隨機(jī)過程基本概念-song

1、 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)過程的定義及其分類隨機(jī)過程的定義及其分類 第二章第二章 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征第三節(jié)第三節(jié) 幾種重要的隨機(jī)過程簡介幾種重要的隨機(jī)過程簡介 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)過程的定義及其分類隨機(jī)過程的定義及其分類一、直觀背景及例子一、直觀背景及例子電話站在時(shí)刻電話站在時(shí)刻t時(shí)以前接到的呼叫次數(shù)時(shí)以前接到的呼叫次數(shù)例例1一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X ，并且依賴，并且依賴時(shí)間時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)，即隨機(jī)變數(shù)X(t)，t 0,24。例例2研究某一商品的銷售量研究某一商品的銷售量一般情況下它是

2、一個(gè)隨機(jī)變數(shù)一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X ，并且依賴，并且依賴時(shí)間時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)，即隨機(jī)變數(shù)X(t)，t =1,2, 。例例3排隊(duì)模型排隊(duì)模型 顧客來到服務(wù)站要求服務(wù)。顧客來到服務(wù)站要求服務(wù)。 用用X(t)表示表示t時(shí)刻的隊(duì)長，用時(shí)刻的隊(duì)長，用Y(t) 表示表示t時(shí)刻時(shí)刻到來的顧客所需的等待時(shí)間，則它們都是隨機(jī)到來的顧客所需的等待時(shí)間，則它們都是隨機(jī)過程。過程。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)定義：隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)定義：定義定義: :設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間為的樣本空間為S=S= ，對其每一個(gè)元素，對其每一個(gè)元素 都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù)都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù) ，由全部元素，由全部元素

3、所確定的所確定的一族樣本函數(shù)一族樣本函數(shù) 稱為隨機(jī)過程，簡記為稱為隨機(jī)過程，簡記為 )3 , 2 , 1(ii),(itX),(tX)(tXS隨機(jī)過程(t)是大量樣本函數(shù)的集合隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)定義：隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)定義：S隨機(jī)過程(t)在任一時(shí)刻都是隨機(jī)變量定義定義: : 設(shè)有一個(gè)過程設(shè)有一個(gè)過程X(t) X(t) ，若對于，若對于每一個(gè)固定的時(shí)刻每一個(gè)固定的時(shí)刻 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量 ，則，則X(t)X(t)稱為隨機(jī)過程。稱為隨機(jī)過程。)3 , 2 , 1(jjt)(jtX ( )(),(0,2 ),( )(),(0,2 ),( )(),X tcosttt X tcostx tcost

4、考慮式中 和 是正常數(shù), 是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量,這是一個(gè)隨機(jī)過程。對每一固定的時(shí)刻是隨機(jī)變量 的函數(shù),從而也是隨機(jī)變量。它的狀態(tài)空間是-. 內(nèi)隨機(jī)取一數(shù)相應(yīng)的就得到一個(gè)樣本函數(shù)這族樣本函數(shù)的差異在于它們相位 的不同隨機(jī)相位正弦波說明說明2參數(shù)參數(shù)t t的含義：通常指時(shí)間參數(shù)，也可是其他物理的含義：通常指時(shí)間參數(shù)，也可是其他物理量量( (長度、重量等長度、重量等) )。如：紡紗機(jī)紡出的線在不同位。如：紡紗機(jī)紡出的線在不同位置置u u處的直徑處的直徑X(u)X(u)。X(t)X(t)維數(shù)：維數(shù)：一維、多維（隨機(jī)場）。一維、多維（隨機(jī)場）。例例考慮某一海面的波浪的浪高考慮某一海面的波浪的浪高

5、24小時(shí)的小時(shí)的變化情況。變化情況。說明說明1參數(shù)集參數(shù)集T T：可離散可連續(xù)。：可離散可連續(xù)。隨機(jī)序列或時(shí)間序列：隨機(jī)序列或時(shí)間序列： X X( (n n), ), n n = 0, 1, = 0, 1, 或或 X X( (n n), ), n n00三、隨機(jī)過程的分類三、隨機(jī)過程的分類1 1、按參數(shù)集和狀態(tài)分類、按參數(shù)集和狀態(tài)分類 參數(shù)集參數(shù)集T T的是一個(gè)可列集的是一個(gè)可列集T T=0=0，1 1，2 2，離散參數(shù)離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)參數(shù)分類分類參數(shù)集參數(shù)集T T的是一個(gè)不可列集的是一個(gè)不可列集0|ttT狀態(tài)狀態(tài)分類分類離散狀態(tài)離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)連續(xù)狀態(tài))(tX取值是離散的取值是離

6、散的取值是連續(xù)的取值是連續(xù)的T T離散、離散、S S離散離散T T離散、離散、S S非離散（連續(xù)）非離散（連續(xù)）參數(shù)參數(shù)T狀態(tài)狀態(tài)S分類分類T T非離散（連續(xù)）非離散（連續(xù)） 、S S離散離散T T非離散（連續(xù)）非離散（連續(xù)） 、S S非離散（連續(xù)）非離散（連續(xù)） 前兩者又稱為隨機(jī)序列前兩者又稱為隨機(jī)序列例：隨機(jī)相位正弦波例：隨機(jī)相位正弦波AnalogtttDigitalt連續(xù)離散時(shí)間幅度連 續(xù)離 散第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一維一維分布分布函數(shù)函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù) )()(1111xtXPxtF；，Tt 1稱

7、)(11xtF；為隨機(jī)過程)(tX的一維分布函數(shù)。一維一維概率概率密度密度 若 存 在 二 元 非 負(fù) 函 數(shù))(11xtf；， 使11111)()(1dyytfxtFx；則 稱)(11xtf；為 隨 機(jī) 過 程)(tX的 一 維 概 率 密 度如何描述隨如何描述隨機(jī)過程的統(tǒng)機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性？計(jì)特性？二維二維分布分布函數(shù)函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)二維二維概率概率密度密度二維隨機(jī)向量（)(1tX，)(2tX） Ttt),(21)(,)(),(22112121xtXxtXPxxttF；，稱為隨機(jī)過程)(tX的二維分布函數(shù)若存在非負(fù)函數(shù)),(2121xxttf；),(2121xxttF；=212121),(1

8、2dydyyyttfxx； 則稱),(2121xxttf；為)(tX的二維概率密度n 維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) n維概率密度)(,)(,)(2211nnxtXxtXxtXP，若存在非負(fù)函數(shù)),(2121nnxxxtttf；),(2121nnxxxtttF；=nnnxxxdydydyyyytttfn212121),(12； 隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的完整描述性的完整描述有限維分布族一維，二維，一維，二維，n維分布函數(shù)的全體維分布函數(shù)的全體易知1,),(212121nTtttxxxtttFnnn；它不僅刻劃了每一時(shí)刻Tt 1隨機(jī)過程)(tX的狀態(tài))(1tX的分布規(guī)律，而且也刻劃了任

9、意時(shí)刻聯(lián)合分布函數(shù)n + m維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量分布函數(shù)分布函數(shù)設(shè))(tX和)(tY，nttt,21，Ttttm,21)(1tX,)(2tX,)(ntX，)(1tY,)(2tY,)(mtYnXYttF,(1；mtt,1；nxx,1；myy,1）；nnxtXxtXP)(,)(11mmytYytY）（）（,11稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程X(t)和和Y(t)的的n + m維聯(lián)合分布函數(shù)維聯(lián)合分布函數(shù)相互相互獨(dú)立獨(dú)立分布函數(shù)分布函數(shù)設(shè))(tX和)(tY，nttt,21，Ttttm,21nXYttF,(1；mtt,1；nxx,1；myy,1）則稱隨機(jī)過程 相互獨(dú)立；nXttF,(1nxx,1）(YFmtt

10、,1；myy,1）)(tX和)(tYn維分布函數(shù)的性質(zhì)維分布函數(shù)的性質(zhì)(2) 相容性：當(dāng)相容性：當(dāng) mn 時(shí)時(shí)，(1) 對稱性：對于對稱性：對于 t1, t2, , tn 的任意排列的任意排列 ，, 21niiittt), ;,(), ;,(21212121nniiiiiinntttxxxFtttxxxF),;,(),;,(212112121mmXnmmmXtttxxxFtttttxxxF 例例1 袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對每一個(gè)確定的間從袋中任取一球，取后放回，對每一個(gè)確定的t對應(yīng)隨機(jī)變量對應(yīng)隨機(jī)變量試求這個(gè)隨機(jī)

11、過程的一維分布函數(shù)族。試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。分析分析先求概率密度所以解解對每一個(gè)確定的時(shí)刻 t，)(tX的概率密度為3tte)(tX3231P)(11xtF；)(11xtXP 有限維分布函數(shù)族的求法有限維分布函數(shù)族的求法1-1 令 ，其中A是隨機(jī)變量，其分布律為 ( )cos ,X tAtt 1(),1,2,33P Aii試求： （1）隨機(jī)過程 的一維分布函數(shù) （2）隨機(jī)過程 的二維分布函數(shù) ( ),X tt ( ),X tt (; ),(; )42FxFx12(0,;,)3Fx x( )cos,.( )( , ).YY tXt XY tfy t隨機(jī)過程為高斯分布的隨機(jī)變量為常數(shù)求

12、的一維概率密度222)(21)(XXmxXXexf11111cos)(:,)(,tXtYYtYtt此有因是一個(gè)隨機(jī)變量任意確定的時(shí)刻11111cos1cos)(tdydxtYYhXdydxyhfyfXY)()(212112211)cos(2)cos(112)cos(11cos21cos121),(ttmyXmtyXYXXXXettetyf2222)cos(2)cos(2)cos(cos21cos121),(ttmyXmtyXYXXXXettetyf( )( )()()( )YP Xh yFyP YyP f XyP Xh y( )( )( )1( )h yXh yXfx dxfx dx ( )(

13、 )( ( )YYXdxfyFyfh ydy隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù) 求法求法二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征 1均值函數(shù)均值函數(shù)或稱為數(shù)學(xué)期望。或稱為數(shù)學(xué)期望。說明說明25統(tǒng)計(jì)均值是對隨機(jī)過程中統(tǒng)計(jì)均值是對隨機(jī)過程中所有樣本函數(shù)所有樣本函數(shù)在時(shí)間在時(shí)間t t的所的所有取值進(jìn)行概率加權(quán)平均，所以又稱為有取值進(jìn)行概率加權(quán)平均，所以又稱為集合平均。集合平均。它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化規(guī)律，它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化規(guī)律， 是是所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心。所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 2方差函數(shù)方差函數(shù)說明說明隨

14、機(jī)過程)(tX，Tt 的二階中心矩)()()()(2tmtXEtXDtD稱為隨機(jī)過程)(tX的方差函數(shù))(tD的平方根)(t)(tD均方差函數(shù)均方差函數(shù)它表示)(tX在各個(gè)時(shí)刻 t 對于)(tm的偏離程度方差描述的是隨機(jī)過程所有的樣本函數(shù)相對于方差描述的是隨機(jī)過程所有的樣本函數(shù)相對于數(shù)學(xué)期望的離散程度。數(shù)學(xué)期望的離散程度。28方差方差)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX222( )( )( )XXE Xttmt 均值與方差的物理意義：均值與方差的物理意義：消耗在單位電消耗在單位電阻上的總的平阻上的總的平均功率均功率平均交流平均交流功率功率平均直流平均直流功率功率-單位電阻上

15、的電壓單位電阻上的電壓/1-/1-消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率)(tx)(2tx 2 2/1-/1-消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率)()(txmtxE E 2 2/1-/1-消耗在單位電阻上的瞬交流功消耗在單位電阻上的瞬交流功率的統(tǒng)計(jì)平均值率的統(tǒng)計(jì)平均值)()(txmtx 3 3協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩二階中心混合矩簡稱協(xié)方差函數(shù)簡稱協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過程)(tX在Ttt21,的狀態(tài))(1tX和)(2tX 當(dāng)Tttt21，有注 4 4互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)對任意Ttt21,，則)()(11tXEtmX其中)()(22tYEtmY 5

16、相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)簡稱相關(guān)函數(shù)注)(1tX和)(2tX的二階原點(diǎn)混合矩 ),(21ttR)()(21tXtXE協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)如何用相關(guān)如何用相關(guān)函數(shù)和均值函數(shù)和均值函數(shù)表示？函數(shù)表示？描述了整個(gè)隨機(jī)過程描述了整個(gè)隨機(jī)過程任意兩個(gè)不同任意兩個(gè)不同時(shí)刻時(shí)刻的內(nèi)在關(guān)系：線性相關(guān)性的內(nèi)在關(guān)系：線性相關(guān)性自相關(guān)函數(shù)的物理意義自相關(guān)函數(shù)的物理意義)2()1()2,1(tXtXEttXR 1 1、自相關(guān)函數(shù)可正可負(fù)，其絕對值越大，表示相、自相關(guān)函數(shù)可正可負(fù)，其絕對值越大，表示相關(guān)性越強(qiáng)。一般說來，時(shí)間相隔越遠(yuǎn)，相關(guān)性越弱，關(guān)性越強(qiáng)。一般說來，時(shí)間相隔越遠(yuǎn)，相關(guān)性越弱，自相關(guān)函數(shù)的絕對值也越弱。自相關(guān)函數(shù)

17、的絕對值也越弱。2 2、反映不同隨機(jī)過程的波形變化、反映不同隨機(jī)過程的波形變化)(tmX)(tmY)()(ttmXX)()(ttmYY)()(ttmXX)()(ttmYY起伏慢)(tX起伏快)(tY.)(,)(之間的相關(guān)性要弱得多在任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)而之間有較強(qiáng)的相關(guān)性在任意兩個(gè)時(shí)刻的取值tYtX 6互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)注設(shè))(tX和)(tY是兩個(gè)隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程)(tX與)(tY的互相關(guān)函數(shù)則 7互不相關(guān)互不相關(guān)注對 任 意Ttt21,設(shè))(tX和)(tY是兩個(gè)隨機(jī)過程有若隨機(jī)過程)(tX與)(tY互不相關(guān)則 ),(21ttRXY)()(21tmtmYX即)()()()(2121tYEt

18、XEtYtXE若小小 結(jié)結(jié)X(t)X(t)、Y(t)均值函數(shù)均值函數(shù)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)解解例例2求：（求：（1）均值函數(shù)；（）均值函數(shù)；（2）協(xié)方差函數(shù)；（）協(xié)方差函數(shù)；（3）方差函數(shù)。）方差函數(shù)。設(shè)隨機(jī)過程tUtX2cos)(，其中 U 是隨機(jī)變量且5)(UE，6)(UD（1）)(tm2cos)(tUEtXE2cosUtEt2cos5（2）12( , )C t t1122( )( )( )( )E X tm tX tm t2cos)5(2cos)5(21tUtUE)5(2cos2cos221UEtt2cos2cos21UDtt

19、212cos2cos6tt（3）令ttt21得ttXD2cos6)(2解解所以例例3試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程2)(UttX，3)(UttY其中 U 是隨機(jī)變量且5)(UD)(tX和)(tY的均值函數(shù))(2UtEtmX2UEt)(3UtEtmY3UEt12( ,)XYCt t)()()()(322211UEttYUEttXE)(23221UEUEtt)(3221UDtt)(tX和)(tY的互協(xié)方差函數(shù) 作作 業(yè)業(yè)設(shè)設(shè) ，其中，其中A，B是相互獨(dú)是相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布立，且都服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，的隨機(jī)變量， 是實(shí)常數(shù)。是實(shí)常數(shù)。試求試求 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。的均值函數(shù)和

20、相關(guān)函數(shù)。( )cossin,X tAt Btt 2(0,)N( ),X tt ( )() , (0,2 )X tacostt 求隨機(jī)相位正弦波在上均勻分布 的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。第三節(jié)第三節(jié) 幾種重要的隨機(jī)過程簡介幾種重要的隨機(jī)過程簡介獨(dú)立隨機(jī)過程獨(dú)立隨機(jī)過程獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程Markov過程過程平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程平穩(wěn)增量過程平穩(wěn)增量過程一、獨(dú)立隨機(jī)過程一、獨(dú)立隨機(jī)過程簡稱獨(dú)立隨機(jī)過程。 )(1tX，)(2tX，)(ntX是相互獨(dú)立的則稱)(tX為具有獨(dú)立隨機(jī)變量的隨機(jī)過程，二、獨(dú)立增量過程二、獨(dú)立增量過程是相互獨(dú)立的，是相互獨(dú)立的，)()(12tXtX，)()(23tXtX

21、，)()(1nntXtX1. 定義定義例例1證證設(shè))(nX，, 2 , 1 , 0n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，令的隨機(jī)變量序列，令)()(0nXiYin則則)(iY，, 2 , 1 , 0i是一個(gè)獨(dú)立增量過程。) 1()(iYiY)(iX （, 2 , 1i）而)(iX（, 2 , 1i）是相互獨(dú)立的所以)(iY，, 2 , 1 , 0i是一個(gè)獨(dú)立增量過程。三、三、平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化1 1、嚴(yán)平穩(wěn)過程、嚴(yán)平穩(wěn)過程定義定義1設(shè)隨機(jī)過程)(tX,Tt ，若對任意n，任意Ttttn,21，nttt21當(dāng)1t，2t，Ttn時(shí)，

22、有),(2121nnxxxtttF；)(,)(,(2211nnxtXxtXxtXP）)(,)(,(2211nnxtXxtXxtXP）),(2121nnxxxtttF；則 稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。)(tX2、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點(diǎn)、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點(diǎn)1二維概率密度二維概率密度 僅與時(shí)間差僅與時(shí)間差 有關(guān)，有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。證嚴(yán)平穩(wěn)過程)(tX的一維概率密度)(xtf；與t 無關(guān)，),(2121xxttf；21tt ()()f txf tx對任意的 ，必有；若令t，得)()0()(xfxfxtf；即一維概率密度)(xtf ；與t 無關(guān)。同理有一維分布函數(shù)也與同理有一維分布函數(shù)也與t無關(guān)，無

23、關(guān)，即)0()(xFxtF；一維一維對于二維概率密度，有對于二維概率密度，有證二維二維),(2121xxttf；),(2121xxttf；若 令2t ， 得),(2121xxttf；),0 ,(2121xxttf；),(21xxf；其中21tt 同理同理二維分布函數(shù)也僅與時(shí)間差二維分布函數(shù)也僅與時(shí)間差 有關(guān)，有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即21tt ),(2121xxttF；),(21xxF；2若嚴(yán)平穩(wěn)過程若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩存在二階矩，則，則證（2）相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差）相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差 的函數(shù)：的函數(shù)：記（1）均值函數(shù)為常數(shù)：）均值函數(shù)為常數(shù)：mtXEtm)()(21tt

24、),()(21ttRB只對連續(xù)型的情況dxxtxftXEtm)()()(；mdxxxf)()()(),(2121tXtXEttR21212121),(dxdxxxttfxx； 212121),(dxdxxxfxx； )(B記3、寬平穩(wěn)過程、寬平穩(wěn)過程定義定義2設(shè)隨機(jī)過程)(tX，Tt，如果它滿足：（1）)(tX是二階矩過程；（ 2） 均 值 函 數(shù) 為 常 數(shù) ， 即mtXEtm)()(（3）相關(guān)函數(shù)),(21ttR僅依賴21tt ，即)()(),(2121tXtXEttR)(B則稱 為寬平穩(wěn)過程，)(tX簡稱 平穩(wěn)過程當(dāng)T為整數(shù)集或注2注1 嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。平穩(wěn)時(shí)間序列因?yàn)閲?yán)平

25、穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。tn，n=0,1,2,時(shí)則稱)(tX為寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時(shí)間而推移。注3利用均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)也可討論隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。因?yàn)榫岛瘮?shù)協(xié)方差函數(shù)即表示協(xié)方差函數(shù)僅依賴于 ，而與t無關(guān)，與相關(guān)函數(shù)相同。mtm)(, )cov(),( )C ttX tX t)()()()(tmtXtmtXE2)()()()(mtXmEtXmEtXtXE2(, )R ttm2)(mB( )C例例1 1試討論隨機(jī)變量序列試討論隨機(jī)變量序列 的平穩(wěn)性。

26、的平穩(wěn)性。其中，210T，且均值和方差為且均值和方差為0)(tXE2)(tXD)(tX解解因?yàn)橐驗(yàn)?)(tXE),(ttR)()(tXtXE0002，當(dāng)，當(dāng)故)(tX是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。注注在科學(xué)和工程中，例在科學(xué)和工程中，例1 1中的過程稱為中的過程稱為“白噪白噪聲聲”，它是實(shí)際中最常用的噪聲模型。，它是實(shí)際中最常用的噪聲模型。試討論隨機(jī)序列 的平穩(wěn)性。例例2 是在0，1上服從均勻分布的隨機(jī)變量，其中T=1，2，)(tX解解的密度函數(shù)為其它,010, 1)(xxf所以02sin)(10txdxtXE),(ttRtxdxxt2sin)(2sin1000021，當(dāng)，當(dāng)故)(tX是平穩(wěn)隨機(jī)序列。注

27、注例2中的過程是寬平穩(wěn)的，但不是嚴(yán)平穩(wěn)的56 ,XRt tE S tS t所以隨機(jī)相位周期過程是平穩(wěn)的。 1t TtSSdT 01TS tS tdT 01TXSSdRT周期性記為 0,S tTTX tS t設(shè)是一周期為 的函數(shù)， 是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。 定義定義 設(shè)設(shè) X X ( (t t), ), t t T T 和和 Y Y ( (t t), ), t t T T 是兩個(gè)平穩(wěn)過程，是兩個(gè)平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)若它們的互相關(guān)函數(shù) 及及 僅與僅與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 t t 無關(guān)，則稱無關(guān)，則稱 X X ( (t t) ) 和和 Y Y

28、( (t t) ) 是是聯(lián)合聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程。 它們的和它們的和 W(t) = X(t) + Y(t) 也是也是平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程。( ) ()E X t Y t ( )()E Y t X t聯(lián)合平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)過程X (t) 和和 Y (t) 是兩個(gè)是兩個(gè)平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 X (t)Y (t)W (t) = X (t) + Y (t) 是否平穩(wěn)？是否平穩(wěn)？( ,)( )()( )( )()()( )()( ) ()( ) ()( )()( )( )( ,)( ,)WXYXYYXRt tE W t W tEX tY tX tY tE X t X tY t Y tX t Y tY t

29、X tRRRt tRt t)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(cos)()(2ttVEttVWEttUVEttUWEtYtXE2sin sin()6sin sin()( )XYE VttttR不是聯(lián)合平穩(wěn)過程和)()(tYtX( )sincos ,( )cossin , ,6,( )( )?X tUtVtY tWtVtU V WX tY t已知平穩(wěn)過程式中是均值為零 方差為 的互相獨(dú)立的隨機(jī)變量 試問和聯(lián)合平穩(wěn)嗎互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)過程 X (t) 和和 Y (t) 的互相關(guān)函數(shù)具有性質(zhì)：的互相關(guān)函數(shù)具有性質(zhì)：(1);(0)0()( (0),)0()(22

30、YXYXYXXYRRRRRR()( ).XYYXRR(2)稱 為沿整個(gè)時(shí)間數(shù)軸上的時(shí)間相關(guān)函數(shù) 4、遍歷性定理、遍歷性定理 介紹從一次試驗(yàn)所獲得的一個(gè)樣本函數(shù)來決定隨機(jī)介紹從一次試驗(yàn)所獲得的一個(gè)樣本函數(shù)來決定隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)，從而就可以得到該過程的全過程的均值和自相關(guān)函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題。部信息，即遍歷性問題。 定義定義14.1 基本概念基本概念設(shè))(tX,t為隨機(jī)過程，TTdttXtXTT)()(21l.i.m稱 為沿整個(gè)時(shí)間數(shù)軸上的時(shí)間均值；( )X tTTdttXtXtXtXTT)()()()(21l.i.m()( )X tX t定義定義2若則稱

31、的均值具有遍歷性均值具有遍歷性；則稱 的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性如果 均值、相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性)(tX)(tX設(shè))(tX是一個(gè)均方連續(xù)平穩(wěn)過程，XmtXEtX)()(若)()()()()(XRtXtXEtXtX)(tX則稱 具有遍歷性遍歷性，)(tX或者說 是遍歷的遍歷的)(tX例例1是否具有遍歷性。解解試討論)cos()(UtatX，t其中 a，是常數(shù)，U是在20，上服從均勻的隨機(jī)變量。)(tXE)cos(UtaEdxxta21)cos(200)()(tXtXE20221)cos()(cosdxxtxtacos22a故有故有0)(tXTTdtUtaTT)cos(21l.i.

32、mTTUaTsincosl.i.m)()(tXtXTTdtUtUtaTT)cos()(cos221l.i.mcos22a)()(tXEtX)()()()(tXtXEtXtX即此過程是遍歷的。1cos(22 )cos()2tU例例2研究隨機(jī)過程的遍歷性其中Y為隨機(jī)變量，且YtX)(t0)(YD)(YD解解因?yàn)閅為隨機(jī)變量，且存在有限的二階矩，所以常數(shù))()(YEtXE)()(2YEtXtXE2)()(YEYD由此知 是平穩(wěn)過程，)(tX由于YYdttXTTTT21l.i.m)(不是常數(shù)故)()(tXEtX即 不是遍歷的)(tX 注注遍歷性隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)過程不一定具備遍歷性。4.2 遍歷性定理遍歷性定理定理定理1均值遍歷性定理均值