高中數(shù)學二項式定理題型總結

1、二項式定理知識點歸納 1二項式定理及其特例：（1），（2）2二項展開式的通項公式：3常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項：求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性 4二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當依次取時,二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和5二項式系數(shù)的性質：展開式的二項式系數(shù)是，,，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是,例當時,其圖象是個孤立的點（如圖）（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（） 直線是圖象的對稱軸（2）增減性與最大值：當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，

2、中間兩項，取得最大值（3）各二項式系數(shù)和:，令，則 題型講解 例1 如果在(+）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中的有理項解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1,，,由題意得2×=1+，得n=8設第r+1項為有理項，T=C··x，則r是4的倍數(shù),所以r=0,4,8,有理項為T1=x4,T5=x，T9=點評：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r例2 求式子(x+2）3的展開式中的常數(shù)項解法一：(x+2）3=（|x+2）（x+2）(x+2)得到常數(shù)項的情況有:三個括號中全取2，得(2)3;一個括號取x,一個括號取，一個括號取2,得CC（2

3、）=12，常數(shù)項為（2）3+(12）=20解法二：（x|+2）3=（）6設第r+1項為常數(shù)項,則T=C·（1）r·（）r·|x=（1）6·C·x|，得62r=0，r=3T3+1=（1）3·C=20例3 求(1+x+x2+x3）（1x）7的展開式中x4的系數(shù)；求（x+4）4的展開式中的常數(shù)項；求（1+x）3+（1+x)4+(1+x)50的展開式中x3的系數(shù)解：原式=（1x）7=(1x4）（1x）6，展開式中x4的系數(shù)為(1）4C1=14（x+4）4=，展開式中的常數(shù)項為C·（1）4=1120方法一:原式=展開式中x3的系數(shù)為C

4、方法二：原展開式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C點評：把所給式子轉化為二項展開式形式是解決此類問題的關鍵例4 求展開式中的系數(shù)解：令點評：是展開式中的第項,注意二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項的二項式系數(shù)是,第4項的系數(shù)為，二者并不相同例5 求展開所得的多項式中,系數(shù)為有理數(shù)的項數(shù)解:依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又，構成首項為0，公差為6，末項為96的等差數(shù)列，由得，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有17項點評：有理項的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求展開式中的系數(shù)解法一:故展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為240,解法二： ，要使指數(shù)為1,只

5、有才有可能，即，故的系數(shù)為，解法三：，由多項式的乘法法則,從以上5個括號中,一個括號內出現(xiàn)，其它四個括號出現(xiàn)常數(shù)項，則積為的一次項，此時系數(shù)為點評：此類問題通常有兩個解法：化三項為二項，乘法法則及排列、組合知識的綜合應用例7 設an=1+q+q2+q(nN，q±1),An=Ca1+Ca2+Can（1）用q和n表示An;（2)（理)當3<q<1時,求解:（1）因為q1,所以an=1+q+q2+q=于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2)=1（）n因為3<q<1,且q1，所以0<| &

6、lt;1所以=例8 已知，求分析：在已知等式的左邊隱含一個二項式,設法先求出n解：在中，令得 點評：記住課本結論：, 注意所求式中缺少一項，不能直接等于例9 已知，求解： 令時,有，令時，有 點評：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮，特別在二項式定理中的應用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達式）中的某些字母賦予一定的特殊值,從而達到便于解決問題的目的望同學們在學習中舉一反三例10 求展開式中系數(shù)最大的項解:設第項系數(shù)最大，則有，即又故系數(shù)最大項為點評：二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項不同二項式系數(shù)最大的項也即中間項:當n為偶數(shù)時中間項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時,

7、中間兩項，的二項式系數(shù)相等且為最大小結：1在使用通項公式T=Cbr時，要注意：通項公式是表示第r1項，而不是第r項展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素在有關二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個,求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式,把問題歸納為解方程(或方程組）這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且rn2證明組合恒等式常用賦值法課堂練習 1已知（13x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9，則|a0+a1+|a2+a9|等于A29 B49 C39 D1解析：x的奇

8、數(shù)次方的系數(shù)都是負值,a0+a1+|a2+a9|=a0a1+a2a3+a9已知條件中只需賦值x=1即可答案:B2 2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是A6B12C24D48解析：（2x+)4=x2（1+2）4,在（1+2）4中，x的系數(shù)為C·22=24答案：C3（2x3）7的展開式中常數(shù)項是A14B14C42D42解析:設(2x3）7的展開式中的第r+1項是T=C（2x3）（）r=C2·（1）r·x,當+3(7r)=0，即r=6時,它為常數(shù)項，C（1)6·21=14答案：A4一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡,只要有一只燈泡壞了,整串燈泡就不亮,則

9、因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A20 B219C220D2201解析：C+C+C=2201答案：D5已知(x）8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是A28B38C1或38D1或28解析：T=C·x8r·（ax1)r=（a）rC·x82r，令82r=0，r=4，（a）4C=1120a=±2當a=2時，令x=1，則(12）8=1，當a=2時，令x=1,則（12)8=38答案：C6已知(x+x）n的展開式中各項系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_(以數(shù)字作答）解析：(x+x）n的展開式中各項系數(shù)和為128，令x

10、=1，即得所有項系數(shù)和為2n=128,n=7設該二項展開式中的r+1項為T=C(x）·（x）r=C·x,令=5即r=3時，x5項的系數(shù)為C=35答案:357若（x+1)n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN），且ab=31，那么n=_解析:ab=CC=31，n=11 答案：118（x）8展開式中x5的系數(shù)為_解析：設展開式的第r+1項為T=Cx8r·（）r=（1）rCx令8=5得r=2時,x5的系數(shù)為（1）2·C=28答案：289若(x3+）n的展開式中的常數(shù)項為84，則n=_解析：T=C（x3）nr·（x）r=C·x，令3nr=0

11、，2n=3rn必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗可知n=9,r=6時，C=C=84答案：910已知（x+1）n展開式中，末三項的二項式系數(shù)和等于22，二項式系數(shù)最大項為20000，求x的值解:由題意CCC=22，即CCC=22，n=6第4項的二項式系數(shù)最大C（x）3=20000，即x3lgx=1000x=10或x=11若（1+x）6(12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11求：(1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10解：（1）(1+x）6(12x)5=a0+a1x+a2x2+a11x11令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261

12、=65（2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0+得a0+a2+a10=(26+0)=32點評:在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或112在二項式(axm+bxn)12（a0，b0,m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項（1)求它是第幾項；(2)求的范圍解：(1)設T=C（axm）12r·（bxn)r=Ca12rbrxm(12r）+nr為常數(shù)項，則有m(12r）+nr=0，即m(12r）2mr=0，r=4,它是第5項（2）第5項又是系數(shù)最大的項，有Ca8b4Ca9b3 Ca8b4Ca7b5 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即由得，13在二項式（+）n的展開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項分析：根據(jù)題意列出前三項系數(shù)關系式，先確定n,再分別求出相應的有理項解：前三項系數(shù)為C，C,C,由已知C=C+C,即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去)T=C（）8r（2）r=C··x4Z且0r8,rZ，r=0,r=4,r=8展開式中x的有理項為T1=x4，T5=x，T9= x2點評：展開式