復變函數(shù)》教學大綱

1、復變函數(shù)教學大綱說 明1 本大綱適用數(shù)學與應用數(shù)學本科教學2 學科性質：復變函數(shù)論是成人高等師范數(shù)學專業(yè)基礎課程之一，它在微分方程、概率論、力學等學科中都有應用，復變函數(shù)論方法是工程、科技的常用方法之一。復變函數(shù)論主要研究解析函數(shù)。解析函數(shù)定義的幾種等價形式，表現(xiàn)了解析函數(shù)這一概念在不同方面的特性。復變函數(shù)論的基本理論以柯西定理為主要定理，柯西公式為重要公式，留數(shù)基本定理是柯西定理的推廣。保形映照是復變函數(shù)幾何理論的基本概念。；留數(shù)理論和保形映照也為實際應用提供了特有的復變函數(shù)論方法。3 教學目的：復變函數(shù)論是微積分學在復數(shù)域上的推廣和發(fā)展，通過復變函數(shù)論的學習能使學生對微積分學的某些內容加深

2、理解，提高認識。復變函數(shù)論在聯(lián)系和指導中學數(shù)學教學方面也有重要的作用，學生通過復變函數(shù)論的學習對中學數(shù)學的某些知識有比較透徹的理解與認識，從而增加做好中學數(shù)學教育工作的能力。4 教學基本要求：通過本課程的學習，要求學生達到：1 握基本概念和基本理論；2熟練的引進基本計算（復數(shù)、判斷可導性及解析性、復積分、函數(shù)的展式、孤立奇點的判斷、留數(shù)的計算及應用、求線性映照及簡單映照等）；2 固和加深理解微積分學的有關知識。5教學時數(shù)分配：本課程共講授72學時（包括習題課），學時分配如下表：教學時數(shù)分配表1 / 7以上是二年制脫產(chǎn)數(shù)學本科的教學時數(shù)。函授面授學時不低于脫產(chǎn)的40%，可安排2830學時。教 學

3、 內 容第一章 復數(shù)與復變函數(shù)復變函數(shù)的自變量和因變量都是復數(shù)，因此，復數(shù)和平面點集是研究復變函數(shù)的基礎。復變函數(shù)及其極限理論與微積分學的相應內容類似，但因復變函數(shù)是研究平面上的問題，因此有其新的含義與特點。（一）教學內容1復數(shù)發(fā)展史略；2復數(shù)的定義及運算。復數(shù)的定義、復數(shù)的表示式及代數(shù)運算、復數(shù)的模和輻角、共軛復數(shù)。3平面上的點集。平面點集、鄰域、聚點、孤立點、內點、外點、邊界點、邊界、開集、閉集、有界集、曲線、連續(xù)曲線、簡單曲線、簡單閉曲線、光滑曲線、逐段光滑曲線、區(qū)域、閉區(qū)域、單連通區(qū)域、復連通區(qū)域、聚點原理、有限復蓋定理、閉區(qū)域套定理。4復球面與無窮遠點。復平面、復數(shù)的向量式、三角式與

4、指數(shù)式、復數(shù)的乘冪與n次方根、無窮遠點與復球面、擴充復平面無窮遠點的鄰域。5復變函數(shù)。復變函數(shù)、單值函數(shù)、多值函數(shù)、極限、連續(xù)、一致連續(xù)、柯西收斂準則、復變函數(shù)連續(xù)性與其實部和虛部連續(xù)性的關系，閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。重點：復變函數(shù)及其極限與連續(xù)。難點：無窮遠點及無窮遠點鄰域。（二）、教學目的和要求1理解復數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域、復連通區(qū)域、逐段光滑曲線、無窮遠點、擴充復平面等概念。2理解復數(shù)的性質、會應用模和輻角的性質，會作點集的圖形。3進一步認識復數(shù)域的結構，并聯(lián)系中學的復數(shù)教學。第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)是本課程的主要研究對象，解析函數(shù)的充要條件揭示了解析函數(shù)與調和函數(shù)之間的聯(lián)系。（一）、教

5、學內容1 解析函數(shù)的概念。復變函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)在一點解析的定義、函數(shù)在區(qū)域內解析的定義、CR條件、=解析函數(shù)的充要條件。2調和函數(shù)調和函數(shù)的定義、解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系。3初等函數(shù)。（1）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)及其重要性質、單葉函數(shù)、多葉函數(shù)、周期函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分枝、主值枝、枝點、枝割線。（2）冪函數(shù)與根式函數(shù)。冪函數(shù)、根式函數(shù)、分枝、主值枝、枝點、枝割線。（3）三角函數(shù)、一般冪函數(shù)、一般指數(shù)函數(shù)。重點：解析函數(shù)的定義，解析函數(shù)的充要條件及CR條件、指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的定義及其主要性質。難點：枝點的概念。（二）教學目的和要求1理解導數(shù)、解析函數(shù)的定義、性質及充要條件。2理解函數(shù)在一點

6、解析與函數(shù)在一點可導的區(qū)別。3熟練掌握利用CR條件判別解析函數(shù)的方法。4熟練掌握已知解析函數(shù)的實部或虛部，求該解析函數(shù)的方法。5 熟練求多值函數(shù)的枝點、及滿足條件的分枝在指定點處的函數(shù) 值。6 聯(lián)系中學教學、認識復變函數(shù)中各類基本初等函數(shù)與相應初等函數(shù)的異同。第三章 復變函數(shù)的積分以柯西定理為基礎，建立柯西公式，從而得出解析函數(shù)的各階可導性，莫勒拉定理解決了柯西定理的逆問題，由此即可得到解析函數(shù)的另一個充要條件。（一）教學內容1復積分的概念、性質和計算。2柯西積分定理。單連通區(qū)域的柯西積分定理、復連通區(qū)域的柯西積分定理。3. 柯西積分公式與高階導數(shù)公式。4.柯西積分定理與積分公式的應用?？挛鞑?/p>

7、等式、劉維爾定理、代數(shù)基本定理、不定積分、牛頓萊布尼茲公式、莫勒拉公理。重點：柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數(shù)公式。難點：計算非解析函數(shù)沿積分路徑為非閉曲線的積分。（二）教學目的和要求1理解復積分的概念。2理解柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數(shù)公式，認識以上定理和公式的作用，知道證明方法。3劉維爾定理、莫勒拉定理和代數(shù)基本定理，知道證明方法。4熟練掌握利用柯西積分定理和積分公式計算函數(shù)的各種積分。第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示冪級數(shù)是研究解析函數(shù)的重要工具之一。泰勒公式給予解析函數(shù)以明確的解析表示式。解析函數(shù)的唯一性定理是解析函數(shù)的重要特征。（一）教學內容1復級數(shù)的基本概念。復數(shù)項級數(shù)、

8、函數(shù)項級數(shù)、一致收斂的柯西判別法、維爾斯特拉斯判別法、和函數(shù)的連續(xù)性、逐項積分、逐項微分。2冪級數(shù)。冪級數(shù)的定義、阿貝爾定理、收斂圖、收斂半徑、和函數(shù)在收斂圓內的解析性。3解析函數(shù)的泰勒展式。泰勒定理、初等函數(shù)的泰勒展式、解析函數(shù)的另一個充要條件。4唯一性定理。解析函數(shù)的零點的孤立性、解析函數(shù)的唯一性。重點：1、冪級數(shù)的收斂圓及收斂半徑的求法。2、將函數(shù)在一點展成冪級數(shù)的方法。解析函數(shù)的唯一性定理。難點：利用已知的基本初等函數(shù)的展式將函數(shù)在指定點展成泰勒級數(shù)。（二）教學目的與要求。1理解一致收斂、內閉一致收斂、冪級數(shù)、泰勒展式、收斂半徑、收斂圓的概念。2理解復變函數(shù)項級數(shù)的逐項可導性，與微積分

9、學的相應定理比較，認識其條件結論的強弱。3熟練掌握冪級數(shù)收斂半徑和收斂圓的求法。4熟練掌握將函數(shù)在指定點展成冪級數(shù)的方法。5熟練掌握解析函數(shù)零點和級別的求法。第五章 解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點羅朗展式是泰勒展式的推廣，它是研究解析函數(shù)的孤立奇點的重要工具。（一）教學內容。1羅朗級數(shù)。羅朗級數(shù)的概念、羅朗級數(shù)的收斂域及其函數(shù)的解析性、解析函數(shù)在圓環(huán)上展成羅朗級數(shù)。2孤立奇點。奇點、孤立奇點及其分類、函數(shù)在孤立奇點的去心鄰域內的性質。3解析函數(shù)在無窮遠點的去心鄰域內的性質。函數(shù)在無窮遠點的羅朗級數(shù)、無窮遠點為孤立奇點的分類。重點：1.將函數(shù)展成羅朗級數(shù)的方法。2.判別孤立奇點的方法。3.解析函數(shù)

10、在其孤立奇點去心鄰域內的性質。難點：1.孤立奇點類別的識別。2.將函數(shù)在其孤立奇點去心鄰域內展成羅朗級數(shù)。（二）教學目的和要求。1.理解羅朗級數(shù)、孤立奇點可去奇點、極點、本性奇點的概念。2.熟練掌握求函數(shù)在孤立奇點去心鄰域上的羅朗展式。3.熟練掌握判斷奇點類別的方法。第六章 留數(shù)理論及其應用留數(shù)在復變函數(shù)的閉曲線積分及一些實積分計算中起著重要作用。（一）教學內容。1留數(shù)的概念與計算。留數(shù)的定義、計算的方法、無窮遠點的留數(shù)的求法。2留數(shù)基本定理。留數(shù)基本定理、用留數(shù)基本定理求復函數(shù)在閉曲線上的積分。3留數(shù)在計算某些實積分中的應用。 型積分 型積分 型積分4輻角定理及儒歇定理。重點：1、計算留數(shù)的

11、方法。2、留數(shù)基本定理。難點：函數(shù)在無窮遠點留數(shù)的計算。（二）教學目的和要求。1理解留數(shù)的定義。2熟練掌握計算留數(shù)的方法。3理解留數(shù)基本定理，會用留數(shù)理論計算積分。第七章 保形變換保形變換是復變函數(shù)幾何理論的基本概念。分式線性變換及其它初等函數(shù)的變換有廣泛的實際應用。（一）教學內容。1解析函數(shù)的映照性質。導數(shù)的幾何意義、保域性、保角性、保形性、保域性定理、最大模原理。2分式線性變換。分式線性變換的定義、分解、性質、典型映照。3幾個初等函數(shù)的映照性質。W=Zn 與W=的映照性質，W=ez 與W=Z的映照性質。4黎曼定理及邊界對應定理。（不證）重點：分式線性變換。難點：已知區(qū)域D與G，求將D映射為G的保形映照。（二）教學目的和要求。1理解導數(shù)的幾何意義及保形映照、分式線性映照、保圓性、對稱點等概念。2掌握分式線性映照的性質和幾個典型映照。3理解W=Zn 、W=、W=