)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為T(mén)=Cx8r·（）r=（1）rCx令8=5得r=2時(shí),x5的系數(shù)為（1）2·C=28答案：289若(x3+）n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_解析：T=C（x3）nr·（x）r=C·x，令3nr=0

11、，2n=3rn必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗(yàn)可知n=9,r=6時(shí)，C=C=84答案：910已知（x+1）n展開(kāi)式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為20000，求x的值解:由題意CCC=22，即CCC=22，n=6第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C（x）3=20000，即x3lgx=1000x=10或x=11若（1+x）6(12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11求：(1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10解：（1）(1+x）6(12x)5=a0+a1x+a2x2+a11x11令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261

12、=65（2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0+得a0+a2+a10=(26+0)=32點(diǎn)評(píng):在解決此類(lèi)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和的問(wèn)題中常用賦值法，令其中的字母等于1或112在二項(xiàng)式(axm+bxn)12（a0，b0,m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開(kāi)式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng)（1)求它是第幾項(xiàng)；(2)求的范圍解：(1)設(shè)T=C（axm）12r·（bxn)r=Ca12rbrxm(12r）+nr為常數(shù)項(xiàng)，則有m(12r）+nr=0，即m(12r）2mr=0，r=4,它是第5項(xiàng)（2）第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，有Ca8b4Ca9b3 Ca8b4Ca7b5 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即由得，13在二項(xiàng)式（+）n的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)分析：根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式，先確定n,再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng)解：前三項(xiàng)系數(shù)為C，C,C,由已知C=C+C,即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去)T=C（）8r（2）r=C··x4Z且0r8,rZ，r=0,r=4,r=8展開(kāi)式中x的有理項(xiàng)為T(mén)1=x4，T5=x，T9= x2點(diǎn)評(píng)：展開(kāi)式