基與維數(shù)的幾種求法

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一 根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù),即：在線性空間V中，如果有個向量滿足:(1)線性無關(guān)。(2)中任一向量總可以由線性表示。 那么稱為維（有限維）線性空間，為的維數(shù)，記為，并稱為線性空間的一組基。如果在中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么就成為無限維的。例1 設(shè)，為數(shù)域上矩陣，為數(shù)域上維向量，求的維數(shù)和一組基。解 設(shè)矩陣的秩為，則齊次線性方程組的任一基礎(chǔ)解系都是的基，且的維數(shù)為。例2 數(shù)域上全體形如的二階方陣，對矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組成的線性空間，求此空間的維數(shù)和一組基。解 易證為線性空間的一組線性無關(guān)的向量組，且對中任一元素有按定義為的一組基，

2、的維數(shù)為2。方法二 在已知線性空間的維數(shù)為時，任意個向量組成的線性無關(guān)向量組均作成線性空間的基。例3 假定是一切次數(shù)小于的實系數(shù)多項式添上零多項式所形成的線性空間，證明：構(gòu)成的基。證明 考察由的系數(shù)為得，并代入上式可得的系數(shù)依此類推便有，故線性無關(guān)又的維數(shù)為,于是為的基。方法三 利用定理：數(shù)域上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù)。例4 設(shè)，證明：由實數(shù)域上的矩陣的全體實系數(shù)多項式組成的空間與復(fù)數(shù)域作為實數(shù)域上的線性空間同構(gòu)，并非求它們的維數(shù)。證明 中任一多項式可記為，建立到的如下映射易證是到上的單射，滿射即一一映射。再設(shè) ，則有故是到的同構(gòu)映射，所以到同構(gòu)另外，易證的一個基

3、為，故方法四 利用以下結(jié)論確定空間的基：設(shè)與是維線性空間中兩組向量，已知可由線性表出：令如果為的一組基，那么當(dāng)且僅當(dāng)可逆時，也是的一組基。例5 已知是的一組基，證明也是的一組基。證明 因為且所以也為的一組基。方法五 如果空間中一向量組與中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組基。例6 設(shè)表示次數(shù)不超過2的一切實系數(shù)一元多項式添上零多項式所構(gòu)成的線性空間的一組基，證明為這空間的一組基。證明 則解得于是線性無關(guān)，它們皆可由線性表示，因此與等價，從而中任意多項式皆可由線性表示，故為的基。方法六 利用下面兩個定理：定理一：對矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關(guān)系。定理二：任何一個矩

4、陣，總可以通過行初等變換和列變換它為標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣：，其中表示階單位矩陣。依據(jù)這兩個定理，我們可以很方便地求出的一個基，從而確定了維數(shù)。例7 設(shè)是數(shù)域上四維線性空間的子空間，且求的一個基與維數(shù)。解 若，則存在，使（1）即有（2）若線性無關(guān)，（2）僅當(dāng)時成立那么是零子空間，因而沒有基，此時維數(shù)為，是直和若存在不全為零的數(shù)使（2）成立，則有可能是非零子空間若為非零子空間，由（1）便可得到基向量。以為列向量作矩陣，經(jīng)行初等變換將化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣。是的一個基同時知，是的一個基，是的一個基，是的一個基，方法七 在線性空間中任取一向量，將其表成線性空間一線性無關(guān)向量組的線性組合的形式，必要的話需說明向量組

5、是線性無關(guān)的。這一線性無關(guān)向量組就是我們要找的基。例8 求與的交的基和維數(shù)。設(shè)，解 任取，則，且，（注：此時雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅是在、中的表示，并非本題所求，即要在空間中將線性表出），求解得故是一維的，基是易知是非零向量，是線性無關(guān)的。 方法八 按維數(shù)公式求子空間的交與和的維數(shù)和基維數(shù)公式：如果是有限維線性空間的兩個子空間，那么例9 已知求由向量生成的的子空間與向量生成的子空間的交與和空間的維數(shù)的一組基。解 因為，對以為列的矩陣施行行初等變換：秩秩，所以的維數(shù)是且為極大線性無關(guān)組，故它們是的一組基。又由線性無關(guān)知的維數(shù)為，同理的維數(shù)也為，由維數(shù)公式知的維數(shù)為。從矩陣易知,故是公有的非零向量，所以它是交空間的一組基。方法九 由替換定理確定交空間的維數(shù)。替換定理：設(shè)向量組線性無關(guān)，并且可由向量組線性表出，那么必要時可適當(dāng)對中的向量重新編號，使得用替換后所得到的向量組與向量組等價。特別，當(dāng)時，向量組與向量組等價。例10 已知向量組設(shè)它們是向量組的線性組合，又設(shè)向量