多元函數(shù)微分法在幾何中應(yīng)用講義

1、多元函數(shù)微分法在幾何中應(yīng)用講義考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx , tztytxT割線的方向向量割線的方向向量),(),(),(, 0000tttTtMM 切切線線的的方方向向向向量量，割割線線的的極極限限位位置置，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0dd,dd,ddtttztytxT 曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量

2、. )(),(),(000tttT 法平面：過法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 0dd,dd,ddtttztytxT .)1 , 1 , 1(;32方方程程處處的的切切線線方方程程和和法法平平面面在在點(diǎn)點(diǎn)例例；求求曲曲線線 tztytx, 1 ),1 , 1 , 1( t解解：對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)與與點(diǎn)點(diǎn), 33dd , 22dd , 1dd121 ttttzttytx ,3 , 2 , 11dd,dd,dd ttztytxT處處的的切切線線方方程程為為：在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(,312111 zyx法平面方程為：法平面方程為：,

3、0)1(3)1(2)1( zyx0632 zyx即即：解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)，, 2, 1, 0 zyx,ttteex ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3

4、)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即情形情形1.空間曲線方程為：空間曲線方程為：,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程法平面方程特殊地：特殊地：切線方程切線方程 )(),(, 1, 100 xxTdxdzdxdyTM 切向量：切向量： ),();(;xzxyxx 情形情形2.空間曲線方程為空間曲線方程為 ),();(; ,0),(0),(xzzxyyxxzyxGzyxF看作看作視視x為自變量，方程組確定的隱函數(shù)為為自變

5、量，方程組確定的隱函數(shù)為y(x),z=z(x),兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo) dxdzdxdyT, 1求求出出 dxdzdxdyT, 1切向量：切向量： 00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,;06222zyxzyx , 01; 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx,zyxzdxdy , 0)1,2, 1( dxdy,zyyxdxdz , 1)1,2, 1( dxdz由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx

6、設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF)(),(),(000ttt曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點(diǎn)過點(diǎn)M的曲線的曲線,)()()(: tztytx nTM.,連續(xù)連續(xù)zyxFFF 0dd,dd,ddtttztytxT 0)(),(),( tztytxF在在曲曲面面上上，有有因因?yàn)闉榍€線 代代入入得得求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，并并用用兩兩邊邊對(duì)對(duì)0ttt 00 ttdtdzFdtdyFdtdxFzyx0000000000000)(),()(),()(),(tzyxFtzyxFtzyxFzyx令令),(),(),(000tttT ,0Tn 上式看作),(),(

7、),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 則則,Tn 切平面方程為切平面方程為0)(,( )(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx通通過過點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面 在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線. ),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法線方程為法線方程為0)(,( )(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx切平面方程為切平面方程為曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為

8、曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.特殊地：如果空間曲面方程形為特殊地：如果空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程處的切平面方程 , 0)(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M處的法線方程處的法線方程.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令 1),(),( ,1),(),(00000000yxfyxfyxfyxfnyxyx 或或法向量為：法向量為：),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx MzyxFFFn, ,1cos22yxxfff ,

9、1cos22yxyfff .11cos22yxff MnT.,2;20,1 ,取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)取取正正號(hào)號(hào) ，yxffn曲面的法向量曲面的法向量8.63 全微分的幾何意義全微分的幾何意義空間曲面方程形為二元函數(shù)：空間曲面方程形為二元函數(shù)：),(yxfz .),)(,()(,(00000000改改變變量量是是切切平平面面上上的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的注注意意到到，zzyyyxfxxyxfzzyx 曲面在曲面在M 處的切平面方程處的切平面方程),(00,0zyxyyxfxyxfzyxfzyxyx ),(),(d ),( 0000),(00可微分，由全微分公式可微分，由全微分公式設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 000000),

10、(),(),(,d00yyyxfxxyxfzzzyxyx 即即. “用切平面代替曲面”“用切平面代替曲面”的改變量近似代替，即的改變量近似代替，即標(biāo)標(biāo)可以用切平面上的豎坐可以用切平面上的豎坐的全改變量的全改變量注：函數(shù)注：函數(shù)zf .,00yyyxxx )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上切平面上點(diǎn)的豎坐點(diǎn)的豎坐標(biāo)的改變標(biāo)的改變量量的的全全微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛處處的切平面方程的切平面方程為為),(yxfz 在在),(00yx的全微分， 表示曲面的全微分， 表示曲面),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyx處

11、的切平面上處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的改變改變量量. 全微分的幾何意義：全微分的幾何意義：),(yxfz 例例 3 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面122 yxz在點(diǎn)在點(diǎn))4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解, 32),(

12、 xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx），（法法向向量量021, zyxFFFn 0 , 2 , 4 例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的切平面方程的切平面方程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(0000zyxP切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意

13、，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 6 ,4 ,2 6 ,4 ,2,00000zyxzyxFFFnPPzyx 法法向向量量為為：因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)代入平面方程代入平面方程2132222 zyx 212322 202020 xxx得得

14、. )2(1,1, 11; 4:622222切線與法平面的方程處的在點(diǎn)：求曲線例yxzyx.,21垂垂直直向向量量與與兩兩曲曲面面的的切切平平面面的的法法解解：切切向向量量nnT ,1 , 0 ,244 , 0 ,2402022221 kjinnT ;0 , 2 , 0)2, 1 , 1(0 ,2 ,12,0,2 yxGGGnpzyx ;22 , 2 , 2)2, 1 , 1(2 ,2 ,2,0,1 zyxFFFnpzyx.21即可即可取取nnT . 02 zx即即 , 0212 zx法法平平面面的的方方程程為為 , 032; 1zxy即即,120121 zyx切切線線的的方方程程空間曲線的切

15、線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采用推導(dǎo)法）量注意采用推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)）（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)）小小 結(jié)結(jié)思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考題解答思考題解答,2,2,6000zyxn 設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)),(000zyx依題意知平面法向量為依題意知平面法向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點(diǎn)滿足曲面和平面方程切點(diǎn)滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 四、求橢球面四、求橢球面12222 zyx上平行于平面上