空間的平行直線與異面直線1

1、課題：9. 2空間的平行直線與異面直線（一）教學(xué)目的：1會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系2.理解公理四，并能運(yùn)用公理四證明線線平行.3掌握等角定理，并能運(yùn)用它解決有關(guān)問(wèn)題.4. 了解平移的概念，初步了解平幾中成立的結(jié)論哪些在立幾中成立5.掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明 兩直線異面；6. 掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的教學(xué) 重點(diǎn)：公理4.教學(xué)難點(diǎn)：公理4.授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：基 礎(chǔ)進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行直線的性質(zhì)，把平行公理和平行線的傳遞性推廣到空間并要求 學(xué)生正確掌握空間平行直線

2、性質(zhì)和異面直線及其夾角的概念，這樣就教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：把一張紙對(duì)折幾次，為什么它們的折痕平行？（答：把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開后得 4個(gè)全等的矩形，每個(gè)矩形的豎邊是互相平行的，再應(yīng)用平行公理， 你還能舉出生活中的相關(guān)應(yīng)用的例子嗎？二、講解新課：1（1）相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行一一在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；（3） 異面不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；2（1）公理 4 :推理模式：a/b,b/c a/c.說(shuō)明：（1）公理4表述的性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性；（2）幾何學(xué)中，通常用互相平行的直線表示空間里一個(gè)確定的方向；（3）如果空間圖形F的所有點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離到

3、 F'的位置，則 就說(shuō)圖形F （2）空間四邊形：順次連結(jié)不共面的四點(diǎn) A,B,C,D所組成的四邊形 叫空間四邊形，相對(duì)頂點(diǎn)的連線 AC,BD （3）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另 一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，分析：在平面內(nèi)，這個(gè)結(jié)論我們已經(jīng)證明 成立了在空間中，這個(gè)結(jié)論是否成立，還需通過(guò)證明要證明兩個(gè)角相等，常 用的方法有：證明兩個(gè)三角形全等或相似，則對(duì)應(yīng)角相等；證明兩直線平行，則 同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；證明平行四邊形，則它的對(duì)角相等，等等根據(jù)題意，我 們只能證明兩個(gè)三角形全等或相似，為此需要構(gòu)造兩個(gè)三角形，這也是本題證明 的關(guān)鍵所在.已知：/ BAC和/B'AC的邊AB/

4、A'B',AC/AC，并且方向相同， 求證： / BAC= / B'AC .證明：在/ BAC和/B'A'C'的兩邊分別截取 AD=A'D',AE=A'E'， AD/A'D',AD=A'D'，二 A'D'DA 是平行四邊形， AA'/DD',AA'=DD'，同理 AA7/EE',AA'=EE'，二 EE7/DD',EE'=DD'，即 D'E'ED是平行四邊形，A ED=E&

5、#39;D'，二?ADE ? ?A'D'E'，所以，/ BAC= / B'A'C'.(4) 等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直 線所成的銳角(或直角)相等.指出:等角定理及其推論，說(shuō)明了空間角通過(guò)任意平行移動(dòng)具有保值性，因而成為異 面直線所成角的基礎(chǔ).3.空間兩條異面直線的畫法AA4. 異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò) 此推理模式：A? a圧a ? a I? AB與I證明：（反證法）假設(shè) 直線AB與I 共面， B a ? a ,B I，二點(diǎn)B和I確定的平面為 a 直線A

6、B與I共面于a,二A a，與A? a矛盾， 所以，AB與I是異面直線.5. 異面直線所成的角：已知兩條異面直線 a,b,經(jīng)過(guò)空間任一 點(diǎn)0作直線a7/a,b7/b, a',b所成的角的大小與點(diǎn)0的選擇 無(wú)關(guān)，把a(bǔ)',b所成的銳角（或直角）叫異面直線 a,b所成的角（或夾角）.為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) 0異面直線所成的角的范圍：（0, n26.異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂 直.兩條異面直線a,b垂直，記作a丄b.7. 求異面直線所成的角的方法：（1）通過(guò)平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這

7、兩條相交直線所成三、講解范例：例1已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD CFCG2=，的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且CBCD3求證：四邊形EFGH分析：對(duì)邊會(huì)平行呢？為什么？證明：如圖，連接BD t EH> ABD 的中位線，二 EH/BD,EH=又在 BCD 中，1BD. 2CFCG22=,. FG/BD,FG=BD. CBCD33根據(jù)公理4, EH/FG又FG>EH, a四邊形EFGH例2如圖，A是平面BCD外的一點(diǎn)G,H分別是 ?ABC,?ACD 的重心，求證：GH/BD .證明：連結(jié) AG,AH分別交BC,CD于M,N，連結(jié)MN , G,H分別

8、是？ABC,?ACD 的重心，a M,N 分別是 BC,CD 的中點(diǎn)，AGAH2=，AMAN3a GH/MN，由公理 4 知 GH/BD . a MN/BD，又；例3如圖，已知不共面的直線a,b,c相交于0點(diǎn)，BDM,P是直線a上的兩點(diǎn),N,Q分別是b,c求證：MN和PQ證:假設(shè)MN和PQ不是異面直線，則MN與PQ在同一平面內(nèi)，設(shè)為 a, t M,P a,M,P a, a a? a,又o a,A O a,V N a ,OE b,N b, I b? a,同理c? a, ： a,b,c共面于a與已知a,b,c不共面相矛盾，所以，MN和PQ (法二)： a c=0,.直線a,c確定一平面設(shè)為 B,

9、P a,Q c,A P B ,QE B,二 PQ? B且 M B M PQ,又a,b,c不共面，N b,A N? B,所以，MN與PQ例4正方體ABCD-A'BCD' 中.那些棱所在的直線與直線 BA'是異面直線？求BA'與CC'夾角的度數(shù).那些棱所在的直線與直線AA'垂直？解：(1)由異面直線的判定方法可知，與直線 BA'成異面直線的有 直線 BC,AD,CC',DD',DC,DC ,A 'C(2) 由BB7/CC',可知/ B'BA'等于異面直線BA'與CC'的夾角,所以

10、異面直線 BA'與CC'的夾角為45.(3) 直線AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'與直線AA'例5兩條異面直線的公垂 線指的是()(A) (B)(C)(D)答案：B例6在棱長(zhǎng)為a的正方體中，與AD成異面直線且距離等于a的棱共有()(A)2 條(B)3 條(C)4 條(D)5 條答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1C.例7若a、b是兩條異面直線，則下列命題中，正確的是()(A)與a、b (B)a與b (C)a與b (D)a與b的公垂線的長(zhǎng)就是 a b答案：B A例8已

11、知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則棱A1B1所在直線與面對(duì)角線BC1所在直線間的距離是()C1CA(A) 2a (B) a (C) 2a ( D2答案：四、課堂練習(xí)：課堂小練習(xí) 判斷下列命題的真假，真的打 “2”假的打“x”(1) 平行于同一直線的兩條直線平行.()(2) 垂直于同一直線的兩條直線平行.()' 1J(3) 過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.()(4) 與已知直線平行且距離等于定長(zhǎng)的直線只有兩條.()(5) 若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等()(6) 若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角

12、)相等()(7) 向量與A1B1，與A1C1是兩組方向相同的共線向量，那么/ BAC= / B1AC11.()答案：(1) 2( 2) X (3) 2( 4) x( 5) x (6) 2(7) 22. 選擇題(1) “” b是異面直線”是指a A b=d且 a不平行于b；a ?平面a， b ?平面 B且 a A b=Oa ?平面a, b ?平面a不存在平面a,能使a ? a且b ? o成立 上述結(jié)論 中，正確的是()(A) (B)(C)(D)(2) 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有()(A) 2對(duì)(B) 3對(duì)(C) 6對(duì)(D) 12對(duì)(3) 兩條直線a,b分別和異面直線c,d都

13、相交，則直線a，b的位置關(guān)系是()(A )一定是異面直線 (B) 一定是相交直線(C) 可能是平行直線 (D )可能是異面直線，也可能是相交直線(4) 一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()(A)平行(B)相交(C)異面(D)相交或異面 答案：(1) C (2) C (3) A(4) D3. 兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？ 答：不一定，還可能異面.4. 垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關(guān)系？ 答：三種：相交，平行，異面.5畫兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為(1)平行直線;(2)相交直線；(3)異面直線.解：6 選擇題(1) 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的

14、兩條直線間的位置關(guān)系是()(A)異面(B)平行(C)相交(D)以上都有可能(2) 異面直線a,b滿足a? a ,? B , aG 0則l I與a,b的位置關(guān)系一定是()(A) I至多與a, b中的一條相交(B) I至少與a, b中的一條相交 (C) I與a, b都相交(D) I至少與a, b中的一條平行(3) 兩異面直線所成的角的范圍是()(A)(0°,90 ° ( B) 0 ：90) (C)(0°,90 (D) 0：90答案(1) D (2) 3): 7判斷下列命題的真假，真的打“2”假的打“x”(1) 兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行()(2) 和

15、兩條異面直線都垂直的直線是這兩條異面直線的公垂線()(3) 平行移動(dòng)兩條異面直線中的任一條，它們所成的角不變()(4) 四邊相等且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形()五、小結(jié)：這節(jié)課我們 學(xué)習(xí)了兩條直線的位置關(guān)系(平行、相交、異面)，平行公理和等角定理及其推論異面直線的概念、判斷及異面直線夾角的概念； 證明兩直線異面的一般方法 是 反證法”或 判定定理”求異面直線的夾角的一般步驟是： 作一證一算一答” 六、課后作業(yè)：1 如圖，有哪些直線和直線 D1C是異面直線，它們所成的角分 別A1C2.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1 中, E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為A1C1與EF、AC與BD的交點(diǎn)，(1) 求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；(2) 若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R,求證：P、Q、R提示：(1)證