2014年高三一輪專題復習基本不等式及其應用(有詳細答案)(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上7.3基本不等式及其應用1.基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號.2.幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同號).(3)ab2 (a，bR).(4)2 (a，bR).3.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a0，b0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4.利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有

2、最大值是.(簡記：和定積最大)1.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)ab()2成立的條件是ab0.()(3)函數(shù)f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(4)x0且y0是2的充要條件.()(5)若a0，則a3的最小值為2.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR).()2.當x1時，關于函數(shù)f(x)x，下列敘述正確的是()A.函數(shù)f(x)有最小值2B.函數(shù)f(x)有最大值2C.函數(shù)f(x)有最小值3D.函數(shù)f(x)有最大值3答案C3.若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是()A.a2b22abB.ab2C.D.2答案

3、D解析a2b22ab(ab)20，A錯誤.對于B、C，當a0，b0，2 2.4.設x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，則的最大值為()A.2B.C.1D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，當且僅當ab時“”成立，則的最大值為1.5.(2013天津)設ab2，b0，則當a_時，取得最小值.答案2解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以2 1，因此當a0時，的最小值是1；當a0，y0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當x0時，則f(x)的最大值為_.思維啟迪利用基本不等式求最值可以先對式子

4、進行必要的變換.如第(1)問把中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案(1)32(2)1解析(1)x0，y0，且2xy1，332.當且僅當時，取等號.(2)x0，f(x)1，當且僅當x，即x1時取等號.思維升華(1)利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.(2)在求最值過程中若不能直接使用基本不等式，可以考慮利用拆項、配湊、常數(shù)代換、平方等技巧進行變形，使之能夠使用基本不等式.(1)已知正實數(shù)x，y滿足xy1，則(y)(x)的最小值為_.(2)已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為

5、_.答案(1)4(2)3解析(1)依題意知，(y)(x)1122 4，當且僅當xy1時取等號，故(y)(x)的最小值為4.(2)x0，y0且12，xy3.當且僅當時取等號.題型二不等式與函數(shù)的綜合問題例2(1)已知f(x)32x(k1)3x2，當xR時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A.(，1)B.(，21)C.(1,21)D.(21,21)(2)已知函數(shù)f(x)(aR)，若對于任意xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_.思維啟迪對不等式恒成立問題可首先考慮分離題中的常數(shù)，然后通過求最值得參數(shù)范圍.答案(1)B(2)，)解析(1)由f(x)0得32x(k1)3x20，解得k13x

6、，而3x2(當且僅當3x，即xlog3時，等號成立)，k12，即kg(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范圍是，).思維升華(1)af(x)恒成立a(f(x)max，af(x)恒成立a0恒成立，故a0.當0，即1a0時，應有f()110恒成立，故1a0.綜上，a，故選C.方法二當x(0，)時，不等式x2ax10恒成立轉化為a(x)恒成立.又(x)x在(0，)上是減函數(shù)，(x)min()，(x)max，a.題型三基本不等式的實際應用例3某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平

7、方米造價20元，求：倉庫面積S的最大允許值是多少？為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？思維啟迪把鐵柵長、磚墻長設為未知數(shù)，由投資3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解設鐵柵長為x米，一側磚墻長為y米，則頂部面積Sxy，依題設，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S，則S61600，即(10)(16)0，故010，從而0q0，則提價多的方案是_.答案(1)B(2)乙解析(1)設每件產(chǎn)品的平均費用為y元，由題意得y2 20.當且僅當(x0)，即x80時“”成立，故選B.(2)設原價為1，則提價后的價格為

8、方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1%)2，因為1%，且pq0，所以1%，即(1p%)(1q%)(1%)2，所以提價多的方案是乙.忽視基本不等式等號成立的條件致誤典例：(10分)(1)(2012浙江)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C.5D.6(2)函數(shù)y12x(x0)的最小值為_.易錯分析(1)對x3y運用基本不等式得的范圍，再對3x4y運用基本不等式，利用不等式的傳遞性得最值；(2)沒有注意到x0這個條件誤用基本不等式得2x2.解析(1)由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)()2 5，當且僅當x1，y時取等號，故3x4y的最小值是5.(2)x0

9、，b0)等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.失誤與防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三個條件缺一不可.2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1.已知0x1，則x(33x)取得最大值時x的值為()A.B.C.D.答案B解析0x0.x(33x)3x(1x)32.當且僅當x1x，即x時取等號.2.若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a等于()A.1B.1C.3D.4答案C解析f(x)xx22.x2，x20.f(x)x222 24，當且僅當x2，即x3時，“”成立.又f(x)在xa處取最小值.a3.3

10、.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()A.avB.vC.vD.v答案A解析設甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時為，從而v.0ab，a，即，av0，b0，且ln(ab)0，則的最小值是()A.B.1C.4D.8答案C解析由a0，b0，ln(ab)0得.故4.當且僅當ab時上式取“”.5.(2012福建)下列不等式一定成立的是()A.lglg x(x0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析應用基本不等式：x，yR，(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件.當x0時，x22xx，所以

11、lglg x(x0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x0時，有1，故選項D不正確.二、填空題6.設x，yR，且xy0，則(x2)(4y2)的最小值為_.答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，當且僅當x2y2時“”成立.7.已知函數(shù)f(x)x(p為常數(shù)，且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實數(shù)p的值為_.答案解析由題意得x10，f(x)x1121，當且僅當x1時取等號，因為f(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.8.某公司一年需購買某種貨物200噸，

12、平均分成若干次進行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是_.答案20解析設每次購買該種貨物x噸，則需要購買次，則一年的總運費為2，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為x240，當且僅當x，即x20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應購買該種貨物20噸.三、解答題9.(1)已知0x0，y0，且xy1，求的最小值.解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x).0x，5x0，5x(25x)()21，y，當且僅當5x25x，即x時，ymax.(2)

13、x0，y0，且xy1，()(xy)10102 18，當且僅當，即x，y時等號成立，的最小值是18.10.某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計.(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.解(1)設污水處理池的寬為x米，則長為米.總造價f(x)400(2x)2482x801621

14、 296x12 9601 296(x)12 9601 2962 12 96038 880(元)，當且僅當x(x0)，即x10時取等號.當污水處理池的長為16.2米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 880元.(2)由限制條件知x16.設g(x)x(x16)，g(x)在，16上是增函數(shù)，當x時(此時16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即為1 296()12 96038 882(元).當污水處理池的長為16米，寬為米時總造價最低，總造價最低為38 882元.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1.已知a0，b0，若不等式0恒成立，則m的最大值為()A.4B.16C.9 D.3答案B

15、解析因為a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因為2 6，當且僅當ab時等號成立，所以1016，所以m16，即m的最大值為16，故選B.2.(2013山東)設正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為()A.0B.1C.D.3答案B解析由已知得zx23xy4y2(*)則1，當且僅當x2y時取等號，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.3.定義“*”是一種運算，對于任意的x，y，都滿足x*yaxyb(xy)，其中a，b為正實數(shù)，已知1.答案1解析16ab)，ab.當且僅當2a3b，即a1時等號成立，所以當a1時，ab取最大值.4.(1)若正實數(shù)x、y滿足2xy6xy，求xy的最小值.(2)求函數(shù)y(x1)的最小值.解(1)xy2xy626，令xyt2，可得t22t60，注意到t0，解得t3，故xy的最小值為18.(2)設x1t，則xt1(t0)，yt52 59.當且僅當t，即t2，且此時x1時，取等號，ymin9.5.經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，第t天(1t30，tN)的旅游人數(shù)f(t