一道高考試題的多角度思考及教學(xué)啟示

1、一道高考試題的多角度思考及教學(xué)啟示 2009年浙江省高考理科第9題:過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B,C.若,則雙曲線的離心率是( )A. B. C. D.本題較好地關(guān)注解析幾何的本質(zhì)，很好地體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，主要考查了雙曲線的有關(guān)幾何性質(zhì)，即漸近線，離心率，頂點(diǎn)等，同時(shí)又考查了已知兩直線求交點(diǎn)，以及向量的坐標(biāo)表示等問(wèn)題，考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處命題的特色，解題入口寬，方法多，是考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的一道好題，具有較高的研究?jī)r(jià)值。本文就此題的多角度思考談幾點(diǎn)教學(xué)啟示。1 試題的多角

2、度思考 本題是選擇題倒數(shù)第2題，屬于中檔題，學(xué)生失分的主要原因是：一是缺乏必要的運(yùn)算能力，運(yùn)算出錯(cuò)，半途而廢；二是缺乏必要的合理轉(zhuǎn)化能力，不知道如何將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題求解；三是缺乏對(duì)解析幾何本質(zhì)的理解。其實(shí)從題中抓住核心的信息是過(guò)A的直線斜率為-1；.因此在解題時(shí)牢牢抓住這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，目標(biāo)是建立a,b,c的數(shù)量關(guān)系，可以通過(guò)求B，C的坐標(biāo)聯(lián)系平面幾何知識(shí)，或運(yùn)用解三角形知識(shí)直接在三角形中建立數(shù)量關(guān)系，從而產(chǎn)生了不同的解題思路。思路1 利用過(guò)A斜率為-1的直線與兩條漸近線相交，求出交點(diǎn)B，C，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出a與b的關(guān)系，從而求得離心率.ABCOxy因?yàn)橹本€AC的方程為，漸近線

3、OB，OC的方程為，聯(lián)立方程組得，聯(lián)立方程組得，即，故雙曲線的離心率是.思路2 由于解析幾何的本質(zhì)是利用代數(shù)的方法來(lái)研究平面幾何問(wèn)題，因此，解析幾何的問(wèn)題能否用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決呢？回答當(dāng)然是肯定的，如本題輔之用平面幾何的知識(shí)去解決，那就大大減少運(yùn)算量，提高解題的速度。同思路1求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意知B,C兩點(diǎn)在x軸的上方, ,由相似三角形知識(shí)可知:,即,下同思路1.思路3 由于求離心率的本質(zhì)是求a，b，c三者的關(guān)系，如果還是沿著上述思路求B，C坐標(biāo)的話，因題目給出的是解析幾何和向量的綜合問(wèn)題，那么，可以從向量入手進(jìn)行運(yùn)算，從而求出B，C的坐標(biāo).ABCOxyM因漸近線OB，OC的方程為

4、，設(shè)，解得，即，過(guò)C作x軸的垂線，垂足為M，直線AC的斜率為-1，則AMC為等腰直角三角形，|MC|=|AM|，即,下同思路1.思路4 由于本題的條件也可看成是三角形中的數(shù)量關(guān)系即，又因直線的斜率與三角函數(shù)緊密相連，因此，也可以通過(guò)解三角形的方法建立a，b的數(shù)量關(guān)系.ABCOxyN設(shè)直線AC與y軸相交于N，則，在AOB和BOC中，由正弦定理可知：，即，得,下同思路1.2 試題給我們的教學(xué)啟示21注重通性通法，淡化特殊技巧高中數(shù)學(xué)新課程理念告訴我們：要與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”。我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)，新世紀(jì)的高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)發(fā)揚(yáng)這種傳統(tǒng)。與此同時(shí)，隨著時(shí)代的

5、發(fā)展，數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵，形成符合時(shí)代要求的新的“雙基”。高考試題也正是體現(xiàn)這一基本理念，試題是側(cè)重于能力立意，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)能力的考查。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要注重通性通法，淡化特殊技巧，力求讓學(xué)生熟練掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)方法。思路1看似計(jì)算復(fù)雜，但在考試中可能是最容易想到的很自然的思路，同時(shí)，我們看到此解法也恰恰體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基本思想方法和運(yùn)算求解能力的考查。因此，我們不能借口高考是考能力而忽視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法。特別是在高三復(fù)習(xí)階段，要著力提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)概念、基本技能和基本數(shù)學(xué)思

6、想方法的應(yīng)用能力，通過(guò)典型例習(xí)題和歷年經(jīng)典高考試題的講評(píng)與訓(xùn)練，讓學(xué)生充分體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握解決一些常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題的通性通法，才能在高考中立于不敗之地。22強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高應(yīng)變能力高考重視對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)“能力立意”，就是以問(wèn)題為載體，以知識(shí)為基礎(chǔ)，以思維為主線，以能力為目標(biāo)，全面考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。因此，高考試題必然會(huì)考查數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生的理性思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是我們不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里。此題如果學(xué)生能清晰地理解解析幾何的本質(zhì)，那么思路2也顯得很自然，

7、這樣大大減少了運(yùn)算量。2004年上海高考曾考過(guò)這樣一題：教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是_。結(jié)果有不少學(xué)生不知道答什么。說(shuō)明學(xué)生平時(shí)只知道埋頭做題，而缺少對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的反思，有的教師在平時(shí)教學(xué)中忽視強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，結(jié)果學(xué)生云里霧里，失掉了基本分。數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，學(xué)生只有在思維的過(guò)程中才能加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。高考每年在變，題目千變?nèi)f化，我們的教學(xué)如何才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中要充分揭示數(shù)學(xué)思維的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題后的反思和拓展，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的應(yīng)變能力。23重視知識(shí)交匯，提升綜合能力該試題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了國(guó)家考試中

8、心提出的“應(yīng)更多地從知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)題目，從學(xué)科的整體意義、思想含義上考慮問(wèn)題”的思想。試題將向量知識(shí)與解析幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。思路3通過(guò)向量的運(yùn)算求出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)程簡(jiǎn)潔，運(yùn)算流暢，體現(xiàn)了向量的工具性作用，不失為一種好方法。近年來(lái)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處的試題經(jīng)常出現(xiàn)，而且?？汲Ｐ?，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力要求較高。高中數(shù)學(xué)中有代數(shù)、幾何、三角等多個(gè)分支，不同分支之間既有區(qū)別也有聯(lián)系，例如，我們把代數(shù)中求函數(shù)值域的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化到幾何中求距離或斜率的問(wèn)題，也可以通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題；幾何中的距離或最值問(wèn)題也可以通過(guò)三角問(wèn)題或函數(shù)的知

9、識(shí)來(lái)解決；立體幾何中空間距離或空間角可以通過(guò)空間向量的方法來(lái)解決；解析幾何也常常與平面向量結(jié)合在一起。所有這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中各個(gè)分支是息息相關(guān)、一脈相承，是一個(gè)有機(jī)的整體。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要重視設(shè)計(jì)知識(shí)交匯處的例習(xí)題，充分挖掘知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵，通過(guò)變換條件、結(jié)論來(lái)設(shè)計(jì)一題多變、一題多問(wèn)、一題多解，創(chuàng)設(shè)開放性數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮聯(lián)想，從多角度、多維度去考察問(wèn)題，讓學(xué)生在聯(lián)想中把不同分支的知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，提高學(xué)生綜合能力和解決問(wèn)題的能力。24強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：“數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)課程改革的基本理念，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以

10、及它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)有較為全面的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！睌?shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思考方式去觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題。高考試題確立以“能力立意”為指導(dǎo)思想，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，全面檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。思路4是從直線斜率與三角函數(shù)緊密聯(lián)系的基礎(chǔ)上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形中運(yùn)用解三角形的知識(shí)去解決，體現(xiàn)了將問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化的思想。如果學(xué)生有了數(shù)學(xué)思想方法，就能指導(dǎo)自己解題。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)著力加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想以及歸納法、換元法、反證法、配方法