人力資源規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

1、一問題描述公司有以下三種工作人員：不熟練工、半熟練工和熟練工。公司目前已經(jīng)擁有一批工作一年以上的職員，通過對未來三年的工作量預(yù)測得到了未來幾年的各類職員的需求表格（如下表）。類別不熟練半熟練熟練當(dāng)前擁有200015001000第一年100014001000第二年50020001500第三年025002000表1當(dāng)前擁有的各類職員數(shù)量及后三年需要的數(shù)量（人）為滿足這些需求，公司可以考慮以下四種人事變動(dòng)途徑：（1）招聘職員；（2）培訓(xùn)職員；（3）辭退多余職員（4）用臨時(shí)工。公司出于對不同公司目標(biāo)的前提下，提出問題：問題一：如果公司的目標(biāo)是盡量減少辭退職員。提出相應(yīng)的招聘和培訓(xùn)計(jì)劃。問題二：如果公司

2、的政策是盡量減少費(fèi)用，則額外費(fèi)用和辭退的職員人數(shù)將會(huì)怎樣變化。二問題分析公司為了滿足公司職員的需要，將考慮一下四種途徑：招聘職員、培訓(xùn)職員、辭退職員、招臨時(shí)工。然而由于人才具有流動(dòng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，每年都會(huì)存在員工自然跳槽的事件發(fā)生。公司可與根據(jù)職員的發(fā)展?jié)摿Χ鴮β殕T進(jìn)行培訓(xùn)，也可以把一些能力不足的職員進(jìn)行將等處理，而對于那些能力太差的職員，公司將采取辭退職員的措施。由于員工跳槽具有隨機(jī)性，所以公司可以在任意時(shí)刻針對員工跳槽后采取額外招聘來填充缺少的職員。對于問題一，公司的目的是盡量減少辭退公司職員。而我們先分析三類職員在未來幾年的需求情況：不熟練員工逐年減少，半熟練和熟練員工具有逐年增加的趨勢。公

3、司為了減少辭退職員，也就是說三類職員中辭退的職員總數(shù)應(yīng)該取最小值。而為了達(dá)到公司的目的，就應(yīng)該充分利用公司內(nèi)部職員，不進(jìn)行額外招聘、不招臨時(shí)工，而且要盡量不從公司外招聘職員。對于某一個(gè)崗位來說，原有的職員中會(huì)有職員進(jìn)行跳槽，在招進(jìn)來的新人中也有一些人會(huì)跳槽，同時(shí)，公司會(huì)對一些比較有發(fā)展?jié)摿Φ穆殕T進(jìn)行培訓(xùn)，同樣，公司也可能對一些職員進(jìn)行降等處理和辭退處理。正是有了這些人事變動(dòng)才構(gòu)成了這一崗位職員人數(shù)的變化。此時(shí)對于每一類職員，都有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系：前一年的所有職員中除去跳槽的人數(shù)+招聘的新人中除去跳槽的人數(shù)-本級培訓(xùn)到上一級職員的人數(shù)+下一級職員培訓(xùn)到本級的人數(shù)-辭退職員的人數(shù)-本級降等到下一級

4、的職員人數(shù)+上一級降等到本級的職員人數(shù)二下一年的總工作職員數(shù)。而有一些崗位上的人事變動(dòng)是有一定限制的。公司根據(jù)未來幾年工作量的預(yù)測而設(shè)置的一些條件，比如：需求量限制，招聘限制，培訓(xùn)限制。還有一些是隱含的限制條件，比如：辭退和降等的人數(shù)不能超過原有崗位人數(shù)，所有參與人事變動(dòng)的崗位都必須至少為0.通過對問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的挖掘，便可以得出問題一的盡量減少辭退員工方案模型。對于問題二，公司的目的是盡量減少費(fèi)用，此時(shí)不再考慮職員的多少，最終目標(biāo)是盡可能減少費(fèi)用。為達(dá)到這樣的目的，我們可以把額外招聘和臨時(shí)工考慮在內(nèi)。而減少費(fèi)用也可以認(rèn)為是減少額外費(fèi)用，而額外費(fèi)用的構(gòu)成主要有培訓(xùn)費(fèi)、辭退費(fèi)、額外招聘

5、附加費(fèi)、臨時(shí)工的工資。相對于問題一來說，問題二增加了額外招聘和臨時(shí)工兩個(gè)崗位，目標(biāo)函數(shù)和約束條件也需要做相應(yīng)的改變。此時(shí)對于每一個(gè)崗位上的職員來說，都有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系：前一年所有職員中除去跳槽的人數(shù)+招聘的新人中除去跳槽的人數(shù)-本級培訓(xùn)到上一級職員的人數(shù)+下一級職員培訓(xùn)到本級的人數(shù)-辭退職員的人數(shù)-本級降等到下一級的職員人數(shù)+上一級降等到本級的職員人數(shù)+額外招聘中除去跳槽的職員人數(shù)+臨時(shí)工人數(shù)=下一年的總工作人數(shù)。同樣，在某些崗位上的人事變動(dòng)也是有一定限制的。第一種是公司根據(jù)未來幾年工作量的預(yù)測而設(shè)置的一些條件，比如：需求量限制，招聘限制，培訓(xùn)限制，額外招聘限制、臨時(shí)工招聘限制等。第二種是隱

6、含的限制條件，比如：辭退和降等的人數(shù)不能超過原有崗位人數(shù)，所有參與人事變動(dòng)的崗位都必須至少為0.通過對問題二的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的挖掘，便可以得出問題二的盡量減少費(fèi)用方案模型。三問題假設(shè)1、初始狀態(tài)假定。將當(dāng)前擁有員工狀況認(rèn)定是為第一年擁有員工的起始狀態(tài)，對以后兩年采取相同的方式處理。2、工資假定。假定公司對未來三年的人才需求量是根據(jù)對工作量多少的預(yù)期而參照制定的；公司新招聘的各類員工（包括正常招聘和額外招聘）與工作一年以上的員工的基本年薪相同。3、招聘、辭退計(jì)劃假定。公司的年度招聘、辭退計(jì)劃時(shí)間是相對固定，不能隨意變動(dòng)（額外招聘除外）。比如招聘計(jì)劃可采取分年度的年初招聘方式，也可以采用分季（

7、月）度的季（月）初招聘新員工。同樣，辭退多余職工而采取的辭退計(jì)劃將隨著招聘計(jì)劃的改變而改變。4、跳槽假定。公司所有的員工都有可能跳槽，但臨時(shí)工除外。5、培訓(xùn)假定。假定公司對員工的培訓(xùn)時(shí)間在一年中的可以忽略不計(jì)；假定公司培訓(xùn)員工計(jì)劃也是相對固定的；根據(jù)企業(yè)的不同追求目標(biāo)，培訓(xùn)員工計(jì)劃與降等使用員工計(jì)劃這一對相矛盾的人事變動(dòng)方案在一年中不能同時(shí)出現(xiàn)。6、降等假定。假定公司降等使用員工是為滿足因員工的隨機(jī)跳槽，而采用的一種人事變動(dòng)措施；假定公司對降等使用的員工和辭退的員工都是工作一年以上的員工，招聘的新人不參與降等；在對熟練員工的降等使用中，公司不會(huì)安排越兩級降等使用。7、額外招聘假定。額外招聘是為

8、應(yīng)對因員工的隨機(jī)跳槽，而采取彌補(bǔ)職位空缺的一種方式，這一舉措與公司相對固定的招聘計(jì)劃時(shí)期不同，即額外招聘與正常招聘不產(chǎn)生沖突。說明：以上各種假設(shè)在本文中都適用。符號說明x1i：計(jì)劃招聘職員數(shù)x2i：培訓(xùn)員工數(shù)x3i：辭退員工數(shù)x4i：額外招聘員工數(shù)x5i：招用臨時(shí)員工數(shù)x6i：跳槽員工數(shù)x7i：降等使用員工數(shù)(I=1，2,3，分別表示不熟練工，半熟練，熟練工)M(n)：第n年不熟練工人數(shù)N(n)：第n年半熟練的人數(shù)K(n)：第n年熟練的人數(shù)F1(x)：公司目標(biāo)為盡量減少辭退職員時(shí)的辭退員工總數(shù)之和Y1(x)：公司目標(biāo)為盡量減少辭退職員時(shí)的額外費(fèi)用之和F2(x)：公司目標(biāo)為盡量減少費(fèi)用時(shí)的辭退員

9、工總數(shù)之和Y2(x)：公司目標(biāo)為盡量減少費(fèi)用時(shí)的額外費(fèi)用之和五模型建立1、盡量減少辭退員工方案充分挖掘約通過對問題的分析，為達(dá)到公司關(guān)于盡量減少辭退員工的目的，束條件，得出以下目標(biāo)函數(shù)與約束條件。目標(biāo)函數(shù)為：minx31+x32+x33約束條件為：s.tM(n)*(1-10%)+x11(1-25%)-x21-x31+x72*50%=M(n+1);N(n)*(1-5%)+x12(1-20%)+x21-x22-x32-x72+x73*50%=N(n+1)K(n)*(1-5%)+x13(1-10%)+x22-x33-x73=K(n+1);0<=x11<=500,0<=x12<

10、=800,0<=x13<=500;0<=x21<=200,0<=x22<=K(n)*1/4;0<=x31<=M(n),0<=x32<=N(n),0<=x33<=K(n);0<=x72<=N(n),0<=x73<=K(n)招聘人員為：x11+x12+x13;培訓(xùn)人員為：x21+x22;辭退員工數(shù)為：F1(x)=x31+x32+x33;辭退的額外總費(fèi)用為：Y1(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500;2、盡量減少費(fèi)用方案通過對問題的分析，為達(dá)到公司關(guān)于盡量減

11、少費(fèi)用的目的，充分挖掘約束條件，得出以下目標(biāo)函數(shù)與約束條件。目標(biāo)函數(shù)為：minY2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1500+x42*2000+x43*3000+x51*500+x32*400+x52*400約束條件為：s.tM(n)*(1-10%)+x11(1-25%)-x21-x31+x72*50%+x41(1-25%)+x51=M(n+1);N(n)*(1-5%)+x12(1-20%)+x21-x22-x32-x72+x73*50%_x42(1-20%)+x52=N(n+1);K(n)*(1-5%)+x13(1-10%)+x2

12、2-x33-x73+x43(1-10%)+x53=K(n+1);0<=x41+x42+x43<=150;0<=x11<=500,0<=x12<=800,0<=x13<=500;0<=x21<=200,0<=x22<=K(n)*1/4;0<=x31<=M(n),0<=x32<=N(n),0<=x33<=K(n);0<=x41<=150,0<=x42<=150,0<=x43<=150;0<=x52<=50,0<=x52<=50,0&

13、lt;=x53<=50<=x72<=N(n),0<=x73<=K(n);辭退員工數(shù)為：F1(x)=x31+x32+x33;額外費(fèi)用為：Y2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1500+x42*2000+x43*3000+x51*500+x32*400+x52*400六模型求解1、盡量減少辭退員工方案模型求解把所得的模型化成標(biāo)準(zhǔn)形式：minF1(x)=x31+x32+x33=(1,1,1)(x31,x32,x33)Tx11*0.75-x21-x31=x72*0.5=M(n+1)-M(n)*0.9;x12*0

14、.8+x21-x22-x72+x73*0.5=N(n+1)-N(n)*0.95;x13*0.9+x22-x33-x73=K(n+1)-K(n)*0.95;x11<=500,x12<=800,x13<=500;x21<=20,x22<=K(n)*1/4;x31<=M(n),x32<=N(n),x33<=K(n);x72<=N(n),x73<=K(n);x1i,x2i,x3i,x7i>=0;應(yīng)用MATLABt化工具箱對上式進(jìn)行求解(軟件程序見附錄)，可以建立線性規(guī)劃問題的計(jì)算結(jié)果（表1）人數(shù)i=1i=2i=3小熟練半熟練熟練n=0n

15、=1n=2n=0n=1n=2n=0n=1n=2招聘10000771.152711.1520487.982498.536培訓(xùn)200200200250183.026211.526一一一辭退637.5200.000250.000000000額外招聘臨時(shí)工降等一一一750020072.21085.208表1（注：表中橫桿表示不考慮的情況，下同）2、盡量減少費(fèi)用方案模型求解把所得的模型改寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：minY2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1500+x42*2000+x43*3000+x51*500+x52*400+x53*400;x11

16、*0.75-x21-x31=x72*0.5=M(n+1)-M(n)*0.9;x12*0.8+x21-x22-x72+x73*0.5=N(n+1)-N(n)*0.95;x13*0.9+x22-x33-x73=K(n+1)-K(n)*0.95;0<=x41+x42+x43<=150;0<=x11<=500,0<=x12<=800,0<=x13<=500;0<=x21<=200,0<=x22<=K(n)*1/4;0<=x31<=M(n),0<=x32<=N(n),0<=x33<=K(n);0&

17、lt;=x41<=150,0<=x42<=150,0<=x43<=150;0<=x52<=50,0<=x52<=50,0<=x53<=50<=x72<=N(n),0<=x73<=K(n);x1i,x2i,x3i,x4i,x5i,x7i>=0;應(yīng)用MATLABt化工具箱對上式進(jìn)行求解（軟件程序見附錄），可以建立線性規(guī)劃問題的計(jì)算結(jié)果（表2）0人數(shù)i=1i=2i=3小熟練半熟練熟練n=0n=1n=2n=0n=1n=2n=0n=1n=2招聘000080080055.56500500培訓(xùn)08035.0000

18、5075.000一一一辭退812.500320415000000額外招聘000000000臨時(shí)工00000005050降等一一一2500000表2七模型結(jié)果分析與檢驗(yàn)1、盡量減少辭退員工方案模型分析與檢驗(yàn)公司的目的是為了盡量減少辭退員工。如果要減少辭退人員，就必須在其他方面盡量少用人，可以采取以下措施：減少招聘人員，增加培訓(xùn)人員，增加降等人員。而人數(shù)必須是整數(shù)，考慮到需要的人數(shù)是有限的，根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)和上面的討論，可得以下結(jié)果。模型最優(yōu)解為：第一年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、0、0，培訓(xùn)人數(shù)分別為200、250、0，辭退人數(shù)分別為637、0、0，降等人數(shù)分別為0、75、20

19、0。第二年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、771、488，培訓(xùn)人數(shù)分別為200、183、0，辭退人數(shù)分別為200、0、0，降等人數(shù)分別為0、0、72。第三年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、711、499，培訓(xùn)人數(shù)分別為200、212、0，辭退人數(shù)分別為250、0、0，降等人數(shù)分別為0、0、85?？傓o退員工人數(shù)為：F1(x)=x31+x32+x33=637+200+250=1087辭退的額外總費(fèi)用為：Y1(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500=600*400+645*500+1087*200=7799002、盡量減少總費(fèi)用方案模型分析與檢驗(yàn)公司的目的是為了盡量減少總費(fèi)用，費(fèi)用的構(gòu)成主要有培訓(xùn)費(fèi)、辭退費(fèi)、額外招聘附加費(fèi)、臨時(shí)工的工資。根據(jù)公司提供的培訓(xùn)費(fèi)用資料，盡量多培訓(xùn)程序員，少培訓(xùn)高級程序員；再根據(jù)辭退政策及公司目標(biāo)，應(yīng)該盡量多辭不熟練，少辭半熟練和熟練員工；額外招聘的收費(fèi)較高，在招收范圍內(nèi)盡量少招；由于臨時(shí)工的工資較低，可以在招收范圍內(nèi)盡量多招。同樣人數(shù)必須是整數(shù)，考慮到需要的人數(shù)是有限的，根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)和上面的討論，可得以下結(jié)果。模型最優(yōu)解為：第一年：不熟練、