球地體積和表格面積

1、球的體積和表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題.廠知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式41. 球的體積公式 v=3泯3(其中R為球的半徑).2. 球的表面積公式 S= 4 nR2.思考 球有底面嗎？球面能展開(kāi)成平面圖形嗎？答球沒(méi)有底面，球的表面不能展開(kāi)成平面知識(shí)點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1. 球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都 是圓.2. 利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn) 題的主要途徑.題型探究重點(diǎn)突破題型一球的表面積和體積例1(1)

2、已知球的表面積為 64 n求它的體積；500(2)已知球的體積為 丁n求它的表面積.解 設(shè)球的半徑為 R,則4nR2= 64 n解得R= 4,所以球的體積v=3tr3=4冗牟晉冗.設(shè)球的半徑為 R,則3nR3=-n解得R= 5, 所以球的表面積 S= 4 tR2= 4 nX 52= 100 n.跟蹤訓(xùn)練1 一個(gè)球的表面積是16 n則它的體積是（）64 n32 nA.64 n B.q C.32 n D.Q答案 D-4解析 設(shè)球的半徑為R,則由題意可知4冗用=16 n故R= 2所以球的半徑為2,體積v= 3n33327t3題型二球的截面問(wèn)題例2平面a截球0的球面所得圓的半徑為1球心0到平面a的距離

3、為.'2,則此球的體積為（）A.V6 n B.4、：. 3 n C.4 : 6 n D6：3n答案 B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為0 ',則 00' = 2, 0 ' M = 1.M為截面圓上任一點(diǎn),即球的半徑為.'3.二 V = |n(3)3 = 4 .-'3n.跟蹤訓(xùn)練2已知長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為'3, '5, 15,則它的外接球表面積為.答案 9n解析 如圖，是過(guò)長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線AB的截面，設(shè)長(zhǎng)方體有公共li頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為x, y, z,則由已知,xy=,x=/3,A得 yz=誦,解得y= 1,zx= (

4、15 ,z=所以球的半徑R= 1AB =舟x2+ y2+ z2= 2,所以 S 球=4 tR2= 9 n.題型三球的組合體與三視圖例3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體1 X X!C_ALiIil建團(tuán)1-2H-2 -1的表面積為1S= 2 X 4 n 12 + 6 X 22 nX 12 = 24+ n.該幾何體的體積為V= 23+ 1X 3nX 13= 8 + ¥跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè) 球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比解

5、設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a. 正方體的切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖(1)所示，則有2ri= a,a即 ri = 2，所以 Si = 4 n2 = na2. 球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面,如圖(2)所示，則2r2= . 2a,即卩 r2 =所以 S2= 4 n2= 2 na2. 正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面,如圖所示，則有2r3= 3a，即3=所以 S3= 4 n2= 3 n2.綜上可得 Si : S2 : S3= 1 : 2 : 3.解題技巧軸截面的應(yīng)用例4有一個(gè)倒圓錐形容器， 它的

6、軸截面是一個(gè)正三角形，在容器部放一個(gè)半徑為 r的鐵球,并注入水，使水面沒(méi)過(guò)鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度分析 分別表示出取出鐵球前后水的體積t由水的體積不變建立等式 t求出所求量解 如圖，OO是球的最大截面，它切于 ABC，球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在MN 處，MN 與 CD 交于點(diǎn) E.則 DO = r, AD = ：3r, AB = AC= BC = 2 ,：3r, 11 CD = 3r.由圖形知 V 圓錐 ce : V 圓錐 cd = 3nME2 CE : - nAD2 CD = CE3 : CD3.33V圓錐ce= V圓錐cd V球o = 3 n呼:3n3

7、 = CE3 : (3r)3, CE = 3 15r.戸當(dāng)堂檢測(cè)自杳自糾1直徑為6的球的表面積和體積分別是 （）A.36 n 144 nB.36 n 36 nC.144 n 36 nD.144 n 144 n2. 若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于（）1A.2B.1C.2D.33. 兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是 .4. 若球的半徑由R增加為2R,則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍.5. 某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為 .12T12T正視圖惻覘圏藥課時(shí)精練、選擇題4A.3 nB.8nC.4 3 nD.32 .'3 n2個(gè)正方體的八

8、個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為 （A.8B.8，2D.4 .''23兩個(gè)球的半徑之比為1 : 3,那么兩個(gè)球的表面積之比為（）A.1 : 9B.1 : 27C.1 : 3D.1 : 14設(shè)正方體的表面積為24 cm2, 一個(gè)球切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是323B.y n cmc.8 n cmD.| n 品5.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r,R,則球的表面積為（B.4 n2R2A.4 nr(+ R)2C.4 RrD. nR+ r)26. 已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為-J2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為32 nAWB.4 nC.2 nD

9、.7.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為 （）A.警 cm3B.866ncm38C.晉 ncm3存 ncm3、填空題8個(gè)幾何體的三視圖（單位：m）如圖所示，則該幾何體的體積為 m3.ie祕(mì)圖9 n9.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為2，則正方體的棱長(zhǎng)為底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積是10.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，11. 圓柱形容器盛有高度為 8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半 面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球 （如圖所示），則球的半徑是三、解

10、答題12. 如圖所示，半徑為 R的半圓的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.（其中/ BAC = 30°13. 一個(gè)高為16的圓錐接于一個(gè)體積為 972 n的球，在圓錐又有一個(gè)切球，求:（1）圓錐的側(cè)面積;(2)圓錐的切球的體積當(dāng)堂檢測(cè)答案1答案 B4解析 球的半徑為3,表面積S= 4 n3= 36 n體積V = §n 免36 n.2答案D4解析 設(shè)球的半徑為R,則4kR2= "tR3,所以R= 3.33答案寺2解析 設(shè)大球的半徑為R,則有3 tR3= 2X 3 nX 13,33R3= 2, R= 3 2.4答案 8 44解析

11、 球的半徑為R時(shí)，球的體積為 Vi= 3 tR3,表面積為Si = 4 tR2,半徑增加為2R后，球432的體積為 V2= 3 n (R)3= nR3,表面積為 S2 = 4 n (R)2= 16 R2.32 &tR32所以齊3916 R2'待=8, $= 4 樣=4,即體積變?yōu)樵瓉?lái)的 8倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 4倍.5答案 3 n解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為 1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面1積的和，即2X 4n+n= 3 n.課時(shí)精練一、選擇題1答案 C解析 由題意可知，6a2= 24, a a= 2.設(shè)正方體外接球的半徑為R,則:-;3a= 2R, a R

12、=二 V 球=4 nR3= 4> 3 n.2答案 A解析球的半徑為1,且正方體接于球，a球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則有3a2 = 4，即 a2= 4.a正方體的表面積為 6a2= 6X 3= 8.33.答案A4答案 D解析 由正方體的表面積為 24 cm'.1 + 1 +2 2= 2.又正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑，球的半徑R= 1.44故球的體積為v=3tR3 *=3冗.7. 答案A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解. 1如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC = 8 6= 2(cm) , BM =

13、 ?AB = 了 8= 4(cm). 設(shè)球的半徑為 R cm，貝U R2= OM2+ MB2= (R 2)2 + 42, R= 5,得正方體的棱長(zhǎng)為 2 cm，故這個(gè)球的直徑為 2cm，故 這個(gè)球的體積為3 n cm5答案 C解析 方法一 如圖，設(shè)球的半徑為ri,則在Rt CDE中，DE = 2ri, CE = R r, DC = R+ r.由勾股定理得 4r?= (R+ r)2 (R r)2，解得 ri =x；:Rr.故球的表面積為 S球=4 n2= 4 jRr.方法二 如圖，設(shè)球心為 0,球的半徑為ri,連接OA, OB，則在Rt AOB中，OF是斜邊 AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得 O

14、F2 = BF AF = Rr,即卩用=Rr，故r1= . Rr，故球的表面 積為S球=4 nRr.6.答案D解析 正四棱柱 的底面 邊長(zhǎng)為1 ,側(cè)棱 長(zhǎng)為'2 , 正四棱 柱的體 對(duì)角線 的長(zhǎng)為、填空題8答案 9 n+ 18解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、1，427所以 V = 'nX X 2+ 1 X 3X 6= 9n+ 18.389答案3解析 先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長(zhǎng)設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,球半徑為R,則3共=9n,R= 3, .羽a = 3,a = >/3.81

15、10.答案4 n解析 由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為 R,球心為 0,正四棱錐底面中心為 E,貝U 0E = |4-R|,所以(4 R)2 + (,-'2)2= R2,解得R = 4.所以球的表面 e81 n積 s= 4 nn2 = / .411.答案 4解析設(shè)球的半徑為8 cm的水的體積為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為8n2,3個(gè)球的體積和為3 X n3,解得 r = 4(cm).三、解答題12.解如圖所示, n3= 4 n3,n2X6r = 6nr3,高度為§由題意得6 n3 8 n2=Afi過(guò)C作C01丄AB于01.在半圓中可得 / B

16、CA = 90° / BAC = 30； AB = 2R, AC = ；3R, BC = R, C0i23R，-S球=4 nR2,§圓錐ao =.'3R= 2 nR2,c血V3 2S圓錐bo = n "2RX R=2 nR， S幾何體表=S球+ S圓錐ao側(cè)+ S圓錐BQ側(cè)=11定+迥泯2= 11 +麗航22 n十 2 n2n"R .ii 十3故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為2.O 01 切于 ABC.13.解 (1)如圖作軸截面，則等腰三角形CAB接于O O,設(shè)O O的半徑為R,由題意，得4伙3= 972 n所以 R3= 729, R= 9,所以 CE = 18.已知CD = 16,所以ED = 2.連接AE,因?yàn)镃E是直徑，所以